两个随机变量函数的分布课件

单击此处编辑母版标题样式,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,四、小结,一、问题的引入,3.5,、两个随机变量的函数的分布,3.5.1,、二维离散型随机变量函数的分布律,例,1,概率,解,等价于,概率,结论,例,2,设两个独立的随机变量,X,与,Y,的分布律为,求随机变量,Z,=,X,+,Y,的分布律,.,得,因为,X,与,Y,相互独立,所以,解,可得,所以,例,3,设相互独立的两个随机变量,X,Y,具有同一,分布律,且,X,的分布律为,于是,解,解：依题意,例,4,若,和,相互独立,它们分别服从参数为,的泊松分布,证明,=,+,服从参数为,的泊松分布,.,则,i,=0,1,2,j,=0,1,2,即,服从参数为 的泊松分布,.,称泊松分布是一个可加性分布,.,r,=0,1,，,3.5.2,、二维连续型随机变量函数的分布,1.,Z,=,X,+,Y,的分布,由此可得概率密度函数为,以上两个公式称为,卷积公式,例,5,设两个独立的随机变量,X,与,Y,都服从标准正态分布,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,得,一般地，有如下定理,有限个,相互独立,的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,.,例如，设,X,、,Y,独立，都具有正态分布，则,3,X,+4,Y,+1,也具有正态分布,.,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,例,6,若,X,和,Y,独立,具有共同的概率密度,求,Z,=,X,+,Y,的概率密度,.,解,:,由卷积公式,也即,为确定积分限,先找出使被积函数不为,0,的区域,如图示,:,也即,于是,同理可得,故有,当,X,Y,独立时,由此可得分布密度为,解,由公式,例,7,得所求密度函数,得,3.,极值分布,则有,故有,推广,若,X,与,Y,相互独立同分布且为连续型随机变量,X,的,分布密度为,f(x),则,M,与,N,的分布密度为,上述结论可以推广到,n,维情形,即若设随机变量,相互独立同分布,令,则它们的分布函数分别为,它们的概率密度函数分别为,四、小结,1.,离散型随机变量函数的分布律,2.,连续型随机变量函数的分布,若随机变量（,X,Y),的概率密度为,f(x,y),，则,(4) Z=X,Y,的,概率密度为,（,5,）,Z=kx+Y,(k0),的概率密度为,（,6,）,Z=XY,的概率密度为,例,1,设随机变量,X,与,Y,相互独立,且其分布密,度分别为,其它,.,其它,.,求随机变量,Z,=2,X,+,Y,的分布密度,.,由于,X,与,Y,相互独立,所以,(,X,Y,),的分布密度函数为,解,备份题,随机变量,Z,的分布函数为,所以随机变量,Z,的分布密度为,解,例,2,解,例,3,此时,例,9,解,例,3,设相互独立的两个随机变量,X,Y,具有同一,分布律,且,X,的分布律为,于是,解,2.,连续型随机变量的函数的分布,方法,2,注意条件,.,方法,1,