材料力学 第十四章 静不定结构

第十四章 静不定结构,材料力学,习 题 课,力法及正则方程,力法的正则方程,:,设,对于静不定桁架,:,则,例,1,：刚架的弯曲刚度为,EI,，,承受力,F,后，支座,C,有一下陷量,，试求刚架,C,处的反力。,解：,由,得,例,2,：刚架的弯曲刚度为,EI,，,承受力,F,。,试求：刚架多余约束反力。,F,a,a,D,B,A,C,F,a,a,D,B,A,C,X,1,X,1,F,a,a,D,B,A,C,F,F,F,a,a,D,B,A,C,X,1,X,1,例,3,：刚架的弯曲刚度为,EI,，,承受力,F,。,试求：刚架多余约束反力。,F,F,A,a,B,a,F,X,1,X,1,A,a,B,a,F,A,a,F,1,A,例,4,：已知刚架的弯曲刚度为,EI,，,试求刚架内最大弯矩及其作用位置。,解：,由,得,作用于固定端,A,例,5,：已知结构的弯曲刚度为,EI,，,试求对称轴上,A,截面的内力。,解：,由,得,例,6,：已知刚架的弯曲刚度为,EI,。,试求截面,A,处弯矩。,解：,由,得,另解：,例,7: 1/4,圆形曲杆,ACB,如图。半径为,R,，曲杆抗弯刚度为,EI,。求,:A,、,B,处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。,解：,一、 分析,B,点为多余约束，解除多余约束以反力代替，形成基本静定系,A,F,B,C,A,F,B,C,X,1,A,F,B,C,A,B,C,1,使用莫尔积分，在任一横截面上，,（,j,-,/4,）,cos,FR,M,-,=,j,/4,，,/2,j,sin,R,M,=,j,0,，,/2,例,8,、求图示结构的约束反力,P,EI,a,EI,EA,A,B,C,解：,1,）判断静不定种类及次数,约束反力一次静不定,2,）解除,B,点约束，建立静定基,3,）对静定基进行受力分析，建立相当系统,4,）研究,AB,梁的,B,点与,BC,杆的,B,点的竖直相对线位移，建立正则方程,P,P,例,9,：平面刚架受力如图，各杆,EI,=,常数。试求,C,处的约束力及支座,A,、,B,的约束反力,。,解：,例,10,：平面刚架受力如图，各杆,EI,=,常数。试求,C,处的约束力及支座,A,、,B,的约束反力,.,例,11,：图示刚架,EI,为常量，画出刚架的弯矩图。,解：,例,12,：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆,EI,=,常数。,例,13,：已知刚架的弯曲刚度为,EI,。,试求支座,B,处的反力,。,解：,由,得,例,14,等截面半圆形杆受力如图所示，,EI,为常数，略去剪力、轴力对变形影响，求,A,，,B,固定端处的支座反力和,C,处垂直位移,解：从,C,截开可知此结构对,C-C,轴为反对称结构，对称截面上仅有反对称内力,剪力。故为一次超静定问题。,（,C,左面）截面上外力分配,P/2,讨论：已知图示半圆曲杆的弯曲刚度为,EI,，,试求曲杆支座,A,处垂直反力,F,Ay,。,解：,例,15,半圆形曲杆,ACB,为直杆,AD,、,BF,铰接如图。曲杆及直杆的抗弯刚度均为,EI,。求,D,、,F,处的反力矩,MD,、,MF,（只考虑杆件的弯曲变形）。,F,F,N=P/2,N=P/2,P,解：,由对称性知,N,P/2,。,一、 分析图。由对称性取一半研究，求,B,点水平位移使用莫尔积分，在任一横截面上，,B,F,N=P/2,B,F,N=P/2,M,协调条件,因,AD,与,BF,对称，其受力也对称，,F,P/2,P/2,F,例,16,、选择题,:,一、,(a),图所示悬臂梁,如在自由端,B,上加一个活动铰支座,(b),图,则该梁的,(A),强度提高,刚度不变,(B),强度不变,刚度提高,(C),强度,刚度都提高,(D),强度,刚度都不变,答案：,(C),(a)图,(b)图,(A) 1次,(B) 2次,(C) 3次,(D) 4次,二、下图所示结构是,静不定机构,答案：,(B),(A) 0 次,(B) 2次,(C) 3次,(D) 4次,三、下图所示结构是,静不定机构,(A) 0 次,(B) 2次,(C) 3次,(D) 