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数学3（必修）,统计,本章内容,本章介绍了从总体中抽取样本的常用方法，并通过实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测,总体,抽样,分析,估计,简单随机抽样,系 统 抽 样,分 层 抽 样,样 本 分 布,样 本 特 征 数,总 体 分 布,总 体 特 征 数,当总体容量大或检测具有一定的破坏性时，可以从总体中抽取适当的样本，通过对样本的分析、研究，得到对总体的估计，这就是统计分析的基本过程而用样本估计总体就是统计思想的本质,要准确估计总体，必须合理地选择样本，我们学习的是最常用的三种抽样方法获取样本数据后，将其用频率分布表、频率直方图、频率折线图或茎叶图表示后，蕴含于数据之中的规律得到直观的揭示运用样本的平均数可以对总体水平作出估计，用样本的极差、方差（标准差）可以估计总体的稳定程度,对两个变量的样本数据进行相关性分析，可发现存在于现实世界中的回归现象用最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程可用于预测和估计，为决策提供依据,总之，统计的基本思想是从样本数据中发现统计规律，实现对总体的估计,2.1,抽样方法,1.,简单随机抽样,（）抽签法,为了了解高一,(1),班,50,名学生的视力状况，从中抽取,10,名学生进行检查如何抽取呢？通常使用抽签法，方法是：将,20,名学生从,1,到,50,进行编号，再制作到,50,的,50,个号签，把,50,个号签集中在一起并充分搅匀，最后随机地从中抽,10,个号签对编号与抽中的号签的号码相一致的学生进行视力检查一般地，用抽签法从个体个数为,N,的总体中抽取一个容量为,k,的样本的步骤为：,说明：,1.,抽样公平性原则,等概率,随机性；,2.,抽签法适用与总体中个数,N,不大的情形,.,1.,将总体中的所有个体编号（号码可以从到 ）,；,2.,将到 这 个号码写在形状、大小相同的号签上,（号签可以用小球、卡片、纸条等制作）；,3.,将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；,4.,从箱中每次抽出个号签，并记录其编号，连续抽取次；,5.,从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出,.,2.1,抽样方法,（,2,）,.,随机数表法：,下面我们用随机数表法求解本节开头的问题,（）对,50,个同学进行编号，编号分别为,01,，,02,，,03,，,，,50,；,（）在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第行第,29,列的数开始为便于说明，我们将附表中的第行至第行摘录如下：,16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23,78,87 35 20 96 43 84 26 34 91 64,84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47,67,21 76 33 50 25 83 92 12 06 76,63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71,7,5,12,86 73 58,07,44,39,52,38,79,33,21 12 34 29,78 64 56 07 82 52,42,07 44,38,15 51 00 13 42 99 66 02 79 54,57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09,62,90 52 84 77 27 08 02 73 43 28,第,29,列,第行,（）从数开始向右读下去，每次读两位，凡不在,01,到,50,中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到,12,07,44,39,38,33,21,34,29,42,这,10,个号码，就是所要抽取的,10,个样本个体的号码,将总体中的,N,个个体编号时可以从,0,开始，例如当,N=100,时,，,编号可以是,00,01,02, ,99.,这样，总体中的所有个体均可用两位,数字号码表示，便于使用随机数表,当随机地选定开始的数后，读数的方向可以向右，也可以向,左、向上、向下等由此可见，用随机数表法抽取样本的步骤是：,（）对总体中的个体进行编号（每个号码位数一致）；,（）在随机数表中任选一个数作为开始；,（）从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码,若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到,的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满,为止；,（）根据选定的号码抽取样本,小结：,1.,抽样无放回；,2.,抽样公平性；,3.,抽签法，随机数表法,简单的随机抽样,.,第四步将编号为, +10, +20, , +610,的个体抽出，组成样本,第三步在第一段,000,，,001,，,002,，,，,009,这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码 ；,因为,624,的,10,约为,62,，,624,不能被,62,整除，为了保证“等距”分段，应先剔除人,2.,系统抽样：,例 某单位在岗职工共,624,人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取,10,的工人进行调查如何采用系统抽样方法完成这一抽样？