应力和应变分析强度理论

单击此处编辑母版标题样式,Mechanics of Materials,*,*,第八章 应力和应变分析 强度理论,应力状态的概念,应力状态的分析方法,应变状态和应变分析方法,广义虎克定律,材料的破坏形式 强度理论,Mechanics of Materials,8-1,应力状态的概念,问题的提出,应力随点的位置变化,应力随截面的方位变化,Mechanics of Materials,地震荷载作用下的墙体破坏,说明,:,破坏面与受力方向可能不一致。,对同一点,:,一个方向上满足强度要求,并不能说明已经安全。,推论,:,Mechanics of Materials,研究应力状态的方法,：截取单元体；施用截面法。,截取单元体,单元体受力特征,应力在每个侧面上均布；,对面上应力等值，反向。,相互平行面上应力相等,。,从,构件中截取一个三维方向尺寸无限小的正六面体（单元体）,研究应力状态的目的,：,研究应力随点和面的变化规律，,以确定,最大正应力 和,最大切应力 。,应力状态的初步概念：,过一点处不同方向面上的应力情况,。,Mechanics of Materials,原始单元体（各侧面应力已知的单元体）,轴,梁,杆,施用截面法（用截面法找到特殊截面）,梁,= 0的,平面 主平面,主平面上的正应力,主应力,第一主应力,第二主应力,第三主应力,Mechanics of Materials,应力状态概念的进一步说明,拉中有切,切中有拉,根据单元体的平衡条件说明：同一单元体的,不同方向面上,的应力一般是不相同的。这便是应力的,面的概念,。,根据单元体的平衡条件分析任意方向面上的应力情况,Mechanics of Materials,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上,不同点,的应力各不相同，此即,应力的,点的概念,。,F,Q,F,N,x,正应力随点的位置改变,切应力随点的位置改变,Mechanics of Materials,应 力,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的,应力状态,（,State of the Stresses of a Given Point）。,哪一个面上,？,哪一点,？,哪一点,？,哪个方向面,？,指明,Mechanics of Materials,一点应力状态的描述,单元体（,Element）,各边边长,d,x,d,y,d,z,单元体及其各面上的应力,Mechanics of Materials,(,Three,-,Dimensional,State,of,Stresses ),三向（空间）应力状态,y,x,z,一点应力状态的描述,Mechanics of Materials,(,Plane,State,of,Stresses ),平面（二向）,应力状态,x,y,一点,应力状态的描述,即当,z,= 0，,zx,= ,zy,= 0,Mechanics of Materials,x,y,单向应力状态,(,One Dimensional State of Stresses ),纯剪应力状态,(,Shearing State of Stresses ),一点,应力状态的描述,x,y,Mechanics of Materials,三向应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,特例,特例,一点,应力状态的描述,Mechanics of Materials,示例一,：,F,P,l/2,l/2,S,平面,一点,应力状态的描述,Mechanics of Materials,1,2,3,一点,应力状态的描述,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,S,平面,示例一,Mechanics of Materials,示例二,F,P,l,a,S,一点,应力状态的描述,Mechanics of Materials,一点,应力状态的描述,x,z,y,4,3,2,1,S,平面,示例二,Mechanics of Materials,一点,应力状态的描述,y,x,z,M,z,F,Q,y,M,x,4,3,2,1,1,4,3,示例二,Mechanics of Materials,8-3,二向应力状态分析（,解析法,）,如图所示原始单元体,取,任意斜截面假想将单元体分为两部分,Mechanics of