置换群不可约表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4,.,3,杨表和杨算符,本节要证明：,杨算符与置换群群代数的原始幂等元成比例,由杨算符方法可以构造置换群群代数的标准基,提供一个简便的方法，计算置换群的不等价不可约表示矩阵,一,、,置换群群代数的原始幂等元,e,j,是原始幂等元的充要条件是：对,L,中任一矢量 t 都有下式成立,条件可以放宽,1,1,.,定理五,若置换群群代数的矢量,X,满足,两个原始幂等元e,i,，e,j,(它们生成两个最小左理想,L,i,，,L,j,等价)的充要条件是：至少存在一个群元素S，满足,下面证明：杨算符,Y,与置换群原始幂等元成比例，并讨论它们产生的左理想的等价性(1个定理，6个推论),其中P,Q是杨算符,Y 的任意横向, 纵向置换，则X 与杨算符Y 只差常系数,，即 X =Y,证 明：,杨算符是置换群群元素的代数和，是群代数矢量,2,3,群代数矢量X 与杨算符Y 有相同的对称性质，设,4,对不属于杨算符Y 的置换,R,，由定理四 推论四,综上：X=,Y ，即,5,3,.,推论二,杨算符的平方不为零,证 明：,则由定理五：,X,=,Y,，即,Y,t,Y,=,t,Y,2,.,推论一,设t 是置换群群代数的任意矢量，则,Y,t,Y,=,t,Y,，其中,t,是依赖于t的数，可为零,其中，f由,Y,产生的右理想,R,Y,=YL,的维数,4,.,推论三,是置换群的原始幂等元,(即杨算符,Y,与置换群的原始幂等元成比例),6,由杨算符,Y,和,Y 生成的最小左理想等价的充要条件是：它们对应的杨图相同,6,.,推论五,对同一个杨图，设填在杨表,Y,的同一列的数字在杨表,Y,中都不填在同一行，则相应的杨算符乘积,Y,Y,0,5,.,推论四,Y,与置换群原始幂等元成比例,Y,Y,生成最小左理想,置换群不可约表示,置换群不可约表示等价,杨图相同,因此，可用杨图来标记置换群不等价不可约表示,置换群不等价不可约表示数目=类的数目，置换群的类可用杨图表示(用配分数表示),两个原始幂等元e,i,，e,j,(它们生成两个最小左理想,L,i,，,L,j,等价)的充要条件是：,7,对应,不同杨图,的杨算符,Y,和,Y 相互正交，即Y,Y=Y Y =,0,7,.,推论六,二,、,置换群正交的原始幂等元,对应不同杨图的杨算符,Y,和,Y 相互正交,对应同一杨图，不同正则杨表的杨算符不一定正交,由定理四 推论二：对同一杨图，正则杨表,Y,Y,时，,Y,Y,=0,当正则杨表,Y,Y,时，,Y,Y,=0，即,Y,Y,=0(),当时，要逐对检查乘积是否为零，依据,定理四：对同一杨图，若对换T,0,是,Y,的纵向置换(列)，,Y,的横向置换(行)，则,Y,Y,=0,定理四 推论三：,Y,同一列的数字都不在,Y,的同一行，则把,Y,变成,Y,的置换R属于,Y,也属于,Y,，即,Y,=R,Y,R,-1, R=PQ=PQ,正则杨表由小到大依次排序,杨表,Y,1,1 2 3,4 5,杨表,Y,2,1 2 4,3 5,杨表,Y,3,1 2 5,3 4,杨表,Y,4,1 3 4,2 5,杨表,Y,5,1 3 5,2 4,9,杨表,Y,1,1 2 3,4 5,杨表,Y,2,1 2 4,3 5,杨表,Y,3,1 2 5,3 4,杨表,Y,4,1 3 4,2 5,杨表,Y,5,1 3 5,2 4,Y,小,Y,大,：,只有：,其它均为零,先写出将Y,5,变成Y,1,的置换：（第一行Y,5,，第二行Y,1,）,将,R,成无公共客体轮换的乘积,10,用切断法，将R分解成,Y,5,的,PQ,，将Y,5,的横向置换左移，纵向置换右移,杨表,Y,5,1 3 5,2 4,与R有关的,Y,5,的,横、纵向置换为,或者将R分解成,Y,1,的,PQ,，将Y,1,的横向置换左移，纵向置换右移,杨表,Y,1,1 2 3,4 5,与R有关的,Y,1,的,横、纵向置换为,11,R还可以写成,Q,1,P,5,Q,5,P,1,若要求表示选基：线性无关，正交,希望：给定杨图，正则杨算符作适当组合，使它们正交可与表示相联系,适当组合：杨算符左乘或右乘一个适当的群代数矢量，为以后方便，重点讨论右乘矢量的办法,上面的例中，只有,Y,1,Y,5,0，取,12,大,小,0,13,上面对S,5,而言，更一般的，对给定杨图,，若d个正则杨算符不完全正交，我们希望选取合适的群代数矢量,y,右乘到杨算符,Y,上，满足,2,.,构造正交原始幂等元,其中，f 