FEM_有限元法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,有限元,（,FEM,）,数值解法与数值模拟技术,高世军,李 涛,徐艺琛,概述,历史,1943 Courant,最早提出思想,50,年代 用于飞机设计,1960 Clough,在著作中首先提出名称,19641965,年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠定其数学基础,1965,Winslow,首次应用于电气工程问题,1969,Silvester,推广应用于时谐电磁场问题,应用范围,广泛地被应用于各种结构工程,成功地用来解决其他工程领域中的问题,热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁工程问题等等,有限元法,Finite Element Method,的缩写，有限单元法，其实际应用中往往被称为有限元分析（,FEA,），是一个,数值,方法解偏微分,方程,。,FEM,是一种高效能、常用的计算方法，它将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，以求解连续体力学问题。,有限元法,在早期是以,变分原理,为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以,拉普拉斯方程,和,泊松方程,所描述的各类物理场中（这类场与,泛函,的,极值,问题有着紧密的联系）。自从,1969,年以来，某些学者在流体力学中应用,加权,余数法中的迦辽金法,(,Galerkin,),或,最小二乘法,等同样获得了,有限元,方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系,FEM,是应用于现代复杂机械结构优化设计的非常重要的计算机辅助分析方法。,FEM,早期主要应用于航空航天制造、船舶工业及高端军事领域 。,方法运用的基本步骤,基本思想：由解给定的,泊松方程,化为求解,泛函,的极值问题。,步骤,1,：剖分,将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合元素（单元）的形状原则上是任意的二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等每个单元的顶点称为节点（或结点）。,步骤,2,：单元分析,进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数,方法运用的基本步骤,步骤,3,：求解近似变分方程,用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。,有限元法,把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、,四边形,、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的,代数,方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的,数值解,。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术，,有限元法,用于计算机辅助制造中。,有限元思想,1,有限元法是,函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分析,的巧妙结合。从数学上分析，有限元法是,Rayleigh-Ritz-,Galerkin,（伽辽金法）法的推广。,传统的有限元以,变分原理,为基础,变分问题就是求,泛函极值,的问题,直接解法把变分问题化为普通多元函数求极值的问题,Ritz,寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界条件的基函数,间接解法 变分原理,变分问题与对应的,边值问题等价,有限元思想,2,有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径,把所要求的微分方程型数学模型,边值问题，首先转化为相应的,变分问题，即泛函求极值问题,；然后利用,剖分插值,，离散化变分问题为普通,多元函数的极值问题,，即最终归结为,一组多元的代数方程组,，解之即得待求边值问题的数值解。,有限元思想,3,有限元法的核心在于,剖分插值,，它是将所研究的,连续场分割为有限个单元,，用比较简单的,插值函数,来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简化。,有限元思想,4,由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为,自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足,，也就是说，自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的构造。,有限元法主要特点,1,离散化过程保持了明显的,物理意义,。因为,变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理,（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。因此，基于,问题固有的物理特性,而予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。,有限元法主要特点,2,优异的解题能力,。与其他数值方法相比较，有限元法在,适应场域边界几何形状,以及,媒质物理性质变异,情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意，通过控制,有限单元剖分密度和单元插值函数,的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。,有限元法主要特点,3,可方便地编写,通用计算程序,，使之构成模块化的子程序集合。容易,并行,。,从,数学理论,意义上讲，有限元作为应用数学的一个分支，它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了,泛函分析与计算方法,的发展。,有限元分析软件,有限元分析软件目前最流行的有：,ANSYS,、,ADINA,、,ABAQUS,、,MSC,四个比较知名比较大的公司。,有限元分析（,FEA,）是对于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法。它是,50,年代首先在连续体力学领域,-,飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等问题，有限元方法已经应用于水工、土建、桥梁、机械、电机、冶金、造船、飞机、导弹、宇航、核能、地震、物探、气象、渗流、水声、力学、物理学等，几乎所有的科学研究和工程技术领域。基于有限元分析（,FEA,）算法编制的软件，即所谓的有限元分析软件。通常，根据软件的适用范围，可以将之区分为专业有限元软件和大型通用有限元软件。实际上，经过了几十年的发展和完善，各种专用的和通用的有限元软件已经使有限元方法转化为社会生产力。常见通用有限元软件包括,LUSAS,MSC.Nastran,、,Ansys,、,Abaqus,、,LMSSam,- tech,、,Algor,、,Femap,/NX,Nastran,、,Hypermesh,、,COMSOL,Multip,-,hysics,、,FEPG,等等。,技术应用实例简介：,将有限元分析技术成功应用于工业,洗涤设备,领域，成功实现了在产品设计阶段，借助,FEM,技术有效消除和降低设备事故隐患。,工业洗衣机,高速脱水的工况下，容易造成衣物不均匀分布，且极高的工作转速下会产生很大的偏心激励，从而造成整体结构剧烈振动。因此洗衣机在长时间工作下很可能会造成薄弱结构松动甚至疲劳断裂，造成使用事故隐患。因此，借助有限元分析方法模拟产品在高速脱水工况下振动时的受力情况及寿命分析，可以有针对性对结构上的薄弱环节做改进，有效提升产品的稳定性和使用的耐久性。,通过有限元分析技术产生的产品受力模拟示意图，可以直观看出产品薄弱环节，从而有效解决水洗机外缸，内胆的焊接开裂以及滚筒轴端的开裂问题等。,全自动工业洗衣机有限元分析模型 洗涤和脱水过程中内胆受力模型图,工业洗衣机工作过程中外缸的受力模型图 工作过程中筒两端受力模型图,波音在其在波音,787,机身结构中，由于大量采用复合材料，大量的设计需要重新做实验、重新分析。一次蒙皮,-,纵梁复合材料结构的实验费用高到上百万美金，大量 的新材料和新结构，将导致大量的实验费用。所以必须利用有限元分析的方法，通过模拟仿真，提前找到结构设计的规律、避免设计缺陷，以减少实验的次数，节省 巨额的实验经费。,某飞机设计公司利用,Abaqus,子模型功能，对舱段的局部细节进行分析，其中模型包括窗口、加强筋等细节。用户可以利用总体分析的位移和应力结果作为局部结构的边界条件，利用,CAD,模型构建子模型，对局部结构的网格重新划分，进而得到结构的局部细节位移及应力分析结果。,子弹穿甲模拟分析：,下图左为子弹正打钢板,480,微秒后的穿透的三维立体图片，下图右为子弹正打钢板,720,微秒后的穿透的三维立体图片。,潜艇的水下爆炸模拟：,Abaqus,/Explicit,具有强大的分析水下爆炸,(UNDEX),的功能，下图左为潜艇处于深海中的三维立体模型，下图右为,Abaqus,分析的潜艇外壳受冲击后的应力等值线分布。,谢 谢 ！,