平面及其方程空间直线及其方程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,平面及其方程空间直线及其方程,*,第6节,一、,平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第,八,章,平面及其方程空间直线及其方程,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称,式,为平面,的,点法式方程,求该平面,的,方程,.,法向量,.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,例1.,求过三点,即,解,:,取该平面,的法向量为,的平面,的方程,.,利用点法式得平面,的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,此平面的,三点式方程,也可写成,一般情况,:,过三点,的平面方程为,说明,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,特别,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的,截距式方程,.,时,平面方程为,分析,:,利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,练习：习题8-6 题1，题3.,题1.,题3.,平面及其方程空间直线及其方程,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为,平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程,与此点法式方程等价,的平面,因此方程,的图形是,法向量为,方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,特殊情形,当,D,= 0,时,A x,+,B y,+,C z,= 0,表示,通过原点,的平面,;,当,A,= 0,时,B y,+,C z,+,D,= 0,的法向量,平面平行于,x,轴,;,A x+C z+D,= 0,表示,A x+B y+D,= 0,表示,平行于,y,轴,的平面,;,平行于,z,轴,的平面,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,By,+C z,= 0,表示,经过x轴的平面；,A x+C z,= 0,表示,经过y轴的平面；,A x+,By,= 0,表示,经过z轴的平面；,平面及其方程空间直线及其方程,C z,+,D,= 0,表示平行于,xoy,面 的平面,;,A x,+,D,=0,表示平行于,yoz,面 的平面;,B y,+,D,=0,表示平行于,zox,面 的平面,.,平面及其方程空间直线及其方程,例2.,求通过,x,轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,例,3,.,用平面的一般式方程导出平面的截距式方程,.,解,:,因平面通过,x,轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(,自己练习,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,习题8.6 题8 (1)(3),平面及其方程空间直线及其方程,三、两平面的夹角,设平面,1,的法向量为,平面,2,的法向量为,则两平面夹角,的余弦为,即,两平面法向量的夹角,(,常为锐角,),称为,两平面的夹角,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,因此有,例4.,一平面通过两点,垂直于平面,:,x + y + z,= 0,求其方程,.,解,:,设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去,C,得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,外一点,求,例5.,设,解,:,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离,d .,则,P,0,到平面的距离为,(,点到平面的距离公式,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,内容小结,1.,平面,基本方程,:,一般式,点法式,截距式,三点式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,2.,平,面,与平面,之间的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,求过点,且垂直于,二,平面,和,的平面方程,.,解,:,已知二平面的法向量为,取所求平面的法向量,则所求平面方程为,化简得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,作业:习题8-6,题2,题6,题8(2),平面及其方程空间直线及其方程,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第七节空间直线及其方程,第八章,平面及其方程空间直线及其方程,一、空间直线方程,因此其一般式方程,1,.,一般式方程,直线可视为两平面交线，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,2.,对称式方程,故有,说明,:,某些分母为零时,其分子也理解为零,.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的,对称式方程,(,也称为,点向式方程,),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,3.,参数式方程,设,得参数式方程,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,例1,.,用对称式及参数式表示直线,解,:,先在直线上找一点,.,再求直线的方向向量,令,x,= 1,解方程组,得,已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路,:,先找直线上一点,;,再找直线的方向向量,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,练习：习题8-7 题1，题2,4,平面及其方程空间直线及其方程,平面及其方程空间直线及其方程,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角,满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角,(,通常取,锐角,),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,特别有,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,例,2,.,求以下两直线的夹角,解,:,直线,直线,二直线夹角,的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角,称为直线与平面间的夹角,;,2.,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线,L,的方向向量为,平面,的法向量为,则直线与平面夹角,满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,特别有,:,解,:,取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程,.,为所求直线的方向向量,.,垂,例3.,求过点(1,2 , 4),且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,平面,:,L,L /,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线,L,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,解：,相交,求此直线方程,.,的方向向量为,过,A,点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法,1,利用叉积,.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法,2,利用所求直线与,L,2,的交点,.,即,故所求直线方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程空间直线及其方程,作业：习题8-7题 3.题7.题9自测题8,平面及其方程空间直线及其方程,