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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,向量方法部分,teachermyh,学海无涯,2,空间,向量,空间,向量,的运,算,空间,向量,基本,定理,空间,向量,的坐,标运,算,加减,和数,乘运,算,共线,向量,共面,向量,空间,向量,的数,量积,知识结构,夹角和距离,平行和垂直,teachermyh,学海无涯,3,1,、空间直角坐标系,以单位正方体,的顶点,O,为原点，分别以射线,OA,，,OC,，,的方向,为正方,向，以线段,OA,，,OC,，,的,长为单位长，建立三条数轴：,x,轴,y,轴,z,轴,这时我们建立了一,个,空间直角坐标系,C,B,A,D,OABC,?,?,?,?,?,xyz,O,?,D,O,?,D,O,?,C,D,B,A,C,O,A,B,y,z,x,O,为坐标原点，,x,轴,y,轴,z,轴叫坐标轴，通过每两个坐,标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,teachermyh,学海无涯,4,x,o,右手直角坐标系,y,z,空间直角坐标系,Oxyz,横轴,纵轴,竖轴,1,1,1,teachermyh,学海无涯,5,2,、空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组（,x,y,z,）叫做点,M,在此,空间,直角坐标系中的坐标，,记作,M,（,x,y,z,）,其中,x,叫做点,M,的横坐标，,y,叫做点,M,的,纵坐标, z,叫做点,M,的竖坐标,点,M,（,X,，,Y,，,Z,）,teachermyh,学海无涯,6,如果表示向量,n,的有向线段所在的直线垂,直于平面,称这个向量垂直于平面,记作,n,这时向量,n,叫做平面,的法向量,.,4,、平面的法向量,n,ur,/,/,若,则,称,是,直,线,的,方,向,向,量,a,l,al,r,r,r,3,、直线的方向向量,teachermyh,学海无涯,7,1,、假设平面法向量的坐标为,n=(x,y,z).,2,、根据,n,a = 0,且,n,b = 0,可列出方程组,1,1,1,2,2,2,0,0,x,x,y,y,z,z,x,x,y,y,z,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,、取某一个变量为常数,(,当然取得越简单越好,),便得到平面法向量,n,的坐标,.,a,n,b,5,、平面法向量的求法,设,a=( x,1,y,1,z,1,),、,b=(x,2,y,2,z,2,),是平面,内的两个不共线,的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若,n,a,且,n,b,则,n,.,换句话说,若,n,a = 0,且,n,b = 0,则,n,.,可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,teachermyh,学海无涯,8,例、已知,A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).,求平,面,ABC,的法向量,(,4,6,1,),(,4,3,2,),A,B,A,C,?,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,4,6,0,4,3,2,0,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,解：平面,ABC,的法向量为,:,(,3,4,1,2,),n,?,r,得,4,3,z,x,z,y,?,?,?,?,?,得,12,z,?,令,(,3,4,1,2,),A,B,C,n,?,?,r,平,面,的,法,向,量,(,),n,xyz,?,r,teachermyh,学海无涯,9,例、在棱长为,2,的正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,O,是面,AC,的中心,求面,OA,1,D,1,的法向量,.,解：以,A,为原点建立空间直角坐标系,O-xyz,（如图），,则,O,（,1,，,1,，,0,），,A,1,（,0,，,0,，,2,），,D,1,（,0,，,2,，,2,），,设平面,OA,1,D,1,的法向量的法向量为,n=(x,y,z),由,=,（,-1,，,-1,，,2,），,=,（,-1,，,1,，,2,）得,1,O,A,uuur,1,O,D,uuuu,r,2,0,2,0,x,y,z,x,y,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,0,x,z,y,?,?,?,?,?,解得,取,z =1,得平面,OA,1,D,1,的法向,量的坐标,n=(2,0,1),A,B,O,z,y,A1,C1,B1,A,x,C,D,D1,teachermyh,学海无涯,10,5,、两法向量所成的角与二面角的关系,l,1,n,2,n,?,?,l,1,n,2,n,?,?,设,n,1,、,n,2,分别是二面角两个半平面,、,的法向量，,由几何知识可知，二面角,-L-,的大小与法向量,n,1,、,n,2,夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为,求两个平面法向量的夹角,.,teachermyh,学海无涯,11,二、基本公式：,1,、两点间的距离公式（线段的长度）,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,2,1,21,A,B,A,B,x,x,y,y,z,z,?,?,?,?,?,?,u,u,u,r,2,、向量的长度公式（向量的模）,2,2,2,2,a,a,x,y,z,?,?,?,?,r,r,teachermyh,学海无涯,12,1,2,1,2,1,2,a,b,x,xy,yz,z,?,?,?,r,r,3,、向量的坐标运算公式,1,1,1,2,2,2,(,)(,),a,x,y,z,b,x,y,z,?,?,r,r,若,那,么,121,2,12,(,),a,b,x,x,y,y,z,z,?,?,?,?,?,r,r,1,1,1,(,),a,x,y,z,?,?,?,r,teachermyh,学海无涯,13,1,2,1,2,12,|,|,(),?,?,?,?,?,?,?,?,?,r,r,a,b,x,x,y,y,z,z,R,1,1,1,2,2,2,|,|,x,y,z,a,b,x,y,z,?,?,?,r,r,4,、两个向量平行的条件,5,、两个向量垂直的条件,1,2,1,2,1,2,0,?,?,?,?,?,r,r,a,b,x,x,y,y,z,z,或,teachermyh,学海无涯,14,1,2,3,1,2,3,1,2,3,3,3,3,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,x,x,x,y,y,y,y,z,z,z,z,7,、重心坐标公式,6,、中点坐标公式,1,2,1,2,1,2,2,2,2,x,x,x,y,y,y,z,z,z,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,teachermyh,学海无涯,15,9,、直线与平面所成角公式,|,|,s,in,|,|,|,|,P,M,n,P,M,n,?,?,?,?,u,u,u,u,u,r,u,r,u,u,u,u,u,r,u,r,(,PM,l,?,M,?,?,n,r,为,?,的法向量,),8,、直线与直线所成角公式,|,|,c,o,s,|,|,|,|,A,B,C,D,A,B,C,D,?,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,10,、平面与平面所成角公式,1,2,1,2,c,o,s,|,|,|,|,n,n,n,n,?,?,?,?,u,r,u,u,r,u,r,u,u,r,(,为二面角两个半平面的法向量）,1,n,u,r,2,n,u,u,r,teachermyh,学海无涯,16,11,、点到平面的距离公式,|,|,|,|,PM,n,d,n,?,?,u,u,u,u,r,r,r,（,PM,为平面,的斜线,为平面,的法向量）,n,r,?,?,12,、异面直线的距离公式,|,|,|,|,AB,n,d,n,?,?,uuu,r,r,r,（,A,B,为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）,n,r,teachermyh,学海无涯,17,利,用,向,量,求,角,直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角（二面角）,利,用,向,量,求,距,离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线到平面的距离,平行到平面的距离,直线到直线的距离,三、基本应用,teachermyh,学海无涯,18,利,用,向,量,证,平,行,利,用,向,量,证,垂,直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,teachermyh,学海无涯,19,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,，平面,l,m,?,a,r,b,r,a,b,?,?,?,r,r,；,线面平行,?,?,?,u,r,v,r,u,v,.,?,?,?,r,r,线线平行,l,?,?,a,r,u,?,r,0,a,u,?,?,?,r,r,；,面面平行,?,?,的法向量分别为,u,v,r,r,，则,四、基本方