Materials,单元体局部的平衡方程,t,yx,参加平衡的量,d,A,q,x,y,用,斜截面截取的微,元局部,应力乘以其作用的,面积,二向应力状态的解析法,Mechanics of Materials,q,q,s,-,cos,),cos,(,d,A,x,-,s,q,q,y,d,A,(,sin,),sin,t,yx,d,A,q,d,A,x,+,t,q,q,d,A,(,cos,),sin,xy,+,t,q,q,d,A,(,sin,),cos,yx,x,d,A,q,二向应力状态的解析法,Mechanics of Materials,-,t,x,y ,d,A,+,s,q,q,x,d,A,(,cos,),sin,+,t,q,q,xy,d,A,(,cos,),cos,-,s,q,q,y,d,A,(,sin,),cos,-,t,q,q,yx,d,A,(,sin,),sin,t,yx,d,A,q,d,A,q,二向应力状态的解析法,Mechanics of Materials,由三角公式：,整理得,:,-（1）,其中,:,-,任意斜截面应力,-,斜截面法向,n,与,x,轴正向夹角,-,正截面应力,t,yx,x,y,n,Mechanics of Materials,如果,:,1.,主应力,:,正应力的极值（极大、极小）,8-3,主应力、主平面、主剪应力,对(1),式第一式求导,得:,Mechanics of Materials,由(2),可解出,:,0,相差,90,o,的两个根，说明：,-（2）,由(2),可表示出,sin2,0,、,cos,2,0,代入,(1),第一式，,得：,-（3）,出现主应力的两个面相互垂直。,Mechanics of Materials,2.,主平面,:,3.,主剪应力,:,剪应力的极值（极大、极小）,对(1),式第二式求导,单元体上主应力所在的平面，该面上的剪应力为零。,经推导得,:,-（4）,推导过程同主应力求法类似。,Mechanics of Materials,-（5）,由(5),可解出,:,相差,90,o,的两个根,说明,:,讨论,:,由(2)和(5),可知,:,推知,:,2,0,与,2,相差,90,o,，,0,与,相差,45,o,-（2）,出现主剪应力的两个面相互垂直。,Mechanics of Materials,(3),式中两式相减与,(4),式比较,:,- (3),-,(4),(3),式中两式相加,:,-（3）,Mechanics of Materials,例题：原始单元体如图示。试求：,50,30,20,应力单位：,MPa,解：写出各应力元素的具体数值,Mechanics of Materials,2）.主应力，主平面,50,30,20,Mechanics of Materials,8-4,应力圆,1.,应力圆方程,(1),改写成,:,由(3),2,+ (2),2,得:,Mechanics of Materials,R,圆心,:,半径,:,应力圆,c,Mechanics of Materials,R,2.,应力圆作法,A,B,a,(,s,x,t,xy,),b,(,s,y,t,yx,),c,在,-,坐标中，,取对应于单元体,A、B,面的点,a、b,；,a、b,两点连线交,轴于,c,点；,以,c,为圆心,ac,为半径作圆。,Mechanics of Materials,3.,应力圆的应用,点 面 对 应,a,A,c,Mechanics of Materials,C,转向、二倍角对应,A,a,a,A,y,x,2q,q,Mechanics of Materials,求任意斜截面上的应力,a,(,s,x,t,xy,),b,(,s,y,t,yx,),c,自,ac,与,同向转,2,角得,ec,则,e,点的坐标就是,面上的,、,。,2,e,(,s,t,),Mechanics of Materials,a,(,s,x,t,xy,),(,s,y,t,yx,),b,c,o,求正应力的极值及方位：,d,d,Mechanics of Materials,在单元体上,0,max,、,0min,相差,90,0,a,(,s,x,t,xy,),(,s,y,t,yx,),b,c,d,d,o,x,y,a,Mechanics of Materials,求剪应力的极值及方位：,a,(,s,x,t,xy,),(,s,y,t,yx,),b,c,d,d,o,e,e,与,的作用面相差,45,0,Mechanics of Materials,在主剪应力面上,(,e, e,):,a,(,s,x,t,xy,),(,s,y,t,yx,),b,c,d,d,o,e,e,圆心横坐标,:,Mechanics of Materials,例题：原始单元体如图示。