是杨算符,Y,产生的左(右)理想的维数，与杨图,对应，标记为,Y,，计算时，对给定，为书写方便常省略上标,由上式成立，要求,y,满足,正则杨表维数,14,定义：置换R,是把正则杨表,Y,变成,Y,的变换，则,由定理四 推论三：填在,Y ,同一列的数都不在,Y,的同一行，则,Y,=R,Y,R,-1,R=PQ=PQ,P,Q是杨表,Y,的横,纵向置换，上标()表示与杨表,Y,有关,15,显然,Y,Y,0,时，有,即,原始幂等元,y,如何求得，数学归纳法可,证明下面的,y,满足前面的要求,16,用前面S,5,例验证,0 0 0 P,5,(1),E,与前面结论一致,由前面P,满足的三个式子可得出,群代数矢量，可为0,上面讲的是，杨算符右乘群代数矢量,y,，使组合后的杨算符相互正交(以后采用此法)。若采用杨算符左乘群代数矢量组合杨算符，则取,17,下面是关于置换群正交幂等元的定理,3,.,定理六,在与给定杨图,对应的单纯双边理想,I,中，下面d,个幂等元e,构成一组完备的正交原始幂等元,其中，,Y,对应杨图,的杨算符，恒元可按这些原始幂等元分解,18,三,、,置换群不可约表示的表示矩阵,每个杨图对应置换群的一个不可约表示,现在讨论给定杨图，如何选择标准基，并在此标准基中如何具体计算置换群群元素的表示矩阵,因杨图已给定，下面计算中略去标记杨图的指标,1,.,标准基的选择,前面定义的置换R,是把正则杨表,Y,变成,Y,的变换,对给定杨图,，由定理六：一组完备正交的原始幂等元为,19,由这些置换R,与正则杨算符构造的原始幂等元可定义d,2,个基,R,e,可以自动产生其左边对应的e,20,由R,满足的条件可证明，上面定义的b,满足标准基的条件,因此，上面定义的b,就是置换群的标准基，同一原始幂等元生成的最小左(右)理想在这组基中得到的表示完全相同。选定基后，可计算置换群的不可约表示。,2,.,不可约表示,在左理想,L,1,中，找置换群元素S的表示矩阵D(S),b,11,e,1,21,为简化上式，把两个杨算符之间的量移开,以消去一个杨算符，依据,等式右边的量与e,1,成正比。,y,是群元素的组合，组合系数为+1,-1,可以在形式上写成,设,(T,k,),-1,是把杨表,Y,变成杨表,Y,k,；,S,是把杨表,Y,变成,Y,(S)；,则上式可化为,22,(T,k,),-1,：,Y,Y,k,S,：,Y,Y,(S),计算,Y,k,Y,(S),若存在一对数，在杨表,Y,(S)中填在同一行，且在杨表,Y,k,中填在同一列，则,反之，若填在杨表,Y,(S)同一行的数都不在杨表,Y,k,的同一列，则存在置换,R=P,(S)Q,(S),Y,k,=R,Y,(S)R,-1,23,对应,Y,k,的置换之积,方括号中的置换是,Y,k,的纵向置换，其作用是将,Y,(S) ,Y,k,；其逆变换可把,Y,k,Y,，使,Y,和,Y,(S)每一对应行包含的填数相同，但填数顺序不一定相同,前面,24,e,1,25,看方括号中的表达式，置换乘积从右向左作用,方括号中的置换是一个恒等变换等式右边正比于e,1,选择标准基，置换群的不可约表示的矩阵元素都是整数1，0，-1，因此置换群的不可约表示都是实表示,26,3,.,表示矩阵元的计算,k,：,y,的展开系数,(n5时,y,=E),方法：,若存在一对数，填在,Y,(S)同一行，且在,Y,k,的同一列，则,(Q,k,)=0；,若填在,Y,(S),同一行的数都不在,Y,k,的同一列，则找,Y,k,的纵向置换,Q,k,-1,，它将,Y,k,Y,，,使,Y,与,Y,(S),每行的填数相同，,(Q,k,),是,Q,k,的置换宇称,(Q,k,)：可通过对比,Y,k,与,Y,(S)得到,首先写出杨图对应的正则杨表,Y,及,y,（得到T,k,）,用列表法计算群元素S在表示,中的表示矩阵,27,逐项计算(T,k,-1,)对,Y,作用，得到新杨表,Y,k,用新杨表,Y,k,代替,Y,中的T,k,，得到杨表的组合式，按,增加的次序填在表的左一列，这一列对计算任何群元素表示矩阵都相同,例：n=5，对杨图3,2，S=(12345),杨表,Y,1,1 2 3,4 5,杨表,Y,2,1 2 4,3 5,杨表,Y,3,1 2 5,3 4,杨表,Y,4,1 