法,1,、平行问题,teachermyh,学海无涯,20,?,?,的法向量分别为,u,v,r,r,，则,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,，平面,线线垂直,线面垂直,?,?,?,u,v,.,0,?,?,?,v,u,l,m,?,a,r,b,r,0,a,b,?,?,?,r,r,；,l,?,?,a,r,u,r,a,u,?,?,?,r,r,；,面面垂直,、垂直问题,teachermyh,学海无涯,21,设直线,l,m,的方向向量分别为,a,b,r,r,，平面,?,?,两直线,l,m,所成的角为,?,(,0,2,?,?,),cos,a,b,a,b,?,?,?,r,r,r,r,；,直线,l,与平面,?,所成的角为,?,(,0,2,?,?,),sin,a,u,a,u,?,?,?,r,r,r,r,；,平面,?,与平面,?,所成的角为,?,(,0,?,?,),u,v,u,v,cos,.,?,?,?,r,r,r,r,的法向量分别为,u,v,r,r,，则,、角度问题,teachermyh,学海无涯,22,、距离问题,（）点到点的距离、点到平面的距离、直线,到直线的距离直接用公式求解。,（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平,面到平面的距离转化为点到平面的距离求,解。,teachermyh,学海无涯,23,例：,0,9,0,R,t,A,B,CB,C,A,A,B,C,?,?,?,?,中,，,现,将,沿,着,1,1,1,A,B,C,A,B,C,?,平,面,的,法,向,量,平,移,到,位,置,，,已,知,1,1,1,1,1,1,1,，,取,、,的,中,点,、,，,B,C,C,A,C,C,A,B,A,C,D,F,?,?,1,1,B,D,A,F,求,与,所,成,的,角,的,余,弦,值,.,C,A,1,A,B,1,B,1,C,1,D,1,F,题型一：线线角,五、典型例题,teachermyh,学海无涯,24,A,1,A,B,1,B,C,1,C,1,D,1,F,x,y,z,所以：,题型一：线线角,A,1,A,B,1,B,1,C,1,D,1,F,(,1,0,0,),(,0,1,0,),A,B,解：以点,C,为坐标原点建立空间,直角坐标系,如图所示，,不妨设,则,1,1,CC,?,C,xyz,?,C,1,1,1,1,1,(,0,1,),(,1,),2,2,2,F,D,),1,2,1,2,1,(,),1,0,2,1,(,1,1,?,?,?,?,D,B,F,A,?,?,1,1,1,1,|,|,3,0,1,0,|,|,|,|,A,F,B,D,A,F,B,D,?,?,?,r,r,r,r,1,1,c,o,s,A,F,B,D,?,?,u,u,u,r,u,u,u,u,r,|,|,所以,与,所成角的余弦值为,1,B,D,1,A,F,3,0,1,0,teachermyh,学海无涯,25,例,.,在,三,棱,柱,中,，,底,面,是,正,三,角,形,，,底,面,，,求,证,：,A,B,C,A,B,C,A,A,A,B,C,A,C,A,B,B,C,A,B,?,?,?,?,.,2,(,3,0,0,),(,0,1,0,),(,0,1,0,),.,(,3,0,),(,0,1,),(,0,1,),.,解,.,建,立,如,图,空,间,坐,标,系,不,妨,设,底,面,边,长,为,高,为,h,A,B,C,A,h,B,hC,h,?,?,A,B,C,B,C,A,),2,0,(,),1,3,(,),1,3,(,h,BC,h,C,A,h,AB,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,0,3,1,2,.,0,2,0,.,A,B,A,C,h,h,A,B,B,C,h,B,CA,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,u,ru,u,u,u,r,u,u,u,u,ru,u,u,u,r,题型二：线线垂直,teachermyh,学海无涯,28,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,例,.,在正方体,AC,1,中，,E,为,DD,1,的中点，求证：,DB,1,/,面,A,1,C,1,E,E,F,题型四：线面平行,),1,0,0,(,),2,2,0,(,),2,0,2,(,.,2,1,1,E,C,A,AD,xyz,D,则,设,证明：如图建立坐标系,?,?,x,y,z,1,1,1,1,(2,2,0,),(2,0,1,),(,1,1,1,),.,A,C,A,E,D,B,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,u,v,u,u,u,v,u,u,u,u,v,则,的法向,设平面,),(,1,1,z,y,x,n,C,E,A,?,?,0,0,1,1,1,?,?,?