《画法几何及土木工程制图》(第3版)2.2-直线的投影课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,直线的投影,A,B,a,b,b,a,b,Z,X,Y,a,V,H,W,直线的投影,直线上的点,直线的真长及其倾角,两直线间的相对位置,一边平行于投影面的直角投影规律,画法几何及土建制图,H,A,B,b,a,C,D,c,d,E,F,e,( f ),直线的投影特性：,一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积聚为一点。,直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：,一般位置直,线,投影面平行线,投影面垂直线,直线与三个投影面均倾斜。,直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。,直线垂直于某一投影面。,1,、直线的投影,a,b,b,a,b,a,Y,H,Y,W,X,Z,A,B,a,b,a,b,a,b,Z,X,Y,一般线的投影特性：,一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，也不反映直线与投影面的倾角。,一 般 位 置 线,直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：,水平线,直线平行于,H,面，倾斜于,V,、,W,面。,正平线,直线平行于,V,面，倾斜于,H,、,W,面。,侧平线,直线平行于,W,面，倾斜于,H,、,V,面。,投影面平行线,投 影 面 平 行 线,水平线的投影特性：,1.,水平线的,H,投影反映真长，真长投影与,OX,夹角为,；与,OY,轴的夹角为,；,= 0,。,2.,水平线的,V,投影,abOX,；,W,投影,a”b”OY,；,a,b,b,”,a,b,a,反映真长,TL,Y,H,Y,W,X,Z,a,a,”,a,b,B,b,”,A,b,Z,X,Y,水 平 线,正平线的投影特性：,1,、正平线的,V,投影反映真长，真长投影与,OX,夹角为,； 与,OZ,轴的夹角为,; = 0,。,2,、,正平线的,H,投影,a bOX,；,W,投影,abOZ,；,a,b,b,a,b,a,反映真长,TL,Y,H,Y,W,X,Z,a,b,A,a,b,B,a,b,Z,X,Y,正 平 线,a,b,b,a,b,a,反映真长,TL,Y,H,Y,W,X,Z,a,b,A,a,b,B,a,b,Z,X,Y,侧平线的投影特性：,1.,侧平线的,W,投影反映真长，真长投影与,OY,夹角为,；与,OZ,轴的夹角为,；, = 0,。,2.,侧平线的,V,投影,abOZ,；,H,投影,a bOY,；,侧 平 线,按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：,铅垂线,直线垂直于,H,面，平行于,V,、,W,面。,正垂线,直线垂直于,V,面，平行于,H,、,W,面。,侧垂线,直线垂直于,W,面，平行于,H,、,V,面。,投影面垂直线,投 影 面 垂 直 线,a,b,b,a,b,(a),Y,H,Y,W,X,Z,a,b,A,(a),b,B,a,b,Z,X,Y,铅垂线投影特性：,1,、铅垂线的,H,投影积聚为一点；,2,、铅垂线的,V,、,W,投影反映直线的真长，且平行于,OZ,轴。,铅 垂 线,b,a,a,( b,),b,a,Y,H,Y,W,X,Z,a,( b,),B,b,A,a,b,a,Z,X,Y,正垂线投影特性：,1,、正垂线的,V,投影积聚为一点；,2,、正垂线的,H,、,W,投影反映直线的真长，且平行于,OY,轴。,正 垂 线,a,b,（b,）,a,b,a,Y,H,Y,W,X,Z,a,b,A,a,b,B,a,(,b,),Z,X,Y,侧垂线投影特性：,1,、侧垂线的,W,投影积聚为一点；,2,、侧垂线的,V,、,H,投影反映直线的真长，且平行于,OX,轴。,侧 垂 线,A,B,C,a (b),E,F,D,e,d,f,直线上点的投影特性,:,1,、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。,2,、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：,ED:DF = e d:d f = ed: df=ed:df,(c),2,、直线上的点,a,b,a,b,k,k,k,a,b,X,Z,Y,H,Y,W,O,K,点在直线,AB,上,【,例题,1】,判定下题中，点,K,是否在直线,AB,上？,X,Y,H,Y,W,Z,a,b,a,b,k,k,a,b,k,K,点不在直线,AB,上,O,【,例题,2】,判断点,K,是否在直线,AB,上。,b,X,a,b,a,c,c,ac,cb,X,O,A,B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,【,例题,3】,已知点,C,在线段,AB,上，求点,C,的正面投影。,a,b,a,b,C,c,X,O,【,例题,4】,试在直线,AB,上确定一点,C,，使,AC:CB=2:3,，求,C,点的两面投影。,直角三角形法,AB,真长,AB,真长,a,b,a,b,A,B,a,b,b,a,b,Z,X,Y,a,Z,AB,量取,Z,AB,Y,AB,量取,Y,AB,3,、一般线的实长与倾角,求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。