04.稳定性与李雅普诺夫

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 稳定性与李雅普诺夫方法,2024年9月16日,4.,稳定性与李雅普诺夫方法,4.1,李雅普诺夫关于稳定性的定义,4.2,李雅普诺夫第一法,4.3,李雅普诺夫第二法,4.4,李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,4.5,李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,稳定性的几个问题,什么是系统的稳定性？,为什么要研究稳定性？,经典控制理论中稳定性的判别方法？,对于状态空间表达式如何判断稳定性？,4.1,李雅普诺夫关于稳定性的定义,系统的平衡状态,所研究系统的齐次状态方程为,x,为,n,维状态矢量；,f,为与,x,同维的矢量函数，并且是,x,与时间,t,的函数，一般为时变的非线性函数，如果不显函,t,，则为定常非线性系统。,若存在状态矢量,x,e,，对所有时间,t,都能使,f,(,x,e,t,) 0,，称,x,e,为系统的平衡状态。,线性定常系统的平衡状态,平衡状态需要满足,Ax,e, 0,当,A,为非奇异矩阵时，系统存在唯一的平衡状态,x,e,0,；,当,A,为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。,非线性系统的平衡状态,可以有一个或者多个,平衡状态,稳定性的基本概念,经典理论中的稳定性,李雅普诺夫的稳定性,系统形式,定义,如果系统在扰动作用下偏离的原来的平衡状态，在扰动消失后，系统能够以足够的准确度,恢复到原来的平衡状态,，则系统是稳定的，否则不稳定。,如果系统从平衡状态临近的任一点出发的轨线总,保持在该,平衡状态,的临近,，则称平衡状态是稳定的，否则不稳定。,判别方法,代数判据、奈氏判据、对数判据、,特征根判据,李雅普诺夫第一法（间接法）,第二法（直接法）,适用范围,线性定常系统,多变量、非线性、时变,稳定性是系统本身固有的，与输入无关。,稳定性的几个定义,李雅普诺夫意义下的稳定,渐进稳定,大范围渐进稳定,不稳定,李雅普诺夫意义下的稳定性,说明：,S,(,),-,定义一个以平衡状态为中心半径为,的邻域，系统的运动状态保持在该邻域内；,S,(,),-,定义一个以平衡状态为中心半径为,的邻域，为了满足系统的运动状态保持在,S,(,),内，系统的初始状态应该在,S,(,),内。,渐进稳定,大范围渐进稳定,不稳定,稳定 渐进稳定 不稳定,分析下列系统的稳定性,表面有摩擦,李雅普诺夫稳定性判别方法,第一法（间接法）,：先求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。,第二法（直接法）：构造李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质判断系统的稳定性。适用与任何复杂系统,4.2,李雅普诺夫第一法（间接法）,线性定常系统,提问：有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况？有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况？,非线性系统,x,e,为平衡状态，,f,(,x,t,),为与,x,同维的矢量函数，且对,x,具有连续的偏导数。,将非线性矢量函数,f,(,x,t,),在,x,e,邻域内展开为泰勒级数,其中,R,(,x,),为级数展开式中的髙阶导数项。,若令 则可以得到系统的线性化方程,在线性近似的基础上，用线性系统稳定性的判别定理。,A,的所有特征值都有负实部,系统渐进稳定,A,的特征根中至少有一个具有正实部,系统不稳定,A,的特征值都有非正实部,需要根据舍弃的髙阶项再分析,采用李雅普诺夫第二法,举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性,第一步：令,求得系统的平衡状态,第二步：将系统在平衡状态,x,1,e,附近线性化,求近似线性系统的特征根：,1,，,+1,， 所以系统在,平衡状态,x,1,e,不稳定,第三步：将系统在平衡状态,x,2,e,附近线性化,求近似线性系统的特征根：,j,，,+j,，实部为,0,；所以系统在,平衡状态,x,2,e,的稳定性用线性化方程无法判断。