第八章 系统频率响应及其仿真

,第八章 系统频率响应及其仿真,本章主要内容如下：,8.1,频率特性的一般概念,8.2,频率响应的,MATLAB,函数,8.3,系统频域校正,8.4,系统分析图形用户界面,第八章 系统频率响应及其仿真,频率响应分析方法的基本思想是把控制系统中的各个变量看成是由许多不同频率的正弦信号叠加而成的信号；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和。,这种源于通讯科学的分析方法，于,20,世纪,30,年代引进到控制工程后，立即得到广泛应用。这主要是由于频率响应法具有鲜明的物理意义，能够大大简化复杂机构的动力学分析和设计，更能够启发人们区分影响系统的主要因素和次要因素；其次还可以通过实验方法比较准确地求出系统的数学模型并可减少手工计算量。古典控制理论实际上就是以频率响应法分析可用常系数线性微分方程描述的,SISO,系统。由于许多工业过程都可以近似抽象成线性定常系统，因此频率响应法在控制工程中仍然是一种重要的方法。,第八章 系统频率响应及其仿真,8.1,频率特性的一般概念,8.1.1,频率响应与频率特性,频率响应：,系统对谐波输入的稳态响应。,对于线性系统，当输入为：,x,i,(,t,)=,X,i,sin,t,其稳态输出为同频率的正弦信号：,x,o,(,t,)=,X,o,(,),sin,t,+,(,),8.1,频率特性的一般概念,8.1.1,频率响应与频率特性,频率特性：,是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。可表示为,频率特性还可表示为,因此频率特性还可再分为,实频特性：,U,（,）,虚频特性：,V,（,）,幅频特性：,相频特性：,x,o,(,t,)=,X,o,(,),sin,t,+,(,),第八章 系统频率响应及其仿真,8.1,频率特性的一般概念,8.1.2,Nyquist,图与,Bode,图,Nyquist,图,利用封闭的,Nyquist,轨迹可进行系统稳定性的分析，即,Nyquist,稳定判据。,Nyquist,图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的影响。,频率特性,G,(,j,),是频率,的复变函数，可以在复平面上用一个矢量来表示。该矢量的幅值为 ，相角为 。当,从,0,变化时，,G,(,j,),的矢端轨迹被称之为频率特性的极坐标图或,Nyquist,图。,第八章 系统频率响应及其仿真,8.1,频率特性的一般概念,8.1.2,Nyquist,图与,Bode,图,Bode,图,把频率特性函数,G,(,j,),的角频率,和幅频特性都取对数，则称之为对数幅频特性和对数相频特性，其中：,对数幅频特性,： （单位为分贝,db,）,对数相频特性,：,（单位为度）,其频率轴采用对数分度,lg,。则以,lg,为横坐标，,L,(,G,(,j,),和,(,G,(,j,),为纵坐标绘制的曲线分别称之为对数幅频特性图和对数相频特性图，统称为系统的,Bode,图。,Nyquist,稳定判据引申到对数频率特性中即成为对数判据，因而也可以用,Bode,图分析系统的稳定性。,第八章 系统频率响应及其仿真,8.1,频率特性的一般概念,8.1.2,Nyquist,图与,Bode,图,稳定裕度,利用系统开环频率特性的稳定裕度，可以分析闭环系统的稳定性。稳定裕度又分为幅值裕度和相位裕度。在,Bode,图上表示为：,幅值裕度,(db),：,相位裕度,：,【,说明,】,g,为相位穿越频率,即开环相频特性曲线穿越,180,0,线时的频率,.,c,为幅值穿越频率,即开环幅频特性曲线穿越,0,分贝线时的频率,.,在工程上通常要求,kg,6db,=30,o, 60,o,第八章 系统频率响应及其仿真,8.2,频率特性的,MATLAB,函数,8.2.1,频率响应计算函数,MATLAB,提供了用于计算线性时不变系统的频率响应的函数，其调用格式为,h =,freqs,(b, a, w),指定正实角频率向量，返回响应值。,freqs,(b, a, w),绘制对指定角频率向量的幅频和相频特性曲线,.,其中,b,、,a,均为系统传递函数的分子、分母的系数向量。