弯曲应力-正应力及强度条件

第五章,弯曲应力,5,-1 梁弯曲时的正应力,梁的,横截面具有对称轴,，,对称轴与轴线组成,纵向对称面,，,如果所有的,外载荷都作用在纵向对称平面内,，,梁的轴线在,纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线,。,平面弯曲：,P,P,P,弯曲内力,弯矩,剪力,由正应力构成,由剪应力构成,M,Pa,P,P,Q,横力弯曲,纯弯曲,a,a,P,P,x,y,A,B,C,D,AB,段和,CD,段：,BC,段：,梁纯弯曲时的正应力,一、变形观察,1. 横向线仍为直线,但相对转动,;,2. 纵向线由直线变成曲线,有的伸长,有的缩短;,3. 纵向线与横向线仍然互相垂直。,dx,n,1,m,1,m,2,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,m,1,n,1,m,2,n,2,a,1,a,2,o,1,o,2,M,M,b,1,b,2,二、平截面假设：,原为平面的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，而且仍然与变形后的轴线垂直；,z,y,4.弯曲变形坐标系的建立:,X,轴,沿着梁的轴线方向;,Y，Z,轴确定横截面;,中性轴用,Z,轴,表示;,横截面的对称轴用,Y,轴,表示,三、中性层，中性轴：,dx,n,1,m,1,m,2,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,m,1,n,1,m,2,n,2,a,1,a,2,o,1,o,2,M,M,b,1,b,2,1.既不伸长又不缩短的纤维层称为,中性层,2.中性层与横截面的交线称为,中性轴;,见书,P143-,图5.3,3.中性轴与横截面的对称轴,一定垂直;,5.中性层将梁分为两部分,中性层一侧纤维伸长,另一侧纤维缩短,梁在发生弯曲变形时,横截面都绕着各自的中性轴做轻微地转动;,6.纵向纤维之间无挤压;,z,y,y,b,b,1、几何关系,m,1,m,2,n,1,n,2,M,M,a,1,a,2,b,1,b,2,o,1,o,2,四、正应力公式推导,y,dx,n,1,m,1,m,2,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比,2、物理关系：,任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比;,横截面上的正应力沿截面高度成直线规律变化;,横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比;,中性轴通过形心,2),Y,轴,如果不是对称轴,yz,为形心主惯性轴,3、平衡条件：,x,z,y,M,构成空间平行力系,dA,梁的轴线位于中性层上,1),Y,轴是对称轴，所以这个条件自动满足；,3)梁,发生平面弯曲的条件:,外力位于形心主惯性平面内,的正负号，通常是根据变形来判断;,x,z,y,M,dA,梁的抗弯刚度,说明：, 同一截面上，部分受拉，部分受压；,M,为正：下拉上压；,M,为负：上拉下压;,公式适用范围：,a.,弹性范围；,b.,载荷作用在形心主惯性平面内,M:,是该点所在横截面的弯矩,是该点所在横截面对中性轴的惯性矩,y:,是该点到中性轴的距离,a,a,P,P,y,解:,竖放时,求:(1)中点截面竖放时距离中性层20,mm,处的正应力和最大正应力,max,;,(2),中点截面横放时的最大正应力,max,横放时,例： 图示简支梁,已知:,a=180mm,P=5kN,截面为,b,h=30 60mm,2,的矩形,b,h,20,5-3 梁弯曲的强度计算,1、纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲,以上有关纯弯曲的正应力的公式，,对于横力弯曲的情形，如果是细长杆，也可以近似适用,。理论与实验结果都表明，在横力弯曲时，由于剪应力的存在，梁的横截面在弯曲之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，但对于细长梁，这种翘曲对正应力的是很小的。通常都可以忽略不计。,2. 取定截面上的最大应力,（在距中性轴最远的上下边缘点）,中性轴为对称轴：, 抗弯截面模量,（,m,3,）,中性轴为非对称轴:,矩形截面,：,实心圆截面,：,4. 强度条件：, 弯曲容许正应力,应用：,强度校核：,设计截面：,计算承载力：,3. 全梁最大正应力：,对等截面梁而言：,对,变截面梁而言：,在弯矩为最大的截面上距中性轴最远的上下边缘各点,在某一个截面上距中性轴最远的上下边缘各点,若,材料的抗拉压性能相同，校核绝对值大的应力；,若材料的抗拉压能力不同，则须分别校核；,例：,选择工字钢型号。,已知：,P,2,P,1,l/3,l/3,l/3,38,34,M,图,(,kN,m),（2）画弯矩图，确定,（3）根据强度条件计算,W,z,解：,19,kN,17,kN,（1）求约束反力；,（3）查表：,如果:,W,z,小于计算值，验算,max,，,不超过,的,5%,，,工程上允许,。,例：,图示结构的最大拉应力发生在梁的哪点上？,z,y,1,y,2,中性轴,已知：,D,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,P369,选,20,a,1.8,2.7,D,B,C,A,M(,kN,m),分析：,z,y,1,y,2,中性轴,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,最大拉应力发生在,B,截面上边缘,C,截面：,弯矩为正,最大拉应力：,最大压应力：,B,截面：,弯矩为负,最大拉应力：,最大压应力：,最大压应力发生在,C,截面的上边缘,画弯矩图,D,1.8,2.7,B,C,A,M(,kN,m),注:,对于在横截面上，中性轴不是对称轴的梁,，,即便是等截面直梁，最大正弯矩和最大负弯矩截面都,是危险截面；,z,y,1,y,2,中性轴,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,最大拉应力发生在,B,截面上边缘,最大压应力发生在,C,截面的上边缘,见书,P162-,例5-7,习题,材料力学,5-4，5-5，5-8，5-11,