24223切线长定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,切线长定理,1,1、圆的切线的定义是什么？,一、活动准备,2、圆的切线有哪些判定方法？,3、你能过圆上一点作出圆的切线吗？,能说出作图的步骤吗？理论依据是,什么？,2,O,作图的步骤：,1、连接OA;,2、过点A作直线l,OA.,3,二、活动一,1、你能过圆外一点作出圆的切线吗？,O,2、能说出作图的步骤吗？,3、理论依据是什么？,4、,过圆外一点能作几条圆的切线吗？,4,过圆外一点作圆的切线，这点和切点之的,线段,的长，叫做这点到圆的,切线长。,O,思考：切线与切线长有区别吗？,5,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做,切线长。,数学探究,O,B,P,A,切线长和切线的区别和联系:,切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。,6,如图，纸上有一O ，PA为O的一条,切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A,重合的点为B。,1.OB是O的一条半径吗？,2.PB是O的切线吗？,3.PA、PB有何关系？,4.,APO和BPO有何关系？,数学探究,P,A,O,B,问题：,7,已知：,求证：,如图，P为 O外一点，PA、PB为 O的切线，A、B为切点，连结PO,切线长定理,从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。,O,B,P,A,8,RtAOPRtBOP,O,P,A,B,PA=PB,PO平分APB,1,2,连结OA、OB、,PA、PB与O相切，点A、B是切点,1,=,2,OAAP，OBBP,OAP=OBP=90,OA=OB，OP=OP,PA=PB,9,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,A,P,O,。,B,几何语言:,反思,：切线长定理为证明,线段相等,、,角相等,提 供了新的方法,10,数学探究,O,B,P,A,思考：,连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？,为什么？,你还能得出什么结论？,E,11,例.PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于O于点D、E，交AB于C。,B,A,P,O,C,E,D,（1）写出图中所有的垂直关系,OAPA，OB PB，AB OP,（3）写出图中所有的全等三角形,AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP,（4）写出图中所有的等腰三角形,ABP AOB,（5）若PA=4、PD=2，求半径OA,（2）写出图中与OAC相等的角,OAC=OBC=APC=BPC,12,已知：如图PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点。直线OP交 O于D、E，交AB于C。,O,P,A,B,C,D,E,（1）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到 O的切线长为 cm，两切线的夹角等于 度,60,13,我们学过的切线，有 性质：,1、切线和圆只有一个公共点；,2、切线和圆心的距离等于圆的半径；,3、切线垂直于过切点的半径；,4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；,5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。,6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,六个,14,。,P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。,反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。,15,1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,小结：,A,P,O,。,B,E,C,D,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB ,OPA=OPB,OP垂直平分AB,切线长定理为证明,线段相等，角相等，弧相等，垂直关系,提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。,16,一、判断,（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）,（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。,练习,(1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。,P,B,O,A,二、填空,25,17,（,3）如图，PA、PB、DE分别切O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到O的切线长为8CM，则 PDE的周长为（ ）,A,A 16cm,D 8cm,C 12cm,B 14cm,D,C,B,E,A,P,18,1、已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.,（1）写出图中所有的垂直关系；,（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径,OA的长.,A,O,C,D,P,B,E,19,例2、如图，过半径为6,cm,的,O,外一点,P,作圆的切线,PA,、,PB,，连结,PO,交,O,于,F,，过,F,作,O,切线分别交,PA,、,PB,于,D,、,E,，如果,PO,10,cm,， 求,PED,的周长。,F,O,E,D,P,B,A,20,O,P,A,B,C,D,E,（5）如果PA=4cm，PD=2cm，试求半径OA的长。,x,即：,解得： x=,3cm,半径OA的长为3cm,21,例1、如图，,PA,、,PB,是,O,的切线，,A,、,B,为切点，,OAB,30,（1）求,APB,的度数；,（2）当,OA,3时，求,AP,的长,P,B,A,O,22,练习,如图，从,O,外一点P作,O,的两条切线，分别切,O,于A,、,B，在AB上任取一点C作,O,的切线分别交PA,、,PB于D,、,E,（1）若PA=2，则,PDE的周长为_；若PA=a，则,PDE的周长为_。,（2）连结OD,、,OE，若,P=40,，则,DOE=_;若,P=k,DOE=_,度,。,E,O,C,B,D,P,A,4,2a,70,23,随堂训练,(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。,(1)若OA=3cm, APB=60,，则PA=_.,P,A,B,C,O,M,如图，AC为O的直径，PA、PB分别切O于点A、B，OP交O于点M，连结BC。,24,试一试：已知：如图，,P,为,O,外一点，,PA,，,PB,为,O,的切线，,A,和,B,是切点，,BC,是直径。,C,50,，,求,APB,的度数,求证：,AC,OP,。,A,B,O,C,P,25,A,O,B,C,试一试：,如图1，一个圆球放置在V形架中。图2是它的平面示意图，,CA,和,CB,都是,O,的切线，切点分别是,A,、,B,。如果,O,的半径为,cm,，且,AB,=6,cm,，求,ACB,。,26,思考：当切点,F,在弧,AB,上运动时，问,PED,的周长、,DOE,的度数是否发生变化，请说明理由。,F,O,E,D,P,B,A,27,思考,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下,一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?,I,D,28,o,o,o,29,三角形的内切圆：,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的,内切圆,三角形的内心：,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的,内心,三角形的,内心,是三角形三,条,角平分线,的交点，它到,三角形,三边,的距离相等。,数学探究,D,E,F,30,问题：如图,ABC,，要求画,ABC,的内切圆，如何画？