Matlab线性定常连续系统状态方程的解

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Ch.3,线性系统的时域分析,本章简介,(1/1),本 章 简 介,本章讨论线性系统的运动分析。,主要介绍,连续系统与离散系统的状态空间模型的求解、,状态转移矩阵的性质和计算以及,连续系统状态方程的离散化。,本章最后介绍基于,Matlab,的状态空间模型求解与控制系统的运动仿真问题的程序设计与仿真计算。,目录(1/1),目 录,概述,3.1,线性定常连续系统状态方程的解,3.2,状态转移矩阵计算,3.3,线性时变连续系统状态方程的解,3.4,线性定常连续系统的离散化,3.5,线性定常离散系统状态方程的解,3.6 Matlab,问题,本章小结,概述(1/4),概 述,建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。,定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。,定性分析主要包括研究系统的结构性质,如,能控性、,能观性、,稳定性等。,概述(2/4),本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型-状态方程和输出方程的求解问题。,根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组,通常是很容易的。,可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。,状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变系统的求解公式具有一个统一的形式。,为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。,概述(3/4),本章讨论的另一个中心问题是连续系统状态方程的离散化,即建立连续系统的离散系统状态方程。,随着计算机在控制系统分析、设计和实时控制中的广泛应用,这个问题显得越来越重要。,在离散系统状态方程建立的基础上,本章也将讨论相应的状态方程求解问题,并将导出在形式上与连续系统状态方程的解一致的离散系统状态方程的解。,概述(4/4),本章需解决的问题:,线性定常连续系统状态方程的解理论,基本概念: 状态转移矩阵,状态转移矩阵和矩阵指数函数,e,At,的性质和计算,如何将线性定常连续系统离散化,线性定常离散系统状态方程的解理论,重点与难点喔!,线性定常连续系统状态方程的解,(1/,4),3.1,线性定常连续系统状态方程的解,求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分析的主要方法。,本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。,下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩阵这一基本概念。,该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变)等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。,线性定常连续系统状态方程的解,(2/,4),本节需解决的主要问题,状态转移矩阵?,矩阵指数函数？,状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质,齐次状态方程的求解?,非齐次状态方程的求解?,非齐次状态方程解的各部分的意义？,输出方程的解？,重点喔!,重点与难点喔!,要理解喔!,线性定常连续系统状态方程的解,(,3/4),在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。,所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项,(,u,(,t,)=0),的作用,满足方程解的齐次性。,研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的,自由(自治)运动,。,所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。,研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的,强迫运动,。,线性定常连续系统状态方程的解,(,4/4),下面,将依次分别讨论:,齐次状态方程的解,线性定常连续系统的状态转移矩阵,线性定常连续系统非齐次状态方程的解,系统的脉冲响应,线性定常齐次状态方程的解,(1,/2),3.1.1,线性定常齐次状态方程的解,什么是微分方程的齐次方程?,齐次方程就是指满足解的,齐次性,的方程，即若,x,是方程的解，则对任意非零的实数,a,a,x,亦是该方程的解。,所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的,自治方程,x,=,Ax,齐次状态方程满足初始状态,的解,也就是由初始时刻,t,0,的初始状态,x,(,t,0,),所引起的无输入强迫项(无外力)时的,自由运动,。,线性定常齐次状态方程的解,(2,/2),对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有,级数展开法,和,拉氏变换法,2,种。,级数展开法,(,1/12),1.,级数展开法,在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程,在初始时刻,t,0=0,的解。,该方程中,x,(,t,),为标量变量,a,为常数。,由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。,因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有,式中,q,k,(,k,=1,2,.),为待定级数展开系数。,级数展开法,(,2/12),将所设解代入该微分方程,可得,如果所设解是方程的真实解,则对任意,t,上式均成立。,因此,使,t,有相同幂次项的各项系数相等,即可求得,令,x,(,t,),的解表达式中,t,=0,可确定,q,0,=,x,(0),因此,x,(,t,),的解表达式可写为,级数展开法,(,3/12),上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。,为此,设其解为,t,的向量幂级数,即,x,(,t,),=,q,0,+,q,1,t,+,q,2,t,2,+,+,q,k,t,k,+,式中,q,k,(,k,=1,2,.),为待定级数展开系数向量。