,在返回指令值的指令中，需调用,abs,（）和,angle,（）求取幅频和相频特性。,第,2,种调用可直接绘制系统的幅频和相频特性曲线，其中幅频特性曲线为全对数坐标，而相频特性曲线为半对数坐标，并且可以不指定频率向量。,【,例,2】,频率响应演示,：绘制系统,频率响应曲线。,num=11 11;den=1 15 4 0;,w=0.05:0.01:0.5*pi;,%,产生频率向量,freqs,(num,den,w),%,指定,频率向量,freqs,(num,den),%,不指定频率向量,指定频率向量,不指定频率向量,8.2,频率特性的,MATLAB,函数,8.2.2,频率,特性图示法,Nyquist,图,nyquist,(sys ),基本调用格式绘制,sys,的,Nyquist,图,nyquist,(sys, w),指定频率范围,w,，绘制,sys,的,Nyquist,图,nyquist,(sys1, sys2,sysn,),在同一坐标系内绘制多个模型的,Nyquist,图,nyquist,(sys1, sys2 ,sysn, w),在同一坐标系内绘制多个模型对指定频率范围的,Nyquist,图,【,说明,】,MATLAB,中频率范围,w,除可直接用冒号生成法生成外，还可由两个函数给定：,logspace,(w1, w2, N),产生频率在,w1,和,w2,之间,N,个对数分布频率点；,linspace,(w1, w2, N),产生频率在,w1,和,w2,之间,N,个线性分布频率点；,N,可以省略。,调用,nyquist,(),指令若指定,w,，则,w,仍然必须是正实数组,MATLAB,将自动绘制与,w,对应的,Nyquist,轨迹。,所绘,Nyquist,图的横坐标为系统频率响应的实部,纵坐标为虚部,.,【,例,3】,系统开环传递函数为 ，绘制当,K=5,、,30,时系统的开环频率特性,Nyquist,图，并判断系统的稳定性。,w=,linspace,(0.5,5,1000)*pi;,sys1=,zpk,( ,0 -10 -2,100);,%,建立模型,1,K=5,sys2=,zpk,( ,0 -10 -2,600);,%,建立模型,2,K=30,figure(1),nyquist,(sys1,w);,%,绘,Nyquist,图,1,title(System,Nyquist,Charts with K=5),figure(2),nyquist,(sys2,w),%,绘,Nyquist,图,2,title(System,Nyquist,Charts with K=30),K=5,K=30,由于系统开环稳定,因此,K=5,时系统是稳定的,(,开环,Nyquist,曲线没有包围,(-1,j0),点,即图中的“,+”,号,);,而,K=30,时系统是不稳定的。,第八章 系统频率响应及其仿真,8.2,频率特性的,MATLAB,函数,8.2.2,频率,特性图示法,Bode,图,bode,(sys ),基本调用格式，绘制,Bode,图,bode,(sys, w),指定频率范围，绘制,Bode,图,bode,(sys1, sys2,sysn,),在同一图内,绘制多个模型的,Bode,图,mag,phase,w =,bode,(sys ),返回响应的幅值和相位及对应的频率,不绘制,Bode,图,bodemag,(sys ),仅绘制幅频,bode,图,说明,当不指定频率范围时，,bode,(),将根据系统零极点自动确定频率范围。,【例4】,系统开环传递函数为,sys1=,zpk,( ,0 -10 -2,100);,%,建立模型,1，,K=5,sys2=,zpk,( ,0 -10 -2,600);,%,建立模型,2，,K=30,figure(1),bode(sys1),%,绘,Bode,图1,title(System Bode Charts with K=5),grid,figure(2),bode(sys2),%,绘,Bode,图2,title(System Bode Charts with K=30),grid,绘制当,K=5、30,时系统的开环频率特性,Bode,图，并判断系统的稳定性,K=5,K=30,K=5,时,因为,c,g,所以系统闭环不稳定,。