二次函的图象与性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二次函数,y=ax,2,的图象和性质,知识回顾,一次函数 的图象是,；,反比例函数 的图象是,；,问题,1,：二次函数,y=x,2,的图象是什么呢？,一条直线,双曲线,函数图象画法,列表,描点,连线,描点法,问题,2,：如何画二次函数,y=x,2,的图象呢？,0,0.25,1,2.25,4,0.25,1,2.25,4,-0.5,0.5,1,1.5,2,-1,-1.5,-2,0,x,y,x,2,二次函数,y=x,2,的图象形如物体抛射时,所经过的路线叫做,抛物线,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点,关于,y,轴对称,试一试,画函数,y,-x,2,的图象,练习：,二次函数,y=ax,2,的图象形如物体抛射时,所经过的路线，我们把它叫做抛物线,。,这条抛物线关于,y,轴,对称，,y,轴就是它的,对称轴。,对称轴与抛物线的交点,叫做抛物线的顶点,图象在横轴的上方，开口向上，,(-2,4),(-1,1),(2,4),(1,1),当,x0,时，函数值,y,随,x,的增大而增大。,当,x=0,时,函数 取得最小值，,y =0,。,(-2,-4),(-1,-1),(2,-4),(1,-1),图象,在横轴的下方，开口向下，,当,x0,时，函数值,y,随,x,的增大而减小。,当,x=0,时,函数 取得最大值，,y =0,。,y,ax,2,a 0,a 0,时，,y,随着,x,的增大而,；,当,x0,时，,y,随着,x,的 增大而,；,当,x=0,时，函数,y,的值最大，是,.,向上,y,轴,（,0,，,0,）,对称轴的右,对称轴的左,0,0,向下,y,轴,增大,减小,0,（,0,，,0,）,练一练,2,、,已知二次函数,y=ax,2,（,a0,）的图像经过点（,-2,，,-8,）。,（,1,）求,a,的值，并写出这个二次函数的解析式；,（,2,）判断点,（,-1,，,-4,）,是否在此抛物线上；,（,3,）点 和 在此抛物线上，试比较,m,和,n,的大小,。,解,（,1,）把（,-2,，,-8,）代入,y=ax,2,得,-8=a(-2),2,解出,a= -2,所求函数解析式为,y= -2x,2,.,（,3,）因为点 和 在抛物线,y= -2x,2,上,所以当 时,，,当 时，,因此,mn,（,2,）因为 ，所以点（,-1,，,-4,）,不在此抛物线上。,(-2,-8),y=-2x,2,因为,n,在对称轴的右边,y,随,x,的增大而减小,通过本节的学习你有哪些收获呢？,驶向胜利的彼岸,课堂小结,在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：,（,1,）,y,3,x,2,；,（,2,）,y,x,2,课堂作业,:,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和性质,x,y,怎样直接作出函数,y=3x,2,-6x+5,的图象,?,函数,y=ax,+bx+c,的图象,我们知道,作出二次函数,y=3x,2,的图象,通过平移抛物线,y=3x,2,可以得到二次函数,y=3x,2,-6x+5,的图象,.,1.,配方,:,提取二次项系数,配方,:,加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理,:,前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简,:,去掉中括号,老师提示,:,配方后的表达式通常称为,配方式,或,顶点式,直接画函数,y=ax,+bx+c,的图象,4.,画对称轴,描点,连线,:,作出二次函数,y=3(x-1),2,+2,的图象,2.,根据配方式,(,顶点式,),确定开口方向,对称轴,顶点坐标,.,x,-2,-1,0,1,2,3,4,3.,列表,:,根据对称性,选取适当值列表计算,.,29,14,5,2,5,14,29,a=30,开口向上,;,对称轴,:,直线,x=1;,顶点坐标,:(1,2).,学了就用,别客气,?,作出函数,y=2x,2,-12x+13,的图象,.,X=1,(1,2),X=3,(3,-5),例,.,求次函数,y=ax,+bx+c,的对称轴和顶点坐标,函数,y=ax,+bx+c,的顶点式,一般地,对于二次函数,y=ax,+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标,.,1.,配方,:,提取二次项系数,配方,:,加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理,:,前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简,:,去掉中括号,老师提示,:,这个结果通常称为求,顶点坐标公式,.,顶点坐标公式,?,因此,二次函数,y=ax,+bx+c,的图象是一条抛物线,.,根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：,例：指出抛物线,:,的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与,y,轴的交点坐标、与,x,轴的交点坐标。并画出草图。,对于,y=ax,2,+bx+c,我们可以确定它的开口,方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与,y,轴,的交点坐标、与,x,轴的交点坐标（有交点时）,，这样就可以画出它的大致图象。,练习,:,1.,抛物线,y=x2-bx+3,的对称轴是,x=2,求,b,的值,.,2,.,已知二次函数,y=-x2+2x+c,的最大值是,4,求,c,的值,.,例,4,：若抛物线,y=x,2,-4x+c,的顶点在,x,轴上，求,c,的值。,变化：抛物线,y=x,2,-4x+c,的顶点在,y=x+1,上，求,c,的值。,解题时可以考虑多种方法,练习,：已知抛物线,y=-3x,2,-2x+m,的,顶点在直线 上，,求,m,的值,例,5,：抛物线,y=2x,2,+bx,的对称轴在,y,轴的右侧。求,b,的取值范围。