试用图解法求解：,1.,50,40,60,x,y,应力单位：,MPa,解题,步骤：,n,Mechanics of Materials,50,40,60,x,y,应力单位：,MPa,n,由应力圆中量取以下尺寸,Mechanics of Materials,50,40,60,x,y,应力单位：,MPa,n,计算结果：,y,应力单位：,MPa,n,50,40,60,Mechanics of Materials,s,z,s,x,s,y,t,xy,t,yx,至少有一个主应力及其主方向已知,s,y,t,xy,t,yx,s,x,s,z,三向应力状态特例的一般情形,定 义,三向应力状态 特例分析,Mechanics of Materials,s,1,s,2,s,3,三向应力状态,的应力圆,三向应力状态 特例分析,Mechanics of Materials,t,xy,s,x,III,II,I,平行于,s,1,的方向面其上之应力与,s,1,无关,，,于是由,s,2,、,s,3,可作出应力圆,I,s,3,s,2,s,1,I,平行于,s,2,的方向面其上之应力与,s,2,无关，于是由,s,1,、,s,3,可作出应力圆,II,II,s,2,s,1,s,3,平行于,s,3,的方向面其上之应力与,s,3,无关,，,于是由,s,1,、,s,2,可作出应力圆,III,s,3,III,s,2,s,1,三向应力状态,的应力圆,三向应力状态 特例分析,Mechanics of Materials,z,p,y,p,x,p,III,II,I,s,1,s,2,s,3,s,x,t,x,t,t,t,t,max,=,s,1,s,2,s,3,s,2,s,1,s,2,s,3,s,1,s,3,s,2,s,1,s,2,s,3,s,1,s,3,s,1,s,3,s,2,s,3,s,2,s,1,三向应力状态,的应力圆,三向应力状态 特例分析,Mechanics of Materials,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,Mechanics of Materials,一点处应力状态中的最大切应力只是,、,中最大者，即,:,Mechanics of Materials,O,200,50,300,50,平面应力状态作为,三向应力状态的特例,Mechanics of Materials,8-5,主应力迹线的概念,主应力迹线,:,主应力方向在梁内的分布规律。,m,m,m,m,主拉应力,1,方向,:,主拉应力,3,方向,:,自下而上由水平按顺时针转动。,自上而下由水平按逆时针转动。,Mechanics of Materials,钢筋如何布置？,主应力,迹线,:,压,拉,Mechanics of Materials,平面应变状态分析,应变状态的概念,单元体的变形描述,长度的改变,角度的改变,平面应变的描述,对于黑色坐标,对于蓝坐标系,二者关系,？,Mechanics of Materials,应变状态的概念,通过构件某点处不同方向上的应变情况。,研究应变状态的目的,研究应变的变化规律，确定,研究方法与步骤,用,叠加原理研究,Mechanics of Materials,Mechanics of Materials,Mechanics of Materials,Mechanics of Materials,依照叠加原理综合以上分析结果：,微分线段的总变形为,微分线段的线应变为,Mechanics of Materials,微分线段转过的角度:,Mechanics of Materials,将上式,略作改变便可以写为,至此，完成了应变规律的研究，即：,(A),(B),Mechanics of Materials,将,上述讨论作以形象化归纳,Mechanics of Materials,广义虎克定律,问题的提出,简单应力状态的 应力应变关系,纯剪应力状态的,应力应变关系,应力应变关系均可以 由简单实验确定,Mechanics of Materials,复杂应力状态的应力应变关系,应力分量,应变分量,应力应变关系,？,Mechanics of Materials,理论基础（弹性力学的结论）,各向同性的线弹性材料发生小变形时，线应变只和正应力有关，而与切应力无关；剪应变只和切应力有关，而与正应力无关。,研究方法（叠加原理）,先,研究,X,方向的线应变,Mechanics of Materials,叠加以上研究结果可得：,同理,可以求得,y,向和,z,向楞边的线应变,Mechanics of Materials,综合以上结论可得复杂应力状态的,应力应变关系,广义虎克定律,Mechanics of Materials,特例（主单元体）,三向,应力状态,三向应变状态,二向应力状态,三向应变状态,单向应力状态,三向应变状态,Mechanics of Materials,例题：钢质圆截面等直杆如图。