,第八章 系统频率响应及其仿真,8.2,频率特性的,MATLAB,函数,8.2.2,频率,特性图示法,计算幅值、相位裕度,margin (sys ),为基本调用，用于绘制,Bode,图，并在图中标出幅值裕度和相位裕度。,Gm,Pm,Wcg,Wcp, = margin (sys ),返回幅值裕度,Gm,，相位裕度,Pm,，幅值穿越频率,Wcg,和相位穿越频率,Wcp,，不绘制,Bode,图。,Gm,Pm,Wcg,Wcp, = margin (,mag, phase, w),根据给定幅频向量,mag,，相频向量,phase,和对应的频率向量,w,，计算并返回,Gm,，,Pm,，,Wcg,和,Wcp,。,说明,Gm=1/|G(,jWg,)|,是,Nyquist,图对应的幅值裕度，单位不是分贝。,sys1=,zpk,( ,0 -10 -2,100); %,建立模型,1,sys2=,zpk,( ,0 -10 -2,600); %,建立模型,2,kg1,r1,wg1,wc1=margin(sys1),kg2,r2,wg2,wc2=margin(sys2),【,例,5】,计算例,4,中,K=5,和,K=30,时系统的幅值与相位裕度。,由于,K=30,时，相位裕度小于零，幅值裕度小于,1,（即小于零分贝），因此系统不稳定。,kg1 = 2.4000,r1 = 19.9079,wg1 = 4.4721,wc1 = 2.7992,kg2 = 0.4000,r2 = -18.3711,wg2 = 4.4721,wc2 = 6.8885,（,K=5,）,（,K=30,）,第八章 系统频率响应及其仿真,8.3,系统频域校正,8.3.1,频域校正的基本方法,控制系统的频域校正或频域设计是根据给定的频域性能指标,如稳定裕度、频宽、谐振频率等进行控制器的设计，是古典控制理论的一种主要设计方法。控制器的频域校正有以下几种形式,相位滞后校正,相位超前校正,相位滞后,-,超前校正,PID,校正,本节以相位滞后校正为例，介绍应用,MATLAB,进行系统校正的方法。,8.3.2,相位滞后校正,相位滞后校正装置,相位滞后校正可以使系统具有希望的相位裕度和低频增益,(,稳态误差,),，校正装置的传递函数为,相位滞后校正设计思想,先确定增益,K,c,使系统具有希望的稳态精度，再确定校正装置的转折频率使系统具有希望的相位裕度,(,K,c,也可合并到,G,(,s,),中,),。,相位滞后校正设计步骤,根据稳态误差计算,K,c,;,根据,K,c,下原系统开环幅、相频曲线，寻找满足要求相位裕度 所对应的频率作为幅值穿越频率,c,;,根据,c,确定校正环节的转折频率：,即校正环节最大转折频率为幅值穿越频率的,1/10,【,例,】,设校正前系统开环传递函数为 ，设计滞后校正控制器使系统相位裕度为,60,0,，开环增益为,49,。,Gp,=,tf,(1,2,1)*,tf,(1,0.5,1)*,tf,(1,0.05,1)*4;,%,改变增益前系统开环传递函数模型,Gp1=,Gp,*49/4;,%,改变增益后系统开环传递函数模型,figure(1),margin(,Gp,),%,改变增益前系统开环,Bode,图,figure(2),margin(Gp1),%,改变增益后系统开环,Bode,图,计算改变增益前后，系统开环对数频率特性。,K=4,K=49,计算改变增益后，具有希望相位裕度的系统开环对数幅频穿越频率,wc,.,考虑到校正环节在幅值穿越频率,w,c,处相位滞后的影响，增加,10,0,的预补偿量，则,W=,logspace,(-1,2,100);,%,生成对数频率向量,mag,ph=bode(Gp1,W);,%,产生系统幅频、相频矩阵,mag,=reshape(,mag,100,1);,%,将幅频矩阵变为幅频向量,ph=reshape(ph,100,1);,%,将相频矩阵变为相频向量,Wc,=interp1(ph,W,-110),%,计算相位为,-110,0,时的频率,Wc,=1.4189,即在幅值穿越频率,c,处，系统开环频率特性的相位为,-110,0,。