欧拉公式的适用范围中、小柔度杆的临界力

思考：压杆,临界压力,P,cr,=,？,L,1,L,2,欧拉公式,(,l),2,2,EI,P,cr,=,D,a,a,94,欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界力,问题的提出,三类不同的压杆,柔 度,临界应力总图,材料和直径,均相同,能不能应用,欧拉公式计算,四根压杆的临,界载荷？,四根压杆是,不是都会发生,弹性屈曲？,问题的提出,定义,：,柔度（长细比）,(Slenderness,),截面的惯性半径,或者，,柔度,(Slenderness),对于弹性屈曲,必须有：,p,比例极限,柔 度,影响压杆承载能力的综合指标。,柔度,截面的惯性半径,欧拉公式的适用范围：,可以设：,cr,P,时，,=,p,为了满足：,即：,cr,2,E,p,2,显然，只有,p,时，即：对于,大柔度杆,，才可以用欧拉公式计算压杆临界力。,应当记忆：,对于一般钢材，,P,=200300MPa,。,其,p,100,左右。,cr,P,2,E,2,P,E,p,所以：,三类不同的压杆,细长杆（,大柔度杆,）,发生弹性屈曲,中长杆（,中柔度杆,）,发生弹塑性屈曲,粗短,杆（小,柔度杆,）,不发生屈曲，而发生屈服,大柔度杆,临界应力计算,cr,2,E,2,P,cr,A,注意：,3.,对于,大,柔度,钢杆,，试图通过,改换更高强度的钢种,来提高杆的稳定性是,无意义,的,。,1.,对于大,柔度杆，,cr,与材料的弹性模量成正比，与,柔度的平方,成反比。,2.,采用高,弹性模量,的材料，可提高杆的稳定性。,细长杆,中长杆,粗短,杆,临界应力总图,p,S,s,p,cr,O,cr,= a - b,2,cr,=,s,cr,=a - b,不同的应力水平采用不同的临界应力公式,中,柔度杆,临界应力计算,可以采用经验公式：,cr,a - b,注意：,1. a,、,b,是材料常数，可查表。,2.,对于中,柔度杆，一般地，,塑性屈曲极限越高，相应的,cr,也提高。,3.,对于,中,柔度杆，采用高,屈曲极限,的材料，可提高稳定性。,可以设：,cr,S,时，,=,S,为了满足：,即：,S,a - b,S,显然，只有,P,S,时，即：对于,中柔度杆,，才可以,用经验公式,计算压杆临界应力。,cr,a - b,S,a -,S,S,所以：,b,细长杆,(,p,),发生弹性屈曲，用欧拉公式。,中长杆,(,s, ,p,),发生弹塑性屈曲，用经验公式。,短粗,杆,(, ,s,),不发生屈曲，而发生 屈服。,小结：,如对于大,柔度杆,误用了经验公式，或对于,中柔度杆,误用了欧拉公式，所得,临界应力比实际值大还是小？,思考：,算例,1,分析,:,哪一根压杆的临界载荷比较大；,分析,:,哪一根压杆的临界载荷比较大：,P,cr,=,cr,A,=,l / i ,a,=,20,/d ,b,=,18,/d .,P,cr,(a,),n,st,=1.8,稳定性是安全的。,图示结构, AB,为,18,号工字钢梁,=120MPa, CE,和,DF,均为两端铰链约束的圆截面钢杆，,d,=24mm,P,=100,S,=61.4,。,求:,结构整体失稳时的理论极限载荷,P,max,=,？,A,B,P,C,D,E,F,1m,1m,1.5m,1m,算例,2,解题,思路,由于,CE,和,DF,杆与,结构是并联关系，只有,CE,和,DF,杆都,失稳时，才导致结构整体失稳。（,DF,杆先,失稳，此后,杆内力保持不变为,P,cr,）,因此，应当按照两,压杆的临界载荷,P,cr,对,A,点取力矩平衡而求出结构的理论极限载荷,P,max,。,A,B,P,C,D,E,F,1m,1m,1.5m,1m,图示结构, AB,为,18,号工字钢梁,=120MPa, CD,为两端铰链约束的圆截面钢杆，,d,=24mm,P,=100,S,=61.4,，,n,st,=2.8,。,要求:,A,B,P,C,D,3m,1.8m,1m,结构的,许用载荷,P,max,=,？,算例,3,解题,思路,校核时，必须先按梁,AB,的强度估算一个许用载荷,。,再按杆,CD,梁的,稳定要求，估算第二个许用载荷,。,实际的许用载荷则为二者中最小值。 即：,P,max,=min,：,，,A,B,P,C,D,3m,1.8m,1m,图示结构, AC,是圆截面钢杆，,d,=80mm,C,端与,CB,杆用球铰链连接，,A,、,B,端均为固定端约束。,BC,为矩形截面杆，截面尺寸为,b,h=,70,90mm,杆长如图所示,两杆材料相同,材料的弹性模量,E,205GPa,P,=100,S,=61.4,，,热膨胀系数,=12.5,，,n,st,=3,。,求：当材料内温度升高,100,度后，校核系统的稳定性。,3m,1.8m,A,B,C,d,b,h,算例,4,解题,思路,由于,CE,和,DF,杆与,结构是串联关系，只要两,杆中有一根杆,失稳，就导致结构整体失稳。,3m,1.8m,A,B,C,d,b,h,先求出,AC,杆和,CB,杆的,临界载荷,P,cr,，,再按静不定杆方法，求出杆,AC,和杆,CB,的轴力。最后就可校核系统的稳定性,。,96,提高压杆稳定性的措施,中柔度杆,：,目标：提高,临界载荷,P,cr,l,2,2,EI,P,cr,大,柔度杆：,P,cr,A,(,a - b,),1.,细长压杆：,提高弹性模量,E,2.,中粗压杆和粗短压杆：,提高屈服强度,s,s,1.,采用合理的截面形状：,各方向约束相同时：,1),各方向惯性矩,I,相等,采用正方形优于圆形截面；,2),增大惯性矩,I,采用空心截面或组合截面较好；,压杆两方向约束不同时：,使两方向柔度接近相等,，可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。,（二）、从柔度方面考虑,（一）、从材料方面考虑,2.,减少压杆支承长度：,直接减少压杆长度,；,增加中间支承,；,整体稳定性与局部稳定性相近,；,P,P,P,L,a,角钢,缀条,x,y,3.,加固杆端约束：,尽可能做到使压杆两端部接近刚性固接,。,Homework,915, 917, 920,本课结束,