第三章几种重要的随机过程

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 几种重要的随机过程,第一节 独立过程和独立增量过程,第二节 正态过程,第三节 维纳过程,第四节 泊松过程,定义,3.1.1,对任意的正整数,n,及任意的,为,独立过程,.,相互独立,称随机过程,随机变量,第一节 独立过程和独立增量过程,一、独立过程,独立随机过程的有限维分布由一维分布确定,注,Ex.1,高斯白噪声,实值时间序列 的,自相关函数为,称 为,离散白噪声,(,序列,).,两两,不相关序列,.,又若,X,(,n,),都服从正态分布,称 是,高斯白噪声,序列,.,对于,n,维正态随机变量有,相互独立 不相关,故,高斯白噪声序列,是独立时间序列,.,若过程 是正态过程,且,高斯白噪声,是典型的,随机干扰数学模型,普遍存在于电流的波动,通信设备各部分的波动,电子发射的波动等各种波动现象中,.,称其为,高斯白噪声过程,，它是独立过程,.,如金融、电子工程中常用的线性模型,自回归模型（,AR(,p,),）,理想模型要求残差序列,t,是,(,高斯,),白噪声,.,二、独立增量过程,定义,3.1.2,称,T=,0,),为,独立增量过程,若对,及,t,0,=,0,t,1,t,2,0,X,(,t+h,),X,(,s+h,),与,X,(,t,),X,(,s,),有相同的分布函数,称,X,(,t,),t,0,是,平稳独立增量,过程,.,0,t,s,s+h,t+h,增量 的分布仅与,有关,与起始,点,t,无关,称,X,(,t,),t,0,的增量具有,平稳性,(,齐性,).,注,Ex.2,若,X,(,n,),n,N,+,是独立时间序列,令,则,Y,(,n,), n,N,+,是独立增量过程,.,又若,X,(,n,), n,=1,2,相互独立同分布,则,Y,(,n,),n,N,+,是平稳独立增量过程,.,证,若,n,1,n,2,n,m,X,(,n,),n,N,+,相互独立,各增量相互独立,.,性质,3.1.1,X,(,t,),t,0,是,平稳独立增量过程,X,(0)=0,则,1,）均值函数,m,(,t,),= m t,(,m,为常数,);,2,）方差函数,D,(,t,)=,2,t,(,为常数,);,3,）协方差函数,C(,s,t,)=,2,min(,s,t,).,分析,因均值函数和方差函数满足,命题,：若,可证得,1),和,2).,则对任意实数,t,有,证,3),X,(,t,),X,(,s,),与,X,(,s,),相互独立,.,一般,C,(,s, t,)=,2,min(,s,t,).,性质,3.1.2,独立增量过程的有限维分布由一维分布和增量分布确定,.,分析,对于独立增量过程,X,(,t,),t,0,任取的,t,1, t,2,t,n,T,Y,1,= X,(,t,1,), Y,2,=X,(,t,2,),X,(,t,1,), ,Y,n,=,X,(,t,n,),X,(,t,n-,1,),相互独立性,利用特征函数法可证明结论,.,思考题：,1.,白噪声过程是否一定是独立过程？,2.,独立过程是否是独立增量过程？反之？,1,定义,为,n,维正态分布，,其密度函数为,也称高斯过程。,则称,第二节 正态过程,其中,且,C,为协方差矩阵，,注,由正态过程的,n,维概率密度表达式知，正态过程的统计特性，由它的均值函数 及自协方差函数 完全确定。,Ex.3,证,可得,注,逆命题也成立。,一、维纳过程的数学模型及应用,维纳过程是英国植物学家罗伯特,.,布朗在观察漂浮在液面的花粉运动,布朗运动规律时建立的随机游动数学模型,.,第三节 维纳过程,维纳过程应用广泛：电路理论、通信和控制、生物、经济管理等,.,维纳过程的研究成果应用于计量经济学，使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用于非平稳的经济过程，如激烈变化的金融商品价格的研究。