,说明,中,bode,(),函数返回的幅频,mag,、相频,ph,计算结果均为,1,1,100,的三维矩阵，需要将其转化换为向量，以便于数值计算,中,interp1,(),为插值函数，用于确定,ph,中与,-110,0,对应的角频率,c,.,确定校正环节参数,在,c,处校正环节的对数幅值应满足：,一阶微分环节转折频率,1/T1,可根据相位裕度的变化进行调整。,mag110=interp1(ph,mag,-110) ;,%,计算,c,处幅值（非分贝值）,Beta=mag110,%,求取,T1=6/,Wc,;BT1=Beta*T1;,%,计算转折频率,Gc,=,tf,(T1,1,BT1,1),%,建立校正环节模型,Beta =,13.2494,Transfer function:,4.228 s + 1,-,56.02 s + 1,系统校核,sys=,Gc,*Gp1,%,建立串联校正环节系统开环传递函数模型,figure(3),margin(sys),%,计算幅值裕度、相位裕度、相位穿越频率、幅值穿越频率，并绘图,由图可知，校正后系统的幅值裕度为,22.8dB,，相位裕度为,60.8,0,，满足要求。,时间响应比较,figure(4),subplot(2,1,1),step(feedback(Gp1,1,-1),%,绘制校正前系统阶跃响应曲线,subplot(2,1,2),step(feedback(sys,1,-1),r),%,绘制校正后系统阶跃响应曲线,下图为校正后系统阶跃响应曲线，与上图未校正的系统阶跃响应相比，系统的动态特性明显改善。,第八章 系统频率响应及其仿真,8.4,系统分析图形用户界面,MATLAB,控制工具箱提供的线性时不变,(LTI),系统仿真的图形用户分析界面,LTI Viewer,，可更为直观地分析系统的时域、频域响应。其使用也很简单，只需,在指令窗中建立起要分析的系统模型,;,在指令窗中键入：,ltiview,;,即可调出,LTI Viewer,窗口，进行分析。,【,例,6】LTI-Viewer,使用演示。设单位负反馈系统的开环传递函数,建立,MATLAB,系统模型,Gk=,zpk,(-5 -40,0 -0.1 -20 -20,20);,sys=feedback(Gk,1,-1);,执行以上指令，系统模型,sys,便存入,MATLAB,工作空间。,在指令窗中输入：,ltiview,即可进入,LTI-Viewer,可视化仿真环境，如图。,在进入,LTI-Viewer,后，点击菜单,FILE,，选择,Import,项后，弹出一个装入,LTI,系统的窗口如图所示。该窗口将显示工作空间或指定目录的文件夹内所有的系统模型对象,菜单的主要功能如下：,Plot Types,：选择图形类型。可选择,Step(,阶跃响应,缺省设置,),，,Impulse(,脉冲响应），,Bode,图，,BodeMag,(,幅频,Bode,图,),，,Nyquist,图,Pole / Zero(,极点,/,零点图,),等。,Characteristics,：可对不同类型响应曲线标出相关特征值。对阶跃响应，可选择表示的特征值如。,Properties,：对图形窗口进行编辑，对显示性能参数进行设置。此外，还可以选择菜单,Edit,Linestyle,对曲线的线形、颜色、标志等进行选择。,Plot Types,下级菜单,Characteristics,下级菜单,在,LTI,浏览器中选择系统,“sys”,后，就显出系统的阶跃响应图形窗口，在窗口内点击鼠标右键弹出现场菜单，见下图。,此外还可进行多个图形窗口显示，其操作如下：在,LTI,Viewe,窗口下，选择菜单,Edit,Plot Configurations,后，弹出一个,Plot Configurations,（图形配置）窗口。该窗口左边显示响应图,6,种排列形式，通过单选按钮任选其中一种，最多有,6,种图形显示。该窗口右边显示响应类型，共,6,组，最多可选择,6,种（应和所选窗口数对应）。,在该界面上选择四个图形窗口，并使相应窗口分别对应阶跃、脉冲、,Bode,图和,Nyquist,图，点击,OK,后，即可显示响应图形，如图,7-21,所示。对图中每个曲线还可分别设置相关选项，如,Bode,图设置显示稳定裕度，阶跃响应设置显示峰值和峰值时间，用鼠标指向图中的圆点，即可显示出相关数据。,练 习,（,1,）教材,145,页第,1,、,2,、,3,题,（,2,）教材,166,页第,3,题,