,分析,:,第一步将,624,名职工用随机方式进行编号；,解：,第二步从总体中剔除人（剔除方法可用随机数表法），将剩下的,620,名职工重新编号（分别为,000,，,001,，,002,，,，,619,），并分成,62,段；,系统抽样的步骤为：,（）采用随机的方式将总体中的个体编号；,（）将整个的编号按一定的间隔（设为,k,）分段，当 （,N,为总体中的个体数，,n,为样本容量）是整数时，,k=,；当 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数,能被 整除，这时,k=,，并将剩下的总体重新编号；,（）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号,l,；,（）将编号为,l,，,l,+k,，,l,+2k,，,，,l,+(n-1)k,的个体抽出,小结：,1.,适用与总体中个体无明显的层次差异,；,2.,系统抽样,等距抽样,.,3.,分层抽样,例某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为,1200,人，其中持各种态度的人数如下表所示：,很喜爱,喜爱,一般,不喜爱,2435,4567,3926,1072,电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取,60,人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？,分析：,因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样方法，而以分层抽样为妥,解可用分层抽样方法，其总体容量为,12000,“很喜爱”占,“喜爱”占,“一般”占,“不喜爱”占,因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的,2435,人、,4567,人、,3926,人和,1072,人中分别抽取,12,人、,23,人、,20,人和,5,人,一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫,分层抽样,（,stratified sampling,），其中所分成的各个部分称为“层”,分层抽样的步骤是：,（）将总体按一定标准分层；,（）计算各层的个体数与总体的个体数的,比；,（）按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；,（）在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）,说明：,1.,适用与总体中个体有明显的层次差异，层次,分明的特点；,2.,总体中个体数,N,较大时，系统抽样，分层抽样,二者选其一,.,类别,特点,相互联系,适用范围,共同点,简单随机抽样,从总体中逐个抽取,总体中的个体个数较少,抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同,系统,抽样,将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取,在起始部分抽样时，采用 简 单随机抽样,总体中的 个体个数较多,分层,抽样,将总体分成几层，按各层个体数之比抽取,各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样,总体由差 异明显的 几部分组成,以上我们学习了三种抽样方法，这些抽样方法的特点及适用范围可归纳如下：,例,1,下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？（）从台冰箱中抽取,3,台进行质量检查；,（）某电影院有,32,排座位，每排有,40,个座位，座位号为,1,40,有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下,32,名听众进行座谈；,（）某学校有,160,名教职工，其中教师,120,名，行政人员,16,名，后勤人员,24,名为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为,20,的样本,分析,（）总体容量比较小，用抽签法或随机数表法都很方便,（）总体容量比较大，用抽签法或随机数表法比较麻烦由于人员没有明显差异，且刚好排，每排人数相同，可用系统抽样,（）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故应采用分层抽样方法,例,2.,假设要考察某公司生产的,500,克袋状牛奶的质量是否达标，现从,800,袋牛奶中抽取,60,袋进行检验，利用随机数表抽样本时，先将,800,袋牛奶按,000,，,001,，,，,799,进行编号，如果从随机表第,8,行第,18,列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的,5,牛奶的编号,（下面摘取了一随机数表的第,7,行至第,9,行）,84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76, ,63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 