,一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影响面的夹角。,二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。,三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。,四、作图,1,求直线的实长及对水平投影面的夹角,角,2,求直线的实长及对正面投影面的夹角,角,3,求直线的实长及对侧面投影面的夹角,角,例题,1,一般位置线段的实长及其与投影面夹角的,求解,在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。,真长（,TL),坐标差,Z,、,Y,、,X,H,、,V,、,W,投影长,、,、,直 角 三 角 形 法,|,z,A,-z,B,|,AB,1,求直线的实长及对水平投影面的夹角,角,|,z,A,-z,B,|,AB,ab,|,z,A,-z,B,|,AB,|,z,A,-z,B,|,ab,2,求直线的实长及对正面投影面的夹角,角,|,y,A,-y,B,|,a,X,a,b,b,a,b,AB,AB,a,b,|,y,A,-,y,B,|,|,y,A,-y,B,|,AB,|,y,A,-y,B,|,3,求直线的实长及对侧面投影面的夹角,角,A,B,b,b,a,b,a,a,|,x,A,-x,B,|,|,x,A,-x,B,|,a,|,z,A,-z,B,|,ab,AB,ab,|,z,A,-z,B,|,【,例题,5】,已知线段实长,AB,，且,A,点在,B,点前方，求它的水平投影,。,【,例题,6】,试在直线,AB,上其一点,C,，,使,AC=25 mm,，求点,C,的投影,a,b,a,b,X,O,Z,AB,=Z,AB,C,在,AB,上量取,AC,=25mm,c,c,B,A,【,例题,7】,已知直线,AB,的,V,投影，且,AB=40mm,，求,AB,的,H,投影,量取,Y,AB,R=40mm,Y,AB,a,b,a,b,【,例题,8】,已知直线,AB,的,V,投影，且,=30,，求,AB,的,H,投影。,a,b,a,b,Y,AB,量取,Y,AB,【,例题,9】,已知直线,AB,的,V,投影，且,=30,求,AB,的,H,投影。,a,b,a,b,z,AB,直线的,H,投影长,以直线的,H,投影长,为半径，作圆弧,直线,AB,真长,两直线的,相对位置,两直线交叉,两直线相交,两直线平行,4,、两直线的相对位置,两直线平行的投影特性：,两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即,ABCD,，,则：,abcd,；,abcd,；,abcd ,。,x,o,b,a,a,d,b,b,c,c,x,o,b,a,a,b,d,c,d,c,A,B,C,D,两 直 线 平行,a,b,c,d,c,a,b,d,对于,一般位置直线,，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,【,例题,10】,判断图中两条直线是否平行,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于,特殊位置直线,，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB,与,CD,不平行。,求出侧面投影,如何判断？,【,例题,11】,判断图中两条直线是否平行,o,b,x,a,a,b,k,c,d,d,c,k,x,o,B,D,A,C,K,b,b,a,a,c,c,d,d,k,k,两直线相交的投影特性,：,两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。,两 直 线 相 交,c,a,b,b,a,c,d,k,k,d,先作正面投影,【,例题,12】,过,C,点作水平线,CD,与,AB,相交,O,b,X,a,a,b,c,d,d,c,1,1(2),2,X,O,B,D,A,C,b,b,a,a,c,c,d,d,2,1,1(2),2,1,两直线交叉的投影特性,：,既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉,.,两 直 线 交 叉,d,b,a,a,b,c,d,c,1,(,2,),3(4 ),投影特性,：,同名投影可能相交，但,“交点”,不符合空间一个点的投影规律,。,“,交点”,是两直线上的一 对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、,是面的重影点，,、,是,H,面的重影点。,为什么？,1,2,3,4,两直线相交吗？,交叉两直线的投影特性：,交叉两直线重影点投影的可见性判断,(3,)4,1(2),4,3,3,4,1,2,1,2,【,例题,13】,判断两直线的相对位置（方法一）,X,a,a,c,d,d,c,b,b,o,d,c,a,b,Y,W,Y,H,Z,两直线交叉,【,例题,14】,判断两直线的相对位置,(,方法二）,c,b,o,a,a,c,d,d,b,x,1,1,=1d,=1c,两直线交叉,【,例题,15】,作直线,KL,与,AB,、,CD,相交，且平行于,EF,直线。,d,e,f,f,e,c,a,a,b,c,d,(,b,),(k,),l,l,k,作kle f ,作klef,【,例题,16】,已知水平线,AB,的两面投影及点,C,的两面投影，求作直线,CD,，,使其与直线,AB,相交且与,H,面成,30,夹角。