,已知：ABC,求作：和ABC的各边都相切的圆,B,C,A,I,D,作法：1、作B、C的平分线BM、CN，交点为I,2、过点I作IDBC，垂足为D,3、以I为圆心，ID为半径作I,I,就是所求的圆,N,M,31,A,B,C,O,三角形的外接圆：,三角形的内切圆：,A,B,C,I,D,32,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平,分线的交点；,4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。,33,试说明圆的外切四边形的两组,对边的和相等,34,例3、 已知四边形,ABCD,的边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,分别与,O,相切于,P,、,Q,、,M,、,N,，,求证：,AB+CD=AD+BC,。,D,A,B,C,O,M,N,P,Q,35,A,B,D,L,M,N,P,O,结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。,已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边的关系。,C,（1）找出图中所有相等的线段,（2）填空：AB+CD AD+BC（,=),=,DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM,比较圆的内接四边形的性质：,圆的内接四边形：角的关系,圆的外切四边形：边的关系,36,1、四边形ABCD外切于O,（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4,则n=_,（2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48,则最长的边为_,2、,圆内接平行四边形是矩形,圆外切平行四边形是_,练习二,A,B,C,D,A,C,B,D,O,A,B,C,D,O,O,37,3、,圆内接梯形为等腰梯形,4、,（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长,为3cm，则腰长为_,A,B,D,C,E,F,反思：圆外切等腰梯形的腰长,等于中位线长,（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11,差为6cm，则中位线为_,若S梯=150cm，则内切圆的直径为_,A,B,D,C,E,F,38,如图， ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB=,11,6cm,9cm,B,D,A,C,F,E,2,7,4,39,练习四,已知：ABC是O外切三角形，切点为D，E，F。若BC14 cm ，AC9cm，AB13cm。求AF，BD，CE。,A,B,C,D,E,F,x,x,y,y,O,z,z,解:设,AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm,则,AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm,依题意得方程组,x+y=13,y+z=14,x+z=9,解得:,Z=5,X+y+z=18,x+y=13,40,已知:如图,O,是RtABC的内切圆,C是直角,三边长分别是a,b,c.,求,O的半径r.,A,B,C,O,D,E,F,（1）Rt的三边长与其内切圆半径间的关系,13,探究三,求直角三角形内切圆的半径,41,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，,C90,BCa,ACb, ABc,O,为RtABC的内切圆. 求：RtABC的内切圆的半径,r.,设AD=,x, BE=,y,CE,r,O,与RtABC的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,则有,xrb,yra,xyc,解：,设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r,abc,2,结论,设,RtABC,的直角边为a、b，斜边为c，则RtABC的,内切圆的半径,r, 或r,abc,2,ab,abc,42,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，,C90,BC3,AC4, ,O,为RtABC的内切圆. （1）求,RtABC,的内切圆的半径,.,（2）若移动点,O,的位置，使,O,保持与ABC的边AC、BC都相切，求,O,的半径,r,的取值范围。,设AD=,x, BE=,y,CE,r,O,与RtABC的三边都相切,AD,AF,BE,BF,CE,CD,则有,xr4,yr3,xy5,解：,（1）设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。,解得,r1,在RtABC中，BC3,AC4, AB5,由已知可得四边形ODCE为正方形，CDCEOD, RtABC,的内切圆的半径为1。,43,（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。,A,B,O,D,C,OBBC3,半径,r,的取值范围为0r3,点评,几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。,44,例.如图，ABC中,C =90 ,它的,内切圆O分别与边AB、BC、CA相切,于点D、E、F，且BD=12，AD=8，,求O的半径r.,O,E,B,D,C,A,F,45,探究三,求一般三角形内切圆的半径,(2)已知:如图,ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.,求内切圆,O的半径r.,A,B,C,O,O,D,E,F,46,B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为,r,ABC的周长为,l,求ABC的面积,S.,解：,设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,S,ABC,S,AOB,S,BOC,S,AOC,ABOD,BCOE,ACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为,S,，,则ABC的内切圆的半径,r,结论,2,S,abc,三角形的内切圆的有关计算,47,14,小练习,1.,边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为,2.,边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为,3.,已知:ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆O的半径r,.,48,基础题：,1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是_.,2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,则此三角形的周长是_.,3.O是边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,EF切O,于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,H,G,正方形,22cm,2cm,49, O,A,B,C,D,E,F, O,A,B,C,D,E,选做题：如图，AB是O的直径，,AD、DC、BC是切线，点A、E、B,为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.,50,例：,如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。,x,13x,x,13x,9x,9x,例题选讲,A,D,C,B,O,F,E,51,1、如图，ABC中, ABC=50，ACB=75 ,点O 是ABC的内心，求 BOC的度数。,A,O,C,B,随堂训练,变式：,ABC中, A=40，点O是ABC的内心，求 BOC的度数。, BOC= 90+ A,52,2、,ABC的内切圆半径为 r , ABC的周长为 l ,求ABC的面积。（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC。）,O,A,C,B,r,r,r,知识拓展,若ABC的内切圆半径为 r,周长为 l ,则S,ABC,= lr,53,同学们要好好学习,老师期盼你们快快进步！,54,