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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,欢迎来到数学课堂,12.3角平分线的性质,1,、在准备好的角上标好字母；,A,O,B,。,把角,AOB,对折，使得这个角的两边重合。,2,、在折痕（即平分线）上任意找一点,P,。作,PD,垂直与,OA,，,垂足为,D,。,3,、过点,P,作,OB,边的垂线,PE,，,垂足为,E,。,做一做,问：点,D,与点,E,重合吗？由此你可得到什么结论？,按照,做一做,的顺序画,AOB,的折痕,OC ,过点,P,的垂线段,PD,、,PE,，,并度量所画,PD,、,PE,是否等长？,议一议：由此你可得到什么猜想？,画一画,同学甲,、,乙谁的画法是正确的,?,角平分线上的点到角的两边的距离相等,议一议：由做一做和画一画你可得到什么猜想？,验证,结论,已知,:,如图,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,E.,求证,:PD=PE.,而,OPDOPE,的条件由已知易知它满足公理,(AAS).,故,结论可证,.,老师期望,:,你能写出规范的证明过程,.,分析,:,要证明,PD=PE,只要证明它们所在的,OPDOPE,，,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,.,O,C,B,1,A,2,P,D,E,能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话请填下表：,PD=PE,OC,平分,AOB,，,PDOA, PEOB, D,、,E,为垂足,于是我们得角的平分线的性质：,在角的平分线上的点到角的两边的距离相等,到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？,议 一 议,根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：,点,P,在,AOB,的平分线上,这样，我们又可以得到一个结论：,到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,请同学们自己写出证明过程,同学们思考一下，这节课所学的这两个性质有什么联系吗？,例,已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P.,求证：点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,.,A,B,C,P,M,N,A,B,C,P,M,N,例,已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P.,求证：点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,.,证明：,过点,P,作,PD,、,PE,、,PF,分别垂直于,AB,、,BC,、,CA,，,垂足分别为,D,、,E,、,F,F,D,E,D,E,BM,是,ABC,的角平分线，点,P,在,BM,上,PD=PE,（,在角平分线上的点到角的两边,的距离相等）,同理,PE=PF., PD=PE=PF.,即点,P,到边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,想一想，点,P,在,A,的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,畅 谈 收 获,小结:,，,1,、在,RtABC,中，,BD,是角平分线，,DEAB,，,垂足为,E,，,DE,与,DC,相等吗？为什么？,A,B,C,D,E,2,、如图,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,、,E,PD=4cm,则,PE=_cm.,A,D,O,B,E,P,C,知识应用,B,思考：,如图所示,OC,是,AOB,的,平分线,P,是,OC,上任意一点,问,PE=PD?,为什么,?,O,A,E,D,C,P,PD,PE,没有垂直,OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直,思考：,要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺,1,：,20 000,）,公路,铁路,练习,1,：,如图，,的,的外角的平分线与,的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,练习,2,：,如图,求作一点,P,使,PC=PD,并且点,P,到,AOB,的两边的距离相等,.,C,D,A,B,O,知识拓展,如图，在,ABC,中，,AC=BC,，,C=90,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,，,垂足为,E,。,（,1,）,已知,CD=4cm,，求,AC,的长；,（,2,）求证：,AB=AC+CD,B,A,C,D,E,再见,祝同学们学习愉快,
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