,将所设解代入该向量状态方程,x,=,Ax,可得,q,1,+,2,q,2,t,+,3,q,3,t,2,+,+,k,q,k,t,k-1,+,=,A,(,q,0,+,q,1,t,+,q,2,t,2,+,+,q,k,t,k,+,),如果所设解是方程的真实解,则对任意,t,上式均成立。,因此,使,t,有相同幂次项的各项系数相等,即可求得,级数展开法,(,4/12),若初始时刻,t,0,=0,初始状态,x,(0),=,x,0,则,可确定,q,0,=,x,(,0,),=,x,0,因此,状态,x,(,t,),的解可写为,该方程右边括号里的展开式是,n,n,维矩阵函数。,由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为,级数展开法,(,5/12),利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：,x,(,t,)=e,A,t,x,0,拉氏变换法,(,1/12),2,拉氏变换法,若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程,的解。,对该齐次状态方程,x,=,Ax,设初始时刻,t,0,=0且初始状态,x,(,t,)=,x,0,对方程两边取拉氏变换,可得,sX,(,s,)-,x,0,=,AX,(,s,),于是可求得该齐次状态方程的解,x,(,t,),的拉氏变换为,X,(,s,)=(,sI,-,A,),-1,x,0,拉氏变换法,(,2/12),对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为,x,(,t,)=,L,-1,(,sI,-,A,),-1,x,0,下面讨论如何求解拉氏反变换,L,-1,(,sI,-,A,),-1,。,主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。,对标量函数,我们有,拉氏变换法,(,3/12),将上述关系式推广到矩阵函数则有,其中,e,At,称为时间,t,的矩阵指数函数，并有,拉氏变换法,(,4/12),因此,基于上述,(,sI,-,A,),-1,的拉氏反变换,该齐次方程的解为,x,(,t,)=,L,-1,(,sI,-,A,),-1,x,0,=,e,At,x,0,上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。,若初始时刻,t,0,0,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式:,状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态,x,(,t,0,),从初始时刻,t,0,到时刻,t,系统运动状态的转移,其转移特性和时刻,t,的状态,完全由矩阵指数函数 和初始状态,x,(,t,0,),所决定。,拉氏变换法,(,5/12),为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下:,(,t,)=,e,At,因此,有如下关系式,x,(,t,)=,(,t,),x,0,=,(,t,-,t,0,),x,(,t,0,),由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系,(,t,)=,L,-1,(,sI,-,A,),-1,拉氏变换法,(,6/12),齐次状态方程的解描述了线性定常连续系统的自由运动。,由解的表达式可以看出,系统自由运动的轨线是由从初始时刻的初始状态到,t,时刻的状态的转移刻划的,如图,3-1,所示。,图,3-1,状态转移特性,拉氏变换法,(,7/12),当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。,所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。,可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。,拉氏变换法,(,8/12),例,3-1,解,(1),首先求出矩阵指数函数,e,At,其计算过程为,例,3-1,试求如下状态方程在初始状态,x,0,下的解,拉氏变换法,(,9/12) ,例,3-1,(3),状,态方程的解为,(,2,),计算矩阵指数函数,e,At,。,线性定常连续系统的状态转移矩阵,(1/1),3.1.2,线性定常连续系统的状态转移矩阵,下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为:,基本定义,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,基本定义,(1/,4),状态转移矩阵的定义,1.,基本定义,定义,3-1,对于线性定常连续系统,x,=,A,x,当初始时刻,t,0,=0,时,满足如下矩阵微分方程和初始条件:,(,t,),=,A,(,t,),(,t,),|,t,=0,=,I,的解,(,t,),为线性定常连续系统,x,=,A,x,的状态转移矩阵。,这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。,引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描述,，更好地刻划系统状态运动变化的规律,。,基本定义,(2/,4),几类特殊形式的状态转移矩阵,当系统矩阵,A,为,n,n,维方阵时,状态转移矩阵,(,t,),亦为,n,n,维方阵,且其元素为时间,t,的函数。,下面讨论几种特殊形式的系统矩阵,A,的状态转移矩阵,1) 对角线矩阵,。,当,A,为如下对角线矩阵:,A,=diag,1,2,n,则状态转移矩阵为,式中，,diag,表示由括号内元素组成对角线矩阵。,基本定义,(,3/4),几类特殊形式的状态转移矩阵,(2) 块对角矩阵。,当,A,为如下块对角矩阵:,A,=block-diag,A,1,A,2,A,l,其中,A,i,为,m,i,m,i,维的分块矩阵,则状态转移矩阵为,式中，,block-,diag,表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵。,基本定义,(,4/4),几类特殊形式的状态转移矩阵,(3) 约旦块矩阵。,当,A,i,为特征值为,i,的,m,i,m,i,维约旦块,则分块矩阵的矩阵指数函数为,对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数,可利用矩阵指数函数的展开式证明。