3 4,2 5,杨表,Y,5,1 3 5,2 4,将要计算的矩阵元素S作用在正则杨表,Y,上得到,Y,(S)按的增加顺序列于表的最上一行,Table,28,表的内容dd，,通过比较,Y,k,与,Y,(S)，得到,(Q,k,),用,(Q,k,),代替最左一列第,行中的杨表,Y,k,得到组合系数就是D,(S)，填入表中,行列位置,表中对角元之和就是特征标,Q,k,：,Y,k,Y, 与,Y,(S)每行填数相同(,Y,k,Y,(S)0时)，因此，要先判断,Y,k,Y,(S),是否为零,Table,练习：,S,5, 3,2 和S,4,2,2 : S=(12), S=(23)的表示,29,1,2,(-1),-,0,0,-,1,1,-,0,0,-,(-1),0,-,0,(-1),(-1),(-1),0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,(-1),0,1,1,30,四,、,计算特征标的等效方法,前面列表法计算出置换群不等价不可约表示矩阵不可约表示的特征标，但这种方法比较复杂,下面介绍一种等效方法，无需计算表示矩阵，只根据表示,和类(,l,)这两个配分数，就可方便地计算出特征标,步 骤,把描写类的非零配分数,按顺序排列(由小到大),例：n=5，对杨图,=3,2表示特征标表,S,5,的类,(1,5,),(1,3,2),(1,2,2,),(1,2,3),(2,3),(1,4),(5),31,排定后，用,l,1,个1,l,2,个2,.,l,j,个j,填入杨图,，要满足,正则填充法,：,每个数字填完后，已填格子必须构成“正则杨表”,填充同一数字的格子必须相连,由填同一数字的最左下方格子开始，沿向右或向上的方向，可以不回头地一次走遍填该数的全部格子,这些格子所占行数减1得到的奇偶性是该数字的填充宇称+1 或 -1，即,(-1),r-1,：r是同一数字填格所占行数,按上面方法将全部数字填入杨图，称一次正则填充；,一次正则填充的宇称,是,所有数字填充宇称的,乘积,将,各次正则填充的填充宇称相,加即得到类(,l,)在表示中的特征标,(,l,),恒元(1,n,):,自成一类，特征表示不可约表示的维数，用前面钩形规则计算,32,杨图,=3,2, S,5,的类,(1,5,),(1,3,2),(1,2,2,),(1,2,3),(2,3),(1,4),(5),(1,5,)：,d,3,2,=5,(1,2,2,):,将1个1，2个2，2个3填入3,2,1 2 3,4 4,1+1；2+1,3+1；4+1,数字的填充宇称,(-1),r-1,1 2 4,3 4,1 3 4,2 4,1 4 4,2 3,(1,3,2):,将1个1，1个2，1个3，2个4填入3,2,1 2 2,3 3,(1,2,2,)=1,(1,3,2)=1,1 3 3,2 2,1 2 3,3 2,33,练习：,用等效方法计算S,6,群各类在下列不可约表示中的特征标 (1) 3,2,1 (2) 3,3 (3) 2,2,2,类(,l,)配分数排序：由大到小排列,l,j,也可以，但可能会增加正则填充数，最后宇称相加必是一样的,如何由杨算符计算标准基和不等价不可约表示？以S,3,为例讲解,34,五,、,三个客体的置换群,S,3,S,3,群与正三角形对称群D,3,同构,(1,3,)恒元E,(2,1)三个元素 A=(23) B=(31) C=(12),(3)两个元素 D=(321) F=(123),给定杨图正则杨表杨算符标准基,对三个杨图分别计算,杨图3:,只有一个正则杨表123，对应一维表示恒等表示,d,3,=1, R,=R,11,=E,y,=E,b,3,=b,3,=R,11,e,3,1,=1/3!E+(12)+(13)+(23)+(123)+(321),35,杨图2,1:,Y,1,1 2,3,Y,2,1 3,2,d,2,1,=2,对应二维表示,y,=E,R,11,=E,R,22,=E,36,可用列表法计算生成元(12)和(123)的表示矩阵,练习,标准基不正交，表示不是实正交表示,实正交形式：按X组合标准基，可得到群空间正交归一矢量,杨图1,3,:,只有一个正则杨表，对应一维表示反对称表示,d,1,3,=1, R,=R,11,=E,y,=E,b,1,3,=R,11,e,1,3,1,=1/3!E-(12)-(13)-(23)+(123)+(321),37,