4次,四、下图所示结构是,静不定机构,答案：,(A),答案：,(A),解：,1,）判断静不定种类及次数,约束反力一次静不定,2,）解除,C,点约束，建立静定系,3,）对静定基进行受力分析，建立相当系统,4,）研究,DE,梁的,C,点与,BC,杆的,C,点的竖直相对线位移，建立正则方程,P,P,5,）根据相当系统图，求出其他全部约束反力,P,A,B,a,a,a,a,C,D,E,例,17,、求图示结构梁,DE,的最大正应力,max,=?,P,例,18:,已知平面刚架的,EI,求,C,处约束反力,.,解：,1,）判断静不定种类及次数,约束反力一次静不定,2,）解除,C,点约束，建立静定基,3,）对静定基进行受力分析，建立相当系统,4,）研究,C,点竖直线位移，建立正则方程,P,P,AB段:,AB段:,A,B,C,BC段:,即为,C,处约束反力,例,19:,求图示绗架,AB,杆的轴力,解：,1,）判断静不定种类及次数,内力一次静不定,2,）解除,AB,杆轴力，建立静定基,3,）对静定基进行受力分析，建立相当系统,4,）研究,AB,杆切口两侧水平相对位移，建立正则方程,P,A,F,E,D,C,B,P,P,P,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,C,B,杆号,杆长,AC,CD,BF,EF,AB,AD,AE,BE,BD,DE,由正则方程,即为杆,AB,的轴力,而原结构中其它各杆的轴力,=,？,P,P,P,C,D,B,A,F,E,例,20:,求图示闭合圆形刚架在,A,截面上的弯矩,解:,2),对称性分析,:,结构对称,载荷对称,1),静不定分析,:,三次静不定,AB,CD,EF,都是对称轴,结构的对称截面有,6,个,:,A,B,C,D,E,F,3),用,E,A,两截面将刚架截开,取,EA(1/3),段研究,:,A,D,E,因为,A,E,都是结构的对称截面,所以,: A,E,截面上反对称的内力等于,0,即,:A,E,截面上只有轴力和弯矩,又因为,CD,是对称轴,且,以,CD,轴为,Y,轴,:,4),用,D,截面将刚架截开,取,DA(1/6),段研究,:,因为,A,D,都是结构的对称截面,所以,: A,D,截面的转角等于,0,A,D,P,5,）研究,A,截面转角，建立正则方程,A,D,A,D,例,21,、求图示结构的约束反力,P,A,B,C,1,）判断静不定种类及次数,约束反力三次静不定,2,）解除,B,点约束，建立静定基,3,）对静定基进行受力分析，,4,）研究,B,点竖直,水平位移和转角建立正则方程,解：,P,P,建立相当系统,结论,:,当载荷作用线垂直于结构轴线所在平面时,则位于结构轴线所在平面内的约束反力和,内力都等于,0.,例,22,、求图示结构的约束反力,1),判断静不定种类及次数,约束反力三次静不定,利用对称性性质,对称截面上剪力等于,0,简化为,:,二次静不定,对称截面上只有轴力和弯矩,利用上一道题的结论,简化为,:,一次静不定,对称截面上的轴力也等于,0,2,）从原结构的对称截面截开，建立静定基,3,）对静定基进行受力分析，建立相当系统,4,）研究切口两侧相对转角,建立正则方程,例,23,、求图示结构,F,的作用点的竖直位移,1,本题求的是,F,作用点的竖直位移,所以,:,应该用莫尔积分求解,先求原载荷引起的内力,再施加与所求位移对应的单位载荷,求出单位载荷引起的内力,然后同一段的同一种内力图乘积分,但是无论是原载荷系统,还是单位载荷系统,所以,:,本题应首先用力法求解静不定结构,然后再用莫尔积分求位移,分析,:,都是六次静不定结构,1),判断静不定种类及次数,约束反力六次静不定,利用对称性性质,对称截面上,2,个剪力和,1,个扭矩等于,0,简化为,:,三次静不定,利用例题,6,的结论,简化为,:,一次静不定,对称截面上只有,1,个轴力和,2,个弯矩,这,2,个弯矩,一个是绕着,Z,轴的,另一个是绕着,Y,轴的,位于水平面内,对称截面上的轴力和弯矩,也等于,0,对称截面上只有,1,个弯矩,五、当系统温度升高时,下列结构中,不会产生温度应力,(A),(B),(C),(D),六、图示等截面直梁,在中点,C,截面承受一集中力偶的作用,在,C,截面上,答案：,(A),(A),转角,挠度,(B),转角,挠度,(C),转角,挠度,(D),转角,挠度,C,答案：,(B),七、图示等腰三角形为静不定刚架,利用反对称性质,从截面,C,截开得到的相当系统为,C,P,P,X,(A),P/2,X,(B),P,X,(C),P/2,X,(D),答案：,(D),八、如图所示,线膨胀系数为,的悬臂梁,AB,室温时右端正好靠在光滑斜面上,当温度升高,时,斜面,正则方程为,:,对杆,B,的支座反力为,若用力法求解,则,:,正则方程中的,:,答案：,(D),例,24:,梁,ABC,原来是一根直梁,后来支座,A,B,发生沉陷,沉陷量为,求,C,处约束反力,.,解：,1,）判断静不定种类及次数,约束反力一次静不定,2,）解除,C,点约束，建立静定基,3,）对静定基进行受力分析，建立相当系统,4,）研究,C,点竖直线位移，建立正则方程,由正则方程,得,:,例,25,：求,A,、,B,两点间的相对线位移,AB,。