,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,(1/2),2.,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,由矩阵指数函数的展开式和,状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质,(,(,t,),为方阵,A,的状态转移矩阵,),1),(0)=e,A,0,=,I,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,(,2/2),2),e,A,(,t,+,s,),=,e,At,e,As,，,(,t,+,s,)=,(,t,)(,s,),式中,t,和,s,为两个独立的标量自变量,证明,由指数矩阵函数的展开式,有,3),(,t,2,-,t,1,),-1,=(,t,1,-,t,2,),矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,(,3/2),4),对于,n,n,阶的方阵,A,和,B,下式仅当,AB,=,BA,时才成立,e,(,A,+,B,),t,=,e,At,e,Bt,5),6),(,t,),n,=,(,nt,),7),(,t,2,-,t,1,),(,t,1,-,t,0,)=,(,t,2,-,t,0,),8),矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,(,4/2),由状态转移矩阵的意义,有,x,(,t,2,),=,(,t,2,-t,1,),x,(,t,1,),=,(,t,2,-t,1,)(,t,1,-t,0,),x,(,t,0,),=,(,t,2,-t,1,)(,t,1,-t,0,),x,(,t,0,),而,x,(,t,2,),=,(,t,2,-t,0,),x,(,t,0,),因此，,性质,(,7,),表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移,如图,3-2,所示。,图,3-2,系统的状态转移,矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质,(,5/2),例,3-2,求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。,解,：,对于该系统,在例,3-1,已求得状态转移矩阵为,由于,-1,(,-t,)=(,t,),所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为,非齐次状态方程的解,(1/2),3.1.3,非齐次状态方程的解,当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态方程为如下非齐次状态方程:,x,=,Ax,+,Bu,该状态方程在初始状态,下的解,也就是,由初始状态,x,(,t,0,),和输入作用,u,(,t,),所引起的系统状态的运动轨迹,。,非齐次状态方程的解,(2/2),下面用两种求解常微分方程的方法,直接求解法,拉氏变换法,讨论非齐次状态方程的解,以及,解表达式的意义,输出方程的解,直接求解法(1/3),1.,直接求解法,将状态方程,x,=,Ax,+,Bu,移项,可得,x,-,A,x,=,B,u,将上式两边左乘以,e,-,At,则有,e,-,At,x,-,A,x,=,e,-,At,B,u,即,d(,e,-,At,x,)/d,t,=,e,-,At,B,u,在区间,t,0,t,内对上式积分,则有,直接求解法(2/3),上式便是非齐次状态方程的解。,当,t,0,=0,时,解,x,(,t,),又可记为,即,因此,直接求解法(3/3),若用状态转移矩阵来表示,上述非齐次状态方程的解又可分别记为,拉氏变换法(1/2),2.,拉氏变换法,将该非齐次状态方程两边取拉氏变换,可得,sX,(,s,)-,x,0,=,AX,(,s,)+,BU,(,s,),即,X,(,s,)=(,sI,-,A,),-1,x,0,+,BU,(,s,),其中,X,(,s,),和,U,(,s,),分别为,x,(,t,),和,u,(,t,),的拉氏变换。,对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有,上述求解的关键为等式右边第二项。,拉氏变换法(2/2),下面先回顾卷积积分的拉氏变换法则。,设,W,1,(,s,),和,W,2,(,s,),分别为原函数,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的拉氏变换,则,f,1,(,t,),和,f,2,(,t,),的卷积的拉氏变换为,结果与直接求解法完全相同。,对上述状态方程的求解式利用卷积分公式,则有,状态方程解的意义(1/2),记得电路理论中暂态电路的解否?,3. 状态方程解的意义,由前面讨论的非齐次状态方程的解知,线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。,第一个部分是,由初始状态所引起的自由运动,它是系统的,初始状态对系统状态的转移的影响,与初始时刻后的输入无关,称为状态的,零输入响应,。,第二个部分是,由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积。,因此,它与输入有关,与,系统的初始状态无关,称为状态的,零状态响应,。,状态方程解的意义(2/2),状态方程的解表明,系统在任意时刻的状态取决于系统的初始状态,x,(,t,0,),和从初始时刻,t,0,以来的输入。,如果人为地选择输入信号(施以控制),就可以使系统状态在状态空间中获得所期望的状态轨线。,输出方程的解(1,/8),或,或,4. 输出方程的解,由非齐次状态方程的解,x,(,t,),可得输出方程,y,=,Cx,+,Du,的输出响应为,输出方程的解(2,/8),或,线性定常连续系统输出的解由3个部分相加组成。,第一个部分是由初始状态所引起的自由运动,第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动。,第三个部分是由直联项引起的前馈响应。,输出方程的解(3,/8)-,例,3-3,例,3-3,已知线性定常系统为,试求系统在单位阶跃输入作用下,状态方程的解。,解,在例,3-1,中已求出状态转移矩阵,(t),为,于是,系统状态方程在阶跃输入,u,(,t,)=1(,t,),下的解为,输出方程的解(4,/8),例,3-3,系统的脉冲响应,(1/2),3.1.4,系统的脉冲响应,当系统的输入为单位脉冲函数时,系统在零初始状态时的输出响应称为脉冲响应。,单位脉冲函数,(,t,),可用下式来定义:,下面讨论线性定常系统的脉冲响应。,系统的脉冲响应,(2/2),由线性定常连续系统,的输出,y,(,t,),的表达式,可得系统的脉冲响应,H,(,t,),即为,由卷积分的性质可得,上式的积分结果为,H,(,t,)=,C,e,At,B,=,L,-1,C,(,sI,-,A,),-1,B,所以,脉冲响应也反映了系统输入与输出间的动态传递关系。,