,课堂练习：用李雅普诺夫第一法判断下列系统的稳定性,第一步：令,求得系统唯一的平衡状态,第二步：将系统在平衡状态附近线性化,第三步：求近似线性系统的特征根：,1,，,2,所以系统在平衡点渐进稳定。,4.3,李雅普诺夫第二法（直接法）,基本思路：,一个系统被激励后，其储存的,能量,随着时间的推移逐渐衰减，当能量最小时，达到平衡状态，那么这个平衡状态是渐进稳定的。,反之，如果系统不断从外界吸收能量，存储能量的能量越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。,李雅普诺夫函数：,一个正定的标量函数,V,(,x,),虚拟的广义能量函数,根据,d,V,(,x,)/d,t,的符号（能量的变换规律）判断系统的稳定性，,4.3.1,预备知识,1.,标量函数的符号性质,设,V,(,x,),为,n,维矢量,x,所定义的标量函数， ，且在,x,=0,处，恒有,V,(,x,)=0,。对于所有在域 中的任何非零矢量,x,，如果：,1,）,V,(,x,),0,，则称,V,(,x,),为,正定,。例如,V,(,x,)=,x,1,2,+,x,2,2,；,2,）,V,(,x,) 0,，则称,V,(,x,),为,半正定（或非负定）,。例如,V,(,x,)=(,x,1,+,x,2,),2,；,3,）,V,(,x,),0,，则称,V,(,x,),为,负定,。例如,V,(,x,)=,(,x,1,2,+2,x,2,2,),；,4,）,V,(,x,) 0,，则称,V,(,x,),为,半负定（或非正定）,。例如,V,(,x,)= -(,x,1,+,x,2,),2,；,5,）,V,(,x,),0,或者,V,(,x,),0,，则称,V,(,x,),为不定的,。例如,V,(,x,)=,x,1,+,x,2,；,2,二次型标量函数,设,x,1,，,x,2,，,，,x,n,为,n,个变量，定义二次型标量函数为,如果,p,ij,=,p,ji,，则称,P,为实对称阵。,对于二次型函数， 若,P,为实对称阵，则必存在正交矩阵,T,，通过变换,，使之化成,上式，为,二次型函数的标准型,。它只包含变量的平方项，其中为对称阵,P,的互异特征值，且均为实数。,二次型函数的标准型,二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵,P,的所有特征值,均大于零。,矩阵,P,的符号性质,设,P,为,n,n,的实对称阵，,V,(,x,)=,x,T,Px,为由,P,所决定的二次型函数。,1,）若,V,(,x,),正定，则,P,正定，记做,P,0,；,2,）若,V,(,x,),负定，则,P,负定，记做,P,0,；,3,）若,V,(,x,),半正定（非负定），则,P,半正定（非负定），记做,P, 0,；,4,）若,V,(,x,),半负定（非正定），则,P,半负定（非正定），记做,P, 0,；,矩阵,P,的符号性质与它所定义的二次型函数,V,(,x,),的符号性质完全一致。因此判断,V,(,x,),的符号只要判断,P,的符号即可（希尔维斯特判据，,Sylvester,）。,3,希尔维斯特判据,4.3.2,稳定性判据,李雅普诺夫第二法根据 判断系统的稳定性,4.3.3,对李雅普诺夫函数的讨论,4.4,李雅普诺夫方法在线性系统中的应用,4.4.1,线性定常连续系统渐进稳定判据,命题,4.1,矩阵,的所有特征根均具有负实部，即,，等价于存在对称矩阵,，使得,证明,必要性证明,设对称矩阵,令 显然,李氏第一法,如何判断？,P.61,矩阵指数函数的性质五：微分,根据,，则,因此,充分性证明：,因为,A,的特征根有可能是复数，不妨在复数域上讨论，在,C,n,中定义新的内积,为,A,的对应,的特征向量，即,则,又存在,由于,，所以,即,。证毕。,线性定常连续系统稳定性判据,线性定常连续系统在平衡状态,x,e,= 0,全局渐进稳定的充要条件：对于任意给定的正定实对称矩阵,Q,，若存在正定的实对称矩阵,P,，满足,李雅普诺夫方程,：,则可取为 ，为系统的李雅普诺夫函数。,欲使系统在原点渐进稳定，则要求 必须为负定,则，要求,为正定的。