79,73 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 06 13 42 99 66 02 79 54, ,1.,现有以下两项调查：某装订厂平均每,小时大约装订图书,362,册，要求检验员每,小时抽取,40,册图书,检查其装订质量状况；,某市有大型、中型与小型的商店共,1500,家,三者数量之比为,159,为了调查全,市商店每日零售额情况，抽取其中,15,家进,行调查,.,完成、这两项调查宜采用的,抽样方法依次是,( ),A,、简单随机抽样法，分层抽样法,B,、分层抽样法，简单随机抽样法,C,、分层抽样法，系统抽样法,D,、系统抽样法，分层抽样法,D,2.,要从已编号（,1,60,）的,60,枚最新,研制的某型导弹中随机抽取,6,枚来进,行发射试验,用每部分选取的号码间,隔一样的系统抽样方法确定所选取,的,6,枚导弹的编号可能是 （ ）,A,5,，,10,，,15,，,20,，,25,，,30,B,3,，,13,，,23,，,33,，,43,，,53,C,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,D,2,，,8,，,14,，,20,，,26,，,32,B,3.,某校有行政人员、教学人员和教辅,人员共,200,人，其中教学人员与教辅,人员的比为,10,1,，行政人员有,24,人，,现采取分层抽样容量为,50,的样本，那,么行政人员应抽取的人数为,( ),A 3 B 4 C 6 D 8,C,教学人员和教辅人员应抽取的人数,分别为,_,和,_.,40,4,2.2,总体分布的估计,例 为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中的,100,株的底部周长，得到如下数据表（长度单位,:cm,）：,135,98,102,110,99,121,110,96,100,103,125,97,117,113,110,92,102,109,104,112,109,124,87,131,97,102,123,104,104,128,105,123,111,103,105,92,114,108,104,102,129,126,97,100,115,111,106,117,104,109,111,89,110,121,80,120,121,104,108,118,129,99,90,99,121,123,107,111,91,100,99,101,116,97,102,108,101,95,107,101,102,108,117,99,118,106,119,97,126,108,123,119,98,121,101,113,102,103,104,108,（）编制频率分布表；,（）绘制频率分布直方图；,（）估计该片经济林中底部周长小于,100cm,的树木约占多少，周长不小于,120cm,的树木约占多少,（,4,）绘制频率分布折线图；,（,5,）绘制概率分布曲线；,小结：,1.,频率直方图中矩形条的面积,=,组距,=,频率；,2.,频率分布表 频率直方图 后者更直观,形象地反映样本的分布规律,.,例 有同一型号的汽车,100,辆，为了解这种汽车每耗油,1,所行路程的情况，现从中随机抽出,10,辆在同一条件下进行耗油,1,所行路程试验，得到如下样本数据（单位：）：,13.7,，,12.7,，,14.4,，,13.8,，,13.3,，,12.5,，,13.5,，,13.6,，,13.1,，,13.4,并分组如下：,分 组,频 数,频 率,合 计,12.45,12.95,13.45,13.95,14.45,0.2,0.4,0.6,0.8,1,路程（,km,）,频率组距,（,1,）完成上面频率分布表；,（,2,）根据上表在给定坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体数据落在中的概率；,（,3,）据样本对总体的期望值进行估计。,10,10,1.,甲、乙两种冬小麦试验品种连续,5,年的,平均单位面积产量如下,(,单位：,),品种,第一年,第二年,第三年,第四年,第五年,甲,9.8,9.9,10.1,10,10.2,乙,9.4,10.3,10.8,9.7,9.8,产量较高的是：,_;,产量比较稳定的是：,_.,乙品种,甲品种,2.,在一次文艺比赛中，,12,名专业人员,和,12,名观众代表各组成一个评判小组，,给参赛选手打分，下面是两个评判组对,同一名选手的打分：,小组,A,：,42,，,45,，,48,，,46,，,52,，,47,，,49,，,55,，,42,，,51,，,47,，,45,；,小组,B,：,55,，,36,，,70,，,66,，,75,，,49,，,46,，,68,，,42,，,62,，,58,，,47.,通过计算说明小组,A,、,B,哪个更像是由专,业人士组成的评判小组,.,A,3.,为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方,图（如下图），已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是,0.1,，,0.3,，,0.4.,第一小组的频数是,5.,频率,组距,49.5,74.5,99.5,124.5,149.5,求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；,(2),在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？