,?,n,E,A,n,C,A,?,?,?,?,0,2,0,2,2,?,?,?,?,?,?,z,x,y,x,即,),2,1,1,(,?,?,n,?,解得,0,2,1,1,1,1,n,B,D,n,B,D,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,.,/,1,1,1,E,C,A,DB,平面,?,teachermyh,学海无涯,29,:,.,例,在,正,方,体,中,.,E,F,分,别,是,的,中,点,.,求,证,：,平,面,A,B,C,D,A,B,C,D,C,C,B,D,A,F,B,D,E,?,?,F,E,X,Y,Z,D,A,D,CD,D,x,y,z,A,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,证,明,:,如,图,取,分,别,为,轴,轴,轴,建,立,空,间,直,角,坐,标,系,设,正,方,体,的,棱,长,为,2,.,A,(,2,0,0,),B,(,2,2,0,),(,2,0,2,),E,(,0,2,1,),F,(,1,1,0,),(1,1,2,),(,2,2,0,),(,0,2,1,),(1,1,2,),(,2,2,0,),0,(1,1,2,),(,0,2,1,),0,.,A,F,D,B,D,E,A,FD,B,A,FD,E,A,F,D,B,A,F,D,E,D,B,D,E,D,A,F,B,D,E,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,r,u,u,u,u,r,u,u,u,r,Q,u,u,u,u,r,u,u,u,r,Q,u,u,u,u,r,u,u,u,ru,u,u,u,r,u,u,u,r,I,又,平,面,题型五：线面垂直,或先求平面,BDE,的法向量,再证明,AF,n,u,u,u,u,v,v,P,n,v,teachermyh,学海无涯,30,题型六：面面角,A,B,C,D,S,0,9,0,1,1,2,例,、,已,知,，,是,一,直,角,梯,形,，,平,面,求,面,与,面,所,成,的,二,面,角,的,余,弦,值,。,A,B,C,D,A,B,C,S,A,A,B,C,D,S,A,A,B,B,CA,D,S,C,DS,B,A,?,?,?,?,?,?,解,：,建,立,直,角,坐,系,A,-,x,y,z,如,所,示,),0,2,1,0,(,D,A,(,0,0,0),C(,-1,1,0,),(0,0,1),S,),1,2,1,0,(,),0,2,1,1,(,?,?,?,?,D,S,D,C,?,?,),0,2,1,0,(,1,?,?,D,A,n,SBA,?,?,的法向量,易知，面,2,(,),S,C,D,n,x,y,z,?,u,u,r,的,法,向,量,2,2,n,C,D,n,S,D,?,?,u,u,r,u,u,u,r,u,u,r,u,u,u,r,由,得,：,设平面,0,2,0,2,?,?,?,?,z,y,y,x,),1,2,1,(,2,?,n,?,解得：,3,6,|,|,|,cos,2,1,2,1,2,1,?,?,?,?,?,n,n,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,6,3,即,所,求,二,面,角,的,余,弦,值,是,。,x,y,z,teachermyh,学海无涯,31,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,:,(1,0,0,),(1,1,0,),(,0,0,1,),(,0,0,1,),(,1,0,1,),(,1,0,1,),|,|,.,|,|,|,|,.,|,|,.,|,|,1,1,1,1,1,1,证,明,如,图,分,别,以,、,、,三,边,所,在,的,直,线,为,轴,建,立,空,间,直,角,坐,标,系,.,设,正,方,体,的,棱,长,为,1,则,则,A,A,即,直,线,A,C,，,则,A,平,面,同,理,可,证,：,A,平,面,平,面,A,D,A,D,C,D,D,x,y,z,A,B,C,D,D,B,C,D,B,C,D,B,D,C,B,D,B,C,B,D,B,D,?,?,?,?,?,?,u,u,uu,r,u,u,u,r,u,u,uu,r,u,u,u,r,1,1,.,平,面,C,B,D,X,Y,Z,1,C,A,B,C,D,1,D,1,B,1,A,例：在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：面,A,1,BD,面,CB,1,D,1,题型七：面面平行,或先求两平面的法向量,再证明,1,2,n,n,v,v,1,2,n,n,v,v,P,teachermyh,学海无涯,32,例、在正方体,AC,1,中，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CD,的中点，,求证：面,AED,面,A,1,FD,1,