,二、定义,则称,或布朗运动过程。,称为标准维纳过程。,特别,三、维纳过程的分布,1.,一维分布,：,W,(,t,),N,(0,2,t,),；,2.,增量分布,：,W,(,t,),W,(,s,),N,(0,2,|,t,s,|);,设,t,s,，,因,W,(0)=0,且,W,(,t,),是平稳独立增量,过程，故,有相同分布,N,(0,2,(,t,s,).,3.,维纳过程是,正态过程,.,证,设维纳过程,W,(,t,),t,0,的参数是,2,，,相互独立，且有,正态随机向量的线性变换服从正态分布,。,四、维纳过程的数字特征,1.,E,W,(,t,)=0;,D,W,(,t,)=,s,2,t,2.,C,(,s, t,),=R,(,s,t,),=,2,min,(,s,t,),维纳过程是平稳独立增量过程,下证,同理,故,3,证,由于增量,是相互独立的正态变量。,所以,4,具有马氏性,证,因此,所以,所以维纳过程是马氏过程。,例,4,试求,的协方差函数。,且,解,可得,所以,一、计数过程与泊松过程,在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的,计数问题，,如：,盖格记数器上的粒子流；,电话交换机上的呼唤流；,计算机网络上的（图象，声音）流；,编码（密码）中的误码流；,第四节 泊 松过程,交通中事故流；,细胞中染色体的交换次数，,均构成以时间顺序出现的事件流,A,1,A,2, ,定义,3.4.1,随机过程,N,(,t,),t,0,称为,计数过程,(Counting Process),如果,N,(,t,),表示在,(0,t,),内事件,A,出现的总次数,.,计数过程应满足：,(1),N,(,t,)0,;,(2),N,(,t,),取非负整数值；,(3),如果,s t,，则,N,(,s,),N,(,t,),；,(4),对于,s 0；,(4),P,N,(,h,)2=o(,h,).,称,N,(,t,),t,0),是参数,(,或速率,强度,),为,的,齐次泊松过程,.,EX.1,在数字通信中误码率,是重要指标，设,N,(,t,), t,0,为时间段,0, t),内发生的误码次数, ,N,(,t,), t,0,是计数,过程,而且满足,(1),初始时刻不出现误码是必然的,故,N,(0)=0;,(2),在互不相交的区间,出现的误码数互不影响,故,N,(,t,),独立增量过程,.,在系统稳定运行的条件下,在相同长度区间内出现,k,个误码概率应相同,故可认为,N,(,t,),是增量平稳过程,.,N,(,t,), t,0,是平稳独立增量过程；,(3),认为,t,时间内出现一个误码的可能性与区间长度成正比是合理的,即有,P,N,(,D,t,)=1=,D,t,+,o(,D,t,),0,；,(4),假定对足够小的,t,时间内,出现两个以上误码的概率是关于,t,的高阶无穷小也是合理的,有,P,N,(,D,t,)2=,o(,D,t,).,定理,3.4.1,齐次泊松过程,N,(,t,),t,0,在时间间隔,(,t,0, t,0,+t,),内事件出现,n,次的概率为,终上所述,可用,Poisson,过程数学模型描述通信系统中误码计数问题,.,可认为,N,(,t,), t,0,是强度为,的泊松计数,过程,.,定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：,定义,3.4.2 ,设计数过程,N,(,t,),t,0,满足下述条件：,(1),N,(0)=0；,(3),对一切,0,s,t , N,(,t,),N,(,s,),P,(,(,t,s,),即,(2),N,(,t,),是独立增量过程,；,注,有,问题,若,N,(,t,),的一维分布是泊松分布,能否推出第,(3),条成立,?,EX.2,设,N,(,t,), t,0,是参数为,的泊松过程,事件,A,在,(0,),时间区间内出现,n,次，试求,:,P,N,(,s,),=k N,(,),=n,0,kn,0,s