,(3),参加这次测试跳绳次数在,100,次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？,50,第,3,小组,60%,2.3,总体特征数的估计,1.,平均数,2.,方差，标准差,设一组样本数据,其平均数为 ，则称,为这个样本的方差，其算术平方根,为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差,小结：,1.,方差，标准差是用来刻画样本的稳定性；,2.,比较的标准,越小越好。,例,1,下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表（单位,:h,），试估计该校学生的日平均睡眠时间,睡眠时间,人数,频率,6,，,6.5,）,5,0.05,6.5,，,7,）,17,0.17,7,，,7.5,）,33,0.33,7.5,，,8,）,37,0.37,8,，,8.5,）,6,0.06,8.5,，,9,）,2,0.02,合计,100,1,分析要确定这,100,名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示,解法总睡眠时间约为,6.255+6.7517+7.2533+7.7537+8.25,+8.75,=739,（）,故平均睡眠时间约为,7.39,解法求组中值与对应频率之积的和,6.250.05+6.750.17+7.250.33+7.750.37,+ 8.250.06+8.780.02=7.39,（）,答估计该校学生的日平均睡眠时间约为,7.39,例,2,甲、乙两种冬水稻试验品种连续,5,年的平均单位面积产量如下（单位：,t/hm2,），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定,品种,第,1,年,第,2,年,第,3,年,第,4,年,第,5,年,甲,9.8,9.9,10.1,10,10.2,乙,9.4,10.3,10.8,9.7,9.8,解甲品种的样本平均数为，样本方差为,(9.8-10)2 + (9.9-10)2 +(10.1-10)2 +,（,10-10,）,2 +(10.2-10)2 ,=0.02,，,乙品种的样本平均数也为，样本方差为,(9.4-10)2 + (10.3-10)2 +(10.8-10)2 +,（,9.7-10,）,2 +(9.8-10)2 ,=0.24,，,因为,0.24,0.02,，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定,1.,数据,70,，,71,，,72,，,73,的标准差是（,）,D,12,2.4,线性相关关系,：,能用直线方程,近似表示的相关关系叫做,线性相关关系,.,线性回归方程,：,一般地,设有,n,个观察数据如下：,当,a,b,使,取得最小值时,就称,这,n,对数据的,线性回归方程,该方程所表,示的直线称为,回归直线,.,为拟合,11.69,C,4.,三点,(3,10),(7,20),(11,24),的,线性回归方程是,( ),D,歌手,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,评委,1,9.07,8.98,8.80,8.80,9.00,8.81,9.24,8.91,8.98,9.05,评委,2,9.12,8.92,8.83,8.86,9.05,8.85,9.28,9.02,9.06,9.10,评委,3,9.15,8.95,8.91,8.90,9.12,9.00,9.28,9.05,9.10,9.12,评委,4,9.15,9.00,9.05,8.93,9.15,9.00,9.29,9.15,9.10,9.18,评委,5,9.15,9.01,9.10,8.93,9.15,9.04,9.30,9.16,9.10,9.20,评委,6,9.18,9.02,9.17,9.03,9.15,9.15,9.32,9.20,9.10,9.20,评委,7,9.21,9.15,9.20,9.05,9.16,9.15,9.35,9.21,9.14,9.20,评委,8,9.21,9.20,9.20,9.05,9.17,9.18,9.35,9.21,9.17,9.24,评委,9,9.24,9.20,9.24,9.15,9.18,9.19,9.38,9.21,9.17,9.29,评委,10,9.26,9.23,9.28,9.17,9.18,9.24,9.40,9.28,9.22,9.30,评委,10,9.30,9.30,9.29,9.21,9.24,9.25,9.45,9.29,9.29,9.30,评委,12,9.35,9.32,9.31,9.21,9.31,9.32,9.45,9.30,9.40,9.35,（）确定歌手的名次；,（）对评委的评判水平给出评价，,以便确定下次聘请的,10,名评委,你是最棒的 BC,
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