,P,解：根据广义虎克定律得：,Mechanics of Materials,复杂应力状态的应变能密度,问题,轴向,拉伸,Mechanics of Materials,可以证明：复杂应力状态的应变能密度,正,立方体的,应变能密度,体积改变的,应变能密度,形状改变的,应变能密度,Mechanics of Materials,可,求得形状改变能密度,Mechanics of Materials,强度理论概述,问题,简单应力状态的强度条件,复杂应力状态的强度条件,如何建立,？,Mechanics of Materials,方法 （,逻辑推理的方法,）,现象,推测,假说,实践,学说,强度理论的概念,关于材料破坏原因的假说。,材料力学的一个基本问题就是研究构件发生破坏的条件，,直接根据实验结果建立强度条件的方法是强度计算中最,单可靠的方法。遗憾的是受实验技术的限制，复杂应力,状态的强度条件不能通过实验结果建立。,Mechanics of Materials,观察实验现象,低碳钢（塑）,拉伸实验,破坏现象 滑移,破坏原因-,扭转实验,简单,复杂,破坏现象切断,破坏原因-,破坏原因皆为,实验现象1,：,拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大切应力。,Mechanics of Materials,观察实验现象,铸铁（脆性）,拉伸实验,破坏现象 拉断,扭转实验,简单,复杂,破坏现象拉断,实验现象2,：,拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大拉应力。,破坏原因-,破坏原因皆为,破坏原因-,Mechanics of Materials,推测原因,根据诸如以上实验现象的大量工程材料破坏事实，人们推测：无论何种应力状态，构件破坏原因是由同一种力学因素造成的。,提出假说,造成破坏的,某一影响因素,理论分析求得,该,影响因素的,极限值,拉伸实验测定,Mechanics of Materials,第一强度理论 （,最大拉应力理论,） （1858年）,认为破坏条件：,理论,实验,强度条件：,实验表明：该理论与铸铁，陶瓷，岩石和混凝土等脆性材料的断裂破坏相符和。但是，该理论未考虑其他两个主应力的影响。对压缩应力 状态不适用。,Mechanics of Materials,第二强度理论 （,最大伸长线应变理论,）（1860）,认为破坏条件：,理论,实验,强度条件：,实验表明：该理论与铸铁，陶瓷，岩石和混凝土等脆性材料的单向压缩相符和。而且与铸铁的拉压二向应力且压力较大时相符和。,Mechanics of Materials,第三强度理论 （,最大切应力理论,） （1864年）,认为破坏条件：,理论,实验,强度条件：,实验表明：该理论较满意的解释了塑性材料的塑性屈服，且偏于安全。但是未考虑第二主应力的影响。,Mechanics of Materials,第四强度理论 （,形状改变比能理论,）（1904年）,认为破坏条件：,理论,实验,强度条件：,实验表明：该理论与实验结果相当接近，比第三强度理论更加完善。,Mechanics of Materials,第八章小结,1.,应力状态及其表示,:,一点各方向的应力情况；,2.,任意斜截面应力计算,:,由正截面应力推算斜截面应力。,单元体表示。,Mechanics of Materials,3.,应力极值及其方位计算,正应力,剪应力,Mechanics of Materials,R,c,4.,应力圆,应力圆几何特征的含义,半径、最大正应力、最大剪应力,Mechanics of Materials,应力圆中的对应关系,斜截面的法向在应力圆的位置,x,轴方向在应力圆的位置,各特征面（主平面、主剪应力面）之间的夹角关系,:,转角方向：,以,x,轴正向为起点，顺时针为负，逆时针为正。,a,(,s,x,t,xy,),(,s,y,t,yx,),b,c,d,d,o,e,e,Mechanics of Materials,思考：,画出图示单元体对应的应力圆。,Mechanics of Materials,a,(,s,x,t,xy,),(,s,y,t,yx,),b,c,d,d,o,e,e,是负值,Mechanics of Materials,请,批评指正,Mechanics of Materials,