4-1第四章 常微分方程

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,www.,cec,.,edu,.,cn,第一节 常微分方程,第四章 常微分方程,1,、微分方程的基本概念,2,、一阶微分方程,3,、二阶线次微分方程,第一节 常微分方程,O、,背景,一、引例,二、概念和公式导出,三、案例,函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许多实际问题，往往不能直接找出需要的函数关系，却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系的等式这样的等式就是微分方程1676年詹姆士贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世界的重要工具1846年,数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了一颗有名的新星海王星1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类似的实例还有很多在微分方程的发展史中，数学家牛顿、莱布尼兹、,贝努利家族,、拉格朗日、欧拉、拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献,背景,一、引例,曲线方程,一平面曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试,建立该曲线满足的方程式,解,设所求曲线为,由导数的几何意义知，曲线上任一点,处的切线斜率为,根据题意有,即,二、概念和公式的引出,凡含有未知函数导数,(,或微分,),的方程，称为,微分方程,微分方程,有时也简称为方程,未知函数为一元函数的微分方程称为,常微分方程,微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为,微分方程的阶,.,任何满足微分方程的函数都称作,微分方程的解,如果微分方程中含有任意常数，且独立变化的任意常数的个数与,微分方程的阶数相同，这样的解称作微分方程的通解不含任意,常数的解称作,微分方程的特解,三、案例,案例,1 ,死亡年代的测定,遗体死亡之后，体内碳,的含量就不断,减少，已知碳,的衰变速度与当时体内碳,的含量成正比，试建立,解,设,时刻遗体内碳,的含量为,根据题意有,常数,等式右端的负号是由于,随时间,的增加而减少,含量应满足的方程,任意时刻遗体内碳,研究,案例,2 ,自由落体运动,一质量为,的质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程,.,解,建立坐标系如图,，,坐标原点取在水平地面,轴铅直向上,设在时刻,故由牛顿第二定律得质点满足的方程为,或,通过积分容易得出,其中,是两个独立变化的任意常数,质点的位置,是,由于质点只受重力,作用,且力的方向与,轴正向相反，,贝努利（,Jacob Bernoulli 1654-1705,），,著名数学家。,他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始,到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了,无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在,tan(,x,),函数的幂级数展开式中伯努利数。,雅可布在学艺上发表了一系列重要的论文，微分方程中的“伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结果还是对数螺线。,约翰.伯努利（,Johann,Bernoulli 1667-1748），,雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在,1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”,这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。,丹尼尔.伯努利（,Daniel Bernoulli 1700-1782），,起初也像他父亲弟约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于,肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金次之多，其中就包括那项惹他父亲恼怒的奖。,岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系列的科学论著。年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物学、解剖学与物理学教授。以岁高龄离开人世，许多人认为他是第一位真正的数学物理学家。,返回,