s,0,R,(,s,t,),=E,N,(,t,),N,(,s,),= E,N,(,s,),N,(,t,),N,(,s,),+ N,(,s,),= E,N,(,s,),N,(,t,),N,(,s,),+E,N,2,(,s,),=,E,N,(,s,),E,N,(,t,),N,(,s,),+E,N,2,(,s,),C,(,s,t,),=,min(,s,t,),R,(,s,t,),=,min(,s, t,)+,2,st,.,一般地有,定理：,泊松过程的特征函数为,证明：,1),令,Y,(,t,),=N,1,(,t,),N,2,(,t,),，,t,0,求,Y,(,t,),的均值函数和相关函数,.,2),证明,X,(,t,),=N,1,(,t,),+N,2,(,t,), t, 0,是强度为,1,+,2,的泊松过程,.,3),证明,Y,(,t,),=N,1,(,t,),N,2,(,t,),，,t,0,不是泊松过程,.,EX.3,设,N,1,(,t,),和,N,2,(,t,),分别,是强度为,1,和,2,的相互独立的泊松过程,2),根据泊松分布的可加性知,X,(,t,),=N,1,(,t,),+N,2,(,t,), t,0,3),X,(,t,),=N,1,(,t,),N,2,(,t,),的特征函数为,独立和的特征函数,由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性,定理知,X,(,t,),不是泊松过程,.,服从参数为,1,+,2,的泊松分布,.,自证,问题,:,如何证明,?,2.,时间间隔与等待时间的分布,t,W,1,W,2,W,3,W,4,N,(,t,),轨道是跃度为,1,的阶梯函数,用,T,n,表示事件,A,第,n,1,次出现与第,n,次出现的,时间间隔,.,W,n,为事件,A,第,n,次出现的,等待时间,(,到达时间,).,定理,3.4.2,设,T,n, n,1,是参数为,的泊松过程,N,(,t,), t,0,的时间间隔序列，,则,T,n, n,1,相互独立同服从指数分布，,且,E,T,=,1/.,证,(,1),因,T,1,t,=(0,t,),内,事件,A,不出现,P,T,1,t,=P,N,(,t,),=,0=,e,t,即,T,1,服从均值为,1,的指数分布,.,(2),由泊松过程的平稳独立增量性,有,P,T,2,t|T,1,=s,=P,在,(,s,t+s,),内事件,A,不出现,|,T,1,=s,T,1,=,s,T,2,t+s,=,P,N,(,t+s,),N,(,s,),=,0,=,P,N,(,t,),N,(0)=0,=,PN,(,t,)=0=,e,t,与,s,无关,故,T,2,与,T,1,相互独立，且,T,2,也服从均值为,1/,的指数分布,.,(3),对于一般,n,1,和,t,0,以及,r,1,，,r,2,，,，,r,n-,1,0,有,P,T,n,t |T,i,=,r,i,1,in,1,=,P,N,(,t+r,1,+,r,n,1,),N,(,r,1,+r,2,+,r,n,1,)=0,=,P,N,(,t,),N,(0)=0=,e,t,.,习题,1.,设,X(t,)=,A+Bcost, ,其中,A,和,B,为相互独立均服从,N,(0,，,1),的随机变量，,（,1,）证明,X(t,),，,为正态过程；,（,2,）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数。,2.,设,W(t,),，,t0,是参数为,的维纳过程，令,X,=,W,(2)-,W,(1),Y,=,W,(4)-,W,(2),求,: D(,X,+,Y,),和,cov(,X,Y,),。,3.,设,N,(,t,), t,0,是参数为,的泊松过程,分别求：,(1),E,N(s)N(t+s,),;,(2),0,s,t,时，,P,N(s,)=k |,N(t,)=n,;,(3),PN(t+s,)=j |,N(s,)=i,。,