,判据应用注意事项,（,1,）判别过程,判据应用注意事项,（,2,）,Q,的选取：尽量简单，常取,Q,=,I,；,（,3,）若 沿任一轨迹不恒等于零，那么,Q,可取半正定。,（,4,）上述判据所确定的条件与矩阵,A,的特征值具有负实部的条件等价，因而判据是 充要条件。,李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例（,1,）,已知系统状态方程如下，,试分析系统平衡点的稳定性。,解,设,，,Q,=,I,带入李雅普诺夫方程,将上式展开，对应元素相等，解得,根据希尔维斯特判据,P,是正定的，因而系统的平衡点是大范围渐进稳定。,李雅普诺夫方法判别线性系统稳定性示例（,2,）,已知系统状态方程如下，,试确定系统增益,K,的稳定范围。,解,因,det,A,0,，故原点是系统唯一的平衡状态。,为了说明,Q,选取的正确，需要证明 沿任意轨迹应不恒等于零。,显然 的条件是 ，此时 ， ，这表明只有在平衡状态 ，才能保证 ，而 沿任一轨线不会恒等于零。,取半正定的实对称矩阵,Q,为,求解李雅普诺夫方程,解得,为使,P,为正定矩阵的充要条件是：,12,2,K, 0,和,K, 0,即,0 ,K, 6,综合上述，当,0 ,K, 6,系统在平衡状态原点大范围渐进稳定。,4.5,李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用,4.5.1,雅可比（,Jacobian,）矩阵法,克拉索夫斯基（,Krasovski,）法,设非线性系统的状态方程为,式中，,x,为,n,维状态矢量；,f,为与,x,同维的非线性矢量函数。,假设原点,x,e,=0,是平衡状态，,f,(,x,),对 可微，系统的雅可比矩阵为：,第一法如何判断非线性系统的稳定性？,则系统在原点渐进稳定的充要条件是：对于任意正定实对称阵,P,，使下列矩阵,为正定的；并且,是系统的一个李雅普诺夫函数。,如果当 时，还有 ，则系统在,x,e,=0,是大范围渐进稳定。,证明：,选取二次型函数,为李雅普诺夫函数，其中,P,为对称正定矩阵，因而 正定。,考虑到 是,x,的显函数，不是时间,t,的显函数，因而有下列关系,将 沿状态轨迹对,t,求全导，可得,上式表明，要使系统渐进稳定， 必须是负定的，因此 必须是正定的。,若 时， ，则系统在原点是大范围渐进稳定的。,推论,对于线性定常系统 ，若矩阵,A,非奇异，且矩阵（,A,T,A,）为负定，则系统的平衡状态,x,e,=0,是大范围渐进稳定的。,李雅普诺夫方法判别非线性系统稳定性示例,设系统的状态方程如下，用克拉索夫斯基法分析,x,e,=0,出的稳定性。,解：,计算雅可比矩阵,取,P,=,I,，得,根据希尔维斯特判据，有,表明对于,x, 0,，,Q,(,x,),是正定的。平衡状态是稳定的,。,此外，当 时，,因此，系统的平衡状态,x,e,=0,为大范围渐进稳定。,1),取,Q,=,I,2),令对称矩阵,3),将,Q,、,P,带入李雅普诺夫方程,4),解得,P,的特征值为,1.12, 10.55, 75.33,P,正定,课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（,1,）,1),取,Q,=,I,2),令对称矩阵,3),将,Q,、,P,带入李雅普诺夫方程,4),解得,a,=1.5,b,=1,c,=0.5,5,）判断,P,是否正定？,课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（,2,）,a,）特征值,b,）各阶顺序主子式,特征方程？,1),取,Q,=,I,2),令对称矩阵,3),将,Q,、,P,带入李雅普诺夫方程,4),解得,a,=7/6,b,=1/6,c,=1/6,5,）判断,P,是否正定？,课堂练习：第二法判断线性系统的稳定性（,3,）,a,）特征值,b,）各阶顺序主子式,特征方程？,课堂练习：,李雅普诺夫第二法判别非线性系统稳定性示练习,(1),3,）结论：,a,0,时，渐进稳定,2,）构造李雅普诺夫函数,分析下面系统的稳定性,1),确定系统平衡状态,课堂练习：,李雅普诺夫第二法判别非线性系统稳定性示例,(2),结论：渐进稳定,李雅普诺夫函数,