,C,a,b,c,a,b,Z,CD,CD,水平投影长,CD,真长,以,CD,水平投影长为半径作弧,d,有两解,d,A,H,B,C,a,c,b,c,O,X,b,a ,c,b,a,直角投影规律：,空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。,5,、一边平行于投影面的直角投影,直角投影定理,一、,垂直相交的两直线的投影,定理一,垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,定理二,相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,二、,交叉垂直的两直线的投影,定理三,相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。,定理四,两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,两 直 线 交 叉 垂 直,O,X,b,a,b,a,m,n,n,m,B,H,A,C,c,b,a,M,N,n,m,距离,注意：,距离直线只有平行于投,影面时才能反映实长。,举例,求作点到直线的距离,【,例题,17】,求点,K,到直线,AB,的距离 。,k,k,a,b,a,b,l,l,垂线,KL,的实长,Z,KL,Z,KL,【,例题,18】,已知直角三角形,ABC,，,其一直角边,BC,在,EF,线上，长,30mm,，,试完成三角形,ABC,的投影。,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取,bc=30mm,【,例题,19】,求两直线,AB,、,CD,之间的距离。,a,a,b,b,c,d,c,(d),n,m,m,两交叉线间距离,(n),f,f,e,e,【,例题,20】,过点,E,作线段,AB,、,CD,公垂线,EF,两 平 行 直 线 的 距 离,投影面垂直线,b,a,d,c,a(b),c(d),e,f,距离,e,f,a,b,c,d,a,(b,),c,(d,),e,f,投影面平行线,g,f,e,h,k,l,j,i,距离,实距,两 平 行 直 线 的 距 离,（,e,）,【,例题,21】,求直线,AB,和,CD,间的最短距离。,空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。,f,e,f,分析：,A,B,C,D,E,F,a,b,e,c,d,f,因为,AB,H, EF AB,所以,EF/H,；,又因为,EFCD,EF/H,所以,ef,cd,。,X,c,d,（,b,）,b,a,a,c,d,o,因为,EF,/H,所以,e,f,/OX,；,EFAB,EFCD,AB,a,b,|,y,A,-y,B,|,b,c,=BC,b,b,c,n,m,a,a,X,m,n,c,【,例题,22】,作三角形,ABC,，,ABC,为直角，使,BC,在,MN,上，且,BC,AB,= 2,3,。,d,b,b,X,O,a,c,c,a,d,A,B,C,D,有,ab,bc,分析：,空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。,因为,AB,BC,且,ABH,根据直角投影定理,【,例题,23】,已知长方形,ABCD,中,BC,边的两投影和,AB,边的面 投影（,ab,/OX),，求作长方形的两投影。,【,例题,24】,已知正方形,ABCD,的对角线位于侧平线,EF,上，试完成该正方形的正面、侧面投影。,a,f,e,e,f,a,b,c,d,b,d,c,o,o,=,X,AO,X,AO,半对角线长,f,0,【,例题,25】,已知菱形,ABCD,的对角线,AB,的两投影，另一对角线,CD,长为,2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。,e,e,f ,f,Z,FE,Z,FE,L,c,0,c,c,d,d,A,B,C,D,E,L,L,X,a,a,b,b,L,o,分析：,因为,AB,CD,且,AB /H,所以,ab,cd,；,于是,CD,成为过,E,点且已知方向的直线；,在,CD,线上取点,C,和,D,使,EC=ED=L,求投影,c,、,d,本章小结,直线的投影特性，尤其是,特殊位置直线的投影特性,。,直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。,定比定理。,直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、各种位置直线的投影特性,一般位置直线,三个投影与各投影轴都倾斜。,投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。,投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,二、直线上的点,点的投影在直线的同名投影上。,点分线段成定比，点的投影必分线段的投影,成定比,定比定理。,三、两直线的相对位置,平行：同名投影互相平行。,相交：同名投影相交，交点是两直线的共有，且,符合空间一个点的投影规律。,交叉（异面）：同名投影可能相交，但“交点”不,符合空间一个点的投影规律。“交点”是两,直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性,两直线同时平行于某一投影面时，在该,投影面上的投影反映直角。,两直线中有一条平行于某一投影面时，,在该投影面上的投影反映直角。,两直线均为一般位置直线时，,在三个投影面上的投影都不,反映直角。,直角定理,