,由对称性知,:,变形协调条件,:,讨论：对称性的利用：,对称结构：,若将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。,正对称载荷：,绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。,反对称载荷：,绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。,对称结构在正对称载荷作用下：,结构的内力及变形是对称的,位于对称轴上的截面,C,的内力,F,S,=0,对称结构在反对称载荷作用下：,结构的内力及变形是反对称的,位于对称轴上的截面,C,的内力,F,N,=0,，,M,=0,例,26,：平面框架受切向分布载荷,q,作用，求截面,A,的剪力、弯矩和轴力。,解：,例,27,：图示小曲率杆在力偶,M,e,与均匀分布剪流,q,作用下处于平衡状态,已知,q,、,R,与,EI,=,常数,试求截面,A,的剪力、弯矩和轴力。,R,解：,R,R,例,28,：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。,解：,例,29,：图示等直杆两端固定，材料弹性模量为,E,，,横截面面积为,A,。,求两端的反力。,例,30,：如图所示，,AB,为刚杆，,1,、,2,、,3,杆,E,、,A,、,l,均相同，求各杆内力值。,解：,变形协调条件：,引用胡克定律，可得：,静力平衡条件：,另解：,例,31,：如图所示，,AB,为刚性杆，,1,、,2,、,3,杆,E,、,A,、,l,均相同,求三杆的轴力和变形。,例,32,图示桁架结构，三杆拉压刚度,EA,相同,求杆,1,、,2,、,3,的内力,。,例,33,：两端固定的梁，跨中受集中力,F,作用,设梁的抗弯刚度为,EI,，,不计轴力影响。求梁中点的挠度。,解：,例,34,：已知桁架各杆的拉压刚度为,EA,，,求各杆的轴力。,解：,由,得,例,35,：图示平面桁架，已知各杆的,E,皆,相同,，,CA,、,AB,、,BF,三杆的横截面面积均为,30 cm,2,其余各杆面积均为,15 cm,2,，,a,=6m,，,F,=130,kN,。,试求杆,AB,的轴力。,解：,-,F,/,由,得,例,36,：已知图示桁架各杆的拉压刚度为,EA,，,试求各杆轴力。,解：,1/,1/,1/,1/,由,得,例,37,：已知图示桁架各杆的拉压刚度为,EA,，,试求各杆轴力。,解：,F,/,F,/,F,/,-1/,-1/,-1/,(,a,为,1,、,2,、,3,杆的长度,),得,由,例,38,：半径为,R,的小曲率圆环受力如图，已知圆环的弯曲刚度为,EI,，,M,e,=2,FR,，,试求圆环,D,截面处的内力,。,解：,由,得,例,39,：图示直角折杆水平放置，已知折杆的弯曲刚度为,EI,，,扭转刚度为,GI,p,。,试求支座,C,的反力。,F,l,/2,l,/2,a,a,A,B,C,例,40,：图示刚架水平放置，已知刚架的弯曲刚度为,EI,，,扭转刚度为,GI,p,。,试求支座,A,的反力。（设,),例,41,：正交折杆,ABC,放置于水平面内，已知折杆,ABC,的弯曲刚度为,EI,、,扭转刚度为,GI,p,及杆,CD,的拉压刚度为,EA,。,试求杆,CD,的轴力。,(,不考试压杆稳定性）,解：,例,42,：图示桁架，,A,、,B,处为固定铰链。已知各杆的拉压刚度为,EA,，,试求支反力。,解：,例,43,：图示桁架，各杆长度均为,a,，,拉压刚度均为,EA,，,试求各杆轴力。,解：,单位力作用下各杆轴力,静定基各杆轴力,例,44:,已知图示梁的弯曲刚度为,EI,，,用力法求支反力。,应将支座,B,看成多余约束！,例,16,：已知梁的抗弯刚度为,EI,，,不计轴力影响。求梁的支反力。,解：,例,45,：,由,得,例,24,、求图示结构的约束反力,.,习题,14-25,，,14-26,本章结束,