,例,6,已知二次函数,(1),当,m,取何值时,函数图象关于,y,轴对称,;,(2),当,m,取何值时,函数图象与,y,轴交点纵坐标是,1;,(3),当,m,取何值时,函数最小值是,-2.,例,7,已知抛物线,和,(1),求证,:,不论,m,取何值,抛物线,y1,的顶点总在,y2,抛物线上,;,(2),当抛物线经过原点时,求,y1,的解析式,在同一坐标系中作出两个图象,;,练习,指出下列抛物线的开口方向、求出,它的对称轴、顶点坐标、与,y,轴的交,点坐标、与,x,轴的交点坐标。并画出,草图。,B,1.,抛物线,y=2x,2,+8x-11,的顶点在 （ ）,A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,2.,不论,k,取任何实数，抛物线,y=a(x+k),2,+k(a0),的,顶点都,在,A.,直线,y = x,上,B.,直线,y = - x,上,C.x,轴上,D.y,轴上,3.,若二次函数,y=ax,2,+ 4x+a-1,的最小值是,2,则,a,的值是,4 B. -1 C. 3 D.4,或,-1,4.,若二次函数,y=ax,2,+ b x + c,的图象如下,与,x,轴的一个交点为,(1,0),则下列,各式中不成立的是,( ),A.b,2,-4ac0 B.abc0,C.a+b+c=0 D.a-b+c0),y=ax,2,+bx+c,(a0),由,a,b,和,c,的符号确定,由,a,b,和,c,的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而减小,.,在对称轴的右侧, y,随着,x,的增大而增大,.,在对称轴的左侧,y,随着,x,的增大而增大,.,在对称轴的右侧, y,随着,x,的增大而减小,.,根据图形填表：,独立,作业,1.,确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标,.,谢谢大家，再会,!,作业,结束寄语,探索是数学的生命线,.,再见,求二次函数的表达式,1.,会用待定系数法确定二次函数的表达式,.,2.,会求简单的实际问题中的二次函数表达式,.,二次函数表达式有哪几种表达方式？,一般式：,y=ax,2,+bx+c,顶点式：,y=a(x-h),2,+k,如何求二次函数的表达式？,已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其,表达,式,.,交点式：,y=a(x-x,1,),(x-x,2,),解析：,设所求的二次函数为,y=ax,2,+bx+c,，,由条件得：,a-b+c=10,，,a+b+c=4,，,4a+2b+c=7,，,解方程组得：,因此，所求二次函数的表达式是,a=2,b=-3,c=5.,y=2x,2,-3x+5.,【,例,1】,已知一个二次函数的图象过（,1,，,10,），（,1,，,4,），（,2,，,7,）三点，求这个函数的,表达,式,.,【,例题,】,【,例,2】,已知抛物线的顶点为,(-1,，,-3),与,y,轴交点为,(0,，,-5),求抛物线的,表达,式,.,y,o,x,解析：,设所求的二次函数为,y=a(x,1),2,-3,由点,( 0,-5 ),在抛物线上得：,a-3=-5,得,a=-2,，,故所求的抛物线表达式为,y=,2(x,1),2,-3.,-1,-3,【,规律方法,】,1.,求二次函数,y=ax,2,+bx+c,的表达式，关键是求出待定系数,a, b, c,的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于,a, b, c,的方程组，并求出,a, b, c,，就可以写出二次函数的解析式,.,2.,当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式,y=a(x-h),2,+k,将,h,k,换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出,a,的值,.,（西安,中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过,A,（,-1,，,0,），,B,（,3,，,0,），,C,（,0,，,-1,）三点,.,求该抛物线的表达式,.,【,解析,】,设该抛物线的表达式为,y=ax,2,+bx+c,根据题意，得,解之 得,所求抛物线的表达式为,A,y,x,O,C,B,【,跟踪训练,】,1,（衢州,中考）下列四个函数图象中，当,x,0,时，,y,随,x,的增大而增大的是,( ),C,2.,（莆田,中考）某同学用描点法画,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象时，列出如下表格,:,经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的,表达,式,.,x,0,1,2,3,4,y,3,0,2,0,3,y=x,2,4x+3,3.,（潼南,中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形,OABC,是菱形，,点,C,的坐标为（,4,0,），,AOC= 60,，垂直于,x,轴的直线,l,从,y,轴出发，,沿,x,轴正方向以每秒,1,个单位长度的速度向右平移，设直线,l,与菱形,OABC,的两边分别交于点,M,N,（点,M,在点,N,的上方），若,OMN,的面积为,S,，直线,l,的运动时间为,t,秒（,0,t,4,）,则,能大致反映,S,与,t,的函数关系的图象是,( ),解析：,选,C.,过点,A,作,x,轴的垂线，垂足为,E,，则,OE=2,，,AE=,，当点,M,在,OA,上时，,ON=t,，,MN=,，所以,S=,（,0,t,2,）；当点,M,在,AB,上时，,MN,的,值不变为,，所以,S=,（,2,t,4,），故选,C.,你学到哪些二次函数,表达,式的求法？,（,1,）已知图象上三点的坐标或给定,x,与,y,的三对对应值，通常选择一般式,.,（,2,）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式,.,确定二次函数的,表达,解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式,.,（,3,）已知图象与,x,轴的交点坐标,通常选择交点式,.,一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激；如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.,佚名,