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,F,X,Y,Z,题型八：面面垂直,1,1,:,(,0,0,0,),(,2,0,0,),(,2,2,1,),(,0,0,2,),(,0,1,0,),(,0,2,1,),(,2,0,0,),(,0,1,2,),0,0,1,1,1,1,1,1,证,明,如,图,直,角,坐,标,系,.,设,正,方,体,的,棱,长,为,2,则,则,A,E,D,F,A,E,D,F,D,F,A,E,D,F,D,F,D,F,平,面,平,面,平,面,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,u,u,ur,D,A,E,D,F,D,A,D,A,D,A,A,E,D,A,F,D,A,E,D,或证明两平面的法向量垂直,teachermyh,学海无涯,33,A,B,C,1,A,1,C,1,B,N,M,z,x,y,练习,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,9,0,2,(,1,),(2,)c,o,s,(3,),如,图,，,直,三,棱,柱,中,，,，,，,棱,，,、,分,别,是,、,的,中,点,，,求,：,的,长,；,的,值,；,证,明,：,。,O,A,B,C,ABC,C,A,C,B,B,C,A,A,A,M,N,AB,A,A,B,N,B,A,C,B,AB,CM,?,?,?,?,?,?,?,?,?,teachermyh,学海无涯,34,x,z,y,A,B,C,D,1,A,1,D,1,C,1,B,E,F,练习,1,1,1,1,1,1,2,4,已,知,长,方,体,中,，,，,，,、,分,别,是,，,的,中,点,，,求,异,面,直,线,、,所,成,角,的,大,小,。,A,CA,B,B,C,A,A,E,F,A,D,A,B,B,E,C,F,?,?,teachermyh,学海无涯,35,B,A,C,1,A,D,1,C,1,B,1,D,E,F,z,x,y,练习,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,:,1:2,(,1,),(2,),(3,),如,图,，,已,知,正,方,体,中,，,是,中,点,，,点,在,上,，,且,，,求,：,平,面,的,法,向,量,；,直,线,与,平,面,所,成,角,；,平,面,与,平,面,所,成,角,的,大,小,。,A,B,C,D,ABCD,E,B,C,F,A,A,AF,F,A,BE,F,B,B,BE,F,BE,F,ABCD,?,?,teachermyh,学海无涯,36,A,B,D,C,1,A,1,D,1,C,1,B,x,z,y,练习,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,(,1,),(,2,),(,3,),O,1,为,直,四,棱,柱,，,底,面,A,B,C,D,是,直,角,梯,形,，,D,A,B,=,A,D,C,=,9,0,，,，,求,异,面,直,线,和,所,成,角,；,求,和,底,面,B,所,成,角,；,求,二,面,角,的,大,小,。,A,B,C,D,A,B,CD,A,D,C,D,a,A,A,A,B,a,A,C,B,C,A,C,B,C,C,C,A,B,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,teachermyh,学海无涯,37,B,M,P,D,C,A,N,z,y,O,练习,2,3,3,1,2,如,图,所,示,，,已,知,正,方,形,所,在,平,面,，,点、,分,别,在,、,上,，,，,（,）,求,证,：,面,面,；,（,）,若,，,求,二,面,角,的,大,小,。,P,A,A,B,C,D,M,N,A,B,P,C,A,M,A,B,P,C,N,C,P,A,D,P,C,D,P,A,A,B,N,D,M,C,?,?,?,?,?,?,?,teachermyh,学海无涯,38,题型九：异面直线的距离,z,x,y,A,B,C,C,1,).,4,2,0,(,),0,0,2,(,),0,1,1,(,),0,0,0,(,1,B,A,E,C,xyz,C,则,解：如图建立坐标系,?,1,(,1,1,0,),(,2,2,4,),C,E,A,B,?,?,?,u,u,u,r,u,u,u,u,r,则,的公垂线的方向,设,).,(,1,z,y,x,n,B,A,E,C,?,?,?,?,0,0,1,?,?,?,?,B,A,n,E,C,n,?,?,?,?,即,0,4,2,2,0,?,?,?,?,?,?,z,y,x,y,x,取,x=1,z,则,y=-1,z=1,所以,),1,1,1,(,?,?,n,?,).,0,0,1,(,?,A,C,A,C,?,?,在两直线上各取点,1,|,|,2,3,.,|,|,3,n,C,A,C,E,A,B,d,n,?,?,?,?,r,r,r,r,r,与,的,距,离,E,A,1,B,1,1,1,1,1,0,1,.,4,2,9,0,例,已,知,：,直,三,棱,柱,的,侧,棱底,面,中,为,的,中,点,。