09圆的标准方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,全长,64.4,米,最大圆拱跨径,37.4,米,拱高,7.2,米,.,你能否确定出圆拱所属圆的大小和中心呢,?,赵州桥建于,1500,年，它建得科学合理，精巧新奇，应该说是中国古代数学、物理学、工程学融合的结晶，体现了中国古代劳动人民的智慧和力量。,圆的标准方程,在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？,在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,A,M,r,x,O,y,问题,确定一个圆最基本要素：,圆心和半径,(,a,b,),(,x,y,),（,1,）是否在圆上的点都适合这个方程？,（,2,）是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,若点,M,(,x,y,),在圆上,由前面讨论知,点,M,的坐标适合方程；,反之,若点,M,(,x,y,),的坐标适合方程，这就说明点,M,与,圆心,A,的距离为,r,，,即点,M,在,圆心为,A,，半径为,r,的圆上,问题,把这个方程称为,圆心为,A,(,a,b,),，,半径长为,r,（,r 0,）,的圆的方程，把它叫做,圆的标准方程,（,standard equation of circle,）,.,特殊位置的圆方程,问题,圆心在坐标原点,，,半径长为,r,的圆的方程是什么？,练习：,说出下列圆的圆心和半径：,圆心定位，半径定形,例,1,写出圆心为 ，半径长等于,5,的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上,解：,圆心是 ，半径长等于,5,的圆的标准方程是：,典型例题,A,x,y,o,M,1,M,2,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,A,x,y,o,M,1,M,2,M,3,从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,A,x,y,o,M,1,M,2,M,3,可以看到：点在圆外,点到圆心的距离大于半径,r,；,点在圆内,点到圆心的距离小于半径,r,A,x,y,o,M,1,M,2,M,3,点在,圆外,点到圆心的距离,大于,半径,r,；,点在,圆内,点到圆心的距离,小于,半径,r,点在,圆上,点到圆心的距离,等于,半径,r,；,点与圆的位置关系：,例,2,：根据条件，求圆的方程,（,1,）圆心在,C,（,-2,1,），过点,A,（,2,，,-2,）；,（,2,）圆心在,C(1,3),，并与直线,3x-4y-6=0,相切；,（,3,）过点（,0,1,）和点（,2,1,），半径为,.,典型例题,例,3,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1, 1),和,B,(2,2),且圆心,C,在直线上,l,：,x,y,+1=0,，,求圆心为,C,的圆的标准方程,典型例题,O,x,y,A,B,C,分析,：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为,C,的圆经过点,A,(1, 1),和,B,(2,2),，,由于圆心,C,与,A,B,两点的距离相等，所以圆心,C,在线段,AB,的垂直平分线 上又圆心,C,在直线,l,上，因此圆心,C,是直线,l,与直线 的交点，半径长等于,|,CA,|,或,|,CB,|,解,：,因为,A,(1, 1),和,B,(2,2),，,所以线段,AB,的中点,D,的坐标,直线,AB,的斜率,:,典型例题,因此线段,AB,的垂直平分线 的方程是,即,圆心,C,的坐标是方程组,的解,解此方程组，得,典型例题,所以圆心,C,的坐标是,圆心为,C,的圆的半径长,所以，圆心为,C,的圆的标准方程是,例,4,、,某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为,20m,， 拱高为,4m,。求该圆拱桥所在的圆的方程。,解：以圆拱所对的的弦所在的直线为x轴，弦的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x,2,+(y-b),2,=r,2,。,把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组,：,0,2,+(4-b),2,= r,2,10,2,+(0-b),2,=r,2,解得：b= -10.5 r,2,=14.5,2,所以圆的方程是： x,2,+(y+10.5),2,=14.5,2,A,（-10，0）,B,（10，0）,P,（0，4）,y,x,O,变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。,y,x,A,B,P,O,E,F,G,H,C,D,R,T,变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。,x,2,+(y+10.5),2,=14.5,2,令x2或2即可,Y3.86,3、已知圆 (x 2 ),2,+(y + 3 ),2,=25 ，判断点 是否在圆上？,1、圆心为 ，半径长等于5的圆的方程为（ ）,A (x 2 ),2,+(y 3 ),2,=25 B (x 2 ),2,+(y + 3 ),2,=25,C (x 2 ),2,+(y + 3 ),2,=5,D (x + 2 ),2,+(y 3 ),2,=5,2、圆 (,x,2),2,+,y,2,=2的圆心C的坐标为_,半径r =_,点 呢？,课堂练习,4.,求过点 ，圆心在直线 上且与,轴相切的圆的方程,.,作业,1,、求下列各圆的方程，并画出它的图形：,（,1,） 过点,C,（,-1,，,1,）和,D,（,1,，,3,），,圆心在,x,轴上；,（,2,） 半径是,5,，圆心在,y,轴上，且与直线,y=6,相切。,2,、求下列条件所确定的圆的方程：,（,1,）圆心为,C,（,3,，,-5,），,与直线,x-7y+2=0,相切；,（,2,）过点,A,（,3,，,2,），,圆心在直线,y=2x,上，与直线,y=2x+5,相切；,知识小结,圆的基本要素,圆的标准方程,圆心在原点的圆的标准方程,判断点与圆的位置关系,