Ch5 随机变量序列的极限

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 随机变量序列的极限,本章要点,本章讨论两类重要的极限分布.,一、大数定律,定义 设 是一个随机变量序列, 如果存在常,数 使得对于任意常数,总有,则称随机变量序列,依概率收敛于,记作,若随机变量序列 依概率收敛于 则,定理 如果,且函数 在点,处连续, 则,定理 设 是两两不相关的随机变量序列, 如,果存在常数,使得,则,特别地, 若,则上式表明,注意 该定理的条件为,方差有界,.,定理 （独立同分布情形下的大数定律）,设,是独立同分布的随机变量序列, 且,则,用,独立同分布情形下的大数定律,可以证明频率的稳,定性。,设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果,引进随机变量,相互独立，则在n次试验中A发生的,频率,例1 设 是独立同分布的随机变量序列, 且,则,有些情况下, 可以得到其分布. 例如,二、中心极限定理,在数理统计中经常要用到 个独立同分布的随机变量,进一步地有,的和 的分布, 但要给出其精确分布有,时很困难.,则,则,但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定,有这个必要.,人们在长期实践中发现, 在相当一般的条件下, 只要,充分大, 总认为 近似服从正态分布.,下面这个例子说明了这个情况.,例 （高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验,图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的,距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下,一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小,于两个钉子之间的距离的小球. 在小,球向下降落的过程中, 碰到钉子后均,以 的概率向左或向右滚下, 于是,又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直,到滚到底板的一个格子里为止. 把许,多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相,当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 的密,度函数图形.,O,x,-8 -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1 2 3 4 5 6 7 8,高尔顿钉板试验,？,什么曲线,共,16,层小钉,小球碰第 层钉后向右落下,小球碰第 层钉后向左落下,高尔顿,( Francis Galton,1822-1911),英国人类学家和气象学家,程序如下,输出图形,定理 （独立同分布的中心极限定理）,则对任意的 有,独立同分布的随机变量序列, 且,设 是,其中 为标准正态分布的分布函数.,该定理的实际意义是,若随机变量序列,满足定理条件,记,则,近似服从标准正态分布,.,即,例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他,解 设第 段的测量误差为 所以累计误差为,又 为独立同分布的随机变量, 由,得,分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从,区间 上的均匀分布, 试求总距离测量误差的,绝对值超过 厘米的概率.,由独立同分布的中心极限定理,:,作为上面定理的特例,如果,则,即随机变量序列,满足上面定理的条件,.,从而有下面的定理,.,定理 （中心极限定理 ）,则对任意的 有,即当 充分大时, 近似服从标准正态分布.,布的随机变量序列, 且 令,设 是一个独立同分,该定理的实际意义是,:,若,则,近似服从标准正态分布.,即,例3 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用,解 令 表示在时刻 时正在开动的机器数, 则,电 瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的,时候只占工作总时间的 问应该供应多少瓦电力能,99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作,期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.,由中心极限定理知:,由条件所设, 所求的概率为,而 为标准正态分布的分布函数, 查表得,即:,从而,即: 只要供应 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该,车间的机器能正常工作.,例4 一本 万字的长篇小说进行排版, 假定每个字被,排错的概率为 试求这本小说出版后发现有6个字以,解 设错字总数为 则,则有,上错字的概率, 假定各个字是否被排错是相互独立的.,所求概率为:,即求概率为,例5 为了测定一台机床的质量, 将其分解成75个部件,解 以 表示第 个部件的称量误差 由,从而,来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: ）服从区,间 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试,求机床的称量总误差的绝对值不超过10 的概率.,条件所设, 知 为独立同分布序列, 且,由独立同分布的中心极限定理, 可以近似认为,于是所求的概率为,因此机床质量总误差不超过 的概率近似为,例6 某单位有200台分机, 每台使用外线通话的概率为,15%, 若每台分机是否使用外线是相互独立的, 问该单,位至少需要装多少多少条外线, 才能以95%的概率保证,每台分机能随时接通外线电话.,解 以 表示在时刻 使用的外线数, 则,此时有,若以 表示安装的外,线数, 则分机能使用外线意味着此时有,由,中心极限定理得:,查表得:,即:,所以可取,方能以95%的把握保证在该时刻分机可以使用外,线.,三、部分作业解答,5.5 已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为 的指,数分布, 随机抽取 只, 试求这 只晶体管的寿命总和,超过 的概率.,解 以 表示第 只晶体管的寿命, 则,此时,所求概率为,又,由中心极限定理得,所以原概率近似为,试问, 最多可以把这台机床分解成多少个部件, 才能以,5.6 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件,来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: ）服从区,间 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的,不低于 的概率保证总重量的误差的绝对值不超过,解 设将机床分解成 个部件, 而 表示第 个部件的,重量, 则,所以,由已知条件,又,即有,所以取,5.7 已知生男婴的概率为 求在 个婴儿中,男孩个数多于女孩的概率.,解 设 个婴儿中男婴的个数为 由条件知,此时,由中心极限定理得,所以所求概率为,5.8 报童沿街向行人兜售报纸, 设每位行人买报的概率,是,且他们是否买报是相互独立的, 试求报童在向,位行人兜售后, 卖掉报纸 份的概率.,解 以 表示出售的报纸份数, 则,所以,所求概率为,由中心极限定理得,