,求,与,的,距,离,。,A,B,C,A,B,C,A,A,A,B,C,A,C,B,C,B,C,A,E,A,B,C,E,A,B,?,?,?,?,?,?,teachermyh,学海无涯,39,0,0,0,:,(0,0,2,),(0,4,0,),(,4,4,0,),(,4,0,0,),(,4,2,0,),(,2,4,0,).,(,4,2,2,),(,2,4,2,),(,),:,0,2,0,C,D,C,B,C,G,X,Y,Z,G,B,A,D,E,F,G,E,G,F,E,F,G,n,x,y,z,n,G,E,x,y,n,G,F,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,uuu,r,uuu,r,uuu,r,uuu,r,uuu,r,uu,r,uu,r,uuu,r,uu,r,uuu,r,解,以,的,方,向,为,轴,轴,轴,的,正,方,向,建,立,空,间,坐,标,系,则,设,平,面,的,法,向,量,为,则,有,0,0,0,1,0,1,2,0,3,(1,1,3),2,(0,4,1),(0,4,2,),|,|,2,2,1,1.,1,1.,1,1,1,1,x,z,y,x,y,z,z,n,G,B,n,G,B,d,B,E,F,G,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,uu,r,uuu,r,Q,uu,r,uuu,r,uu,r,又,即,点,到,平,面,的,距,离,为,A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z,题型十：点到平面的距离,:,4,2,例,如,图,已,知,是,边,长,为,的,正,方,形,分,别,是,的,中,点,垂,直,于,所,在,的,平,面,且,求,点,到,平,面,的,距,离,.,A,B,C,D,E,F,A,D,A,B,G,C,A,B,C,D,G,C,B,E,F,G,?,teachermyh,学海无涯,40,1,A,B,A,1,B,C,1,C,D,E,1,D,x,z,y,练习,1,1,1,1,1,8,1,已,知,正,方,体,的,棱,长,等,于,，,为,中,点,，,求,点,D,到,平,面,的,距,离,。,A,B,C,D,A,B,C,D,E,B,B,A,E,C,?,teachermyh,学海无涯,41,A,D,B,C,E,G,1,A,1,C,1,B,z,x,y,练习,1,1,1,0,1,1,1,9,0,2,1,1,在,直,三,棱,柱,中,，,底,面,是,等,腰,直,角,三,角,形,，,，,侧,棱,，、分,别,是,与,的,中,点,，,点在,平,面,上,的,射,影,是,A,B,C,的,重,心,G,，,(,1,),求,AB,与,平,面,A,B,D,所,成,角,的,大,小,；,(,2,),求,点,A,到,平,面,的,距,离,。,A,B,C,A,B,C,A,C,B,A,A,D,E,C,C,A,B,E,A,B,D,A,E,D,?,?,?,?,?,teachermyh,学海无涯,42,A,D,C,B,G,F,E,x,z,y,练习,4,如,图,已,知,为,边,长,为,的,正,方,形,点,、,分,别,是,、,的,中,点,，,G,C,垂,直,于,A,B,C,D,所,在,平,面,，,且,G,C,=,2,，,求,点,B,到,平,面,G,E,F,的,距,离,。,A,B,C,D,EF,A,BA,D,teachermyh,学海无涯,43,x,z,y,A,1,B,1,C,D,C,B,1,A,1,D,P,O,H,练习,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4,4,1,2,3,在,棱,长,为的,正,方,体,中,，,是,正,方,形,的,中,心,，,点,在,棱,上,，,且,（,）,求,直,线,与,平,面,所,成,角,的,大,小,；,（）,设,点,在,平,面,上,的,射,影,是,，,求,证,：,；,（）,求,点,到,平,面,的,距,离,。,A,B,C,D,ABCD,O,ABCD,P,C,C,C,C,C,P,A,P,B,C,CB,O,DA,P,H,DH,A,P,P,A,B,D,?,?,?,teachermyh,学海无涯,44,已知正方形,ABCD,的边长为,1,，,PD,平面,ABCD,，且,PD=1,，,E,、,F,分别为,AB,、,BC,的中点。,求证：,PE AF,；,求点,D,到平面,PEF,的距离；,求直线,AC,到平面,PEF,的距离；,求直线,PA,与,EF,的距离；,求直线,PA,与,EF,所成的角；,求,PA,与平面,PEF,所成的角；,求二面角,A-PE-F,的大小。,?,?,A,B,C,D,E,F,P,x,y,z,练习,
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