苏教版数学八年级上册全册ppt课件

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学,全册优质课件,全等图形,观察下面的图形：,你有什么发现？,能完全重合的图形叫做,全等图形,.,两个图形全等，,它们的形状、大小相同,.,请举例，生活中还有哪些属于全等图形？,A,B,C,D,E,F,(1),观察下图，从中找出全等图形，与同学交流。,(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),全等图形有：,（,1,）和（,9,）、（,2,）和（,8,）、（,3,）和（,6,）。,(4),(7),(5),(10),议一议：,上图中，（,4,）和（,7,）、（,5,）和（,10,）为什么不是全等图形？,两个图形形状相同，但大小不同。,两个图形面积相同，但形状不同；,它们,不能重合,，不是全等图形,全等图形的特征是：,能够完全,重合。,形状与大小,全都相同,练一练：请判断下列哪些属于全等图形,_,（,1,）两个面积相等的等腰三角形,（,2,）两个周长相等的等腰三角形,（,3,）两个面积相等的等边三角形,（,4,）两个周长相等的等边三角形,（,5,）两个周长相等的长方形（矩形）,（,6,）两个面积相等的长方形（矩形）,（,7,）两个周长相等的圆,（,8,）两个面积相等的圆,B,A,D,C,1.8,F,E,H,G,2.7,1.,如图，四边形,ABCD,与四边形,EFGH,全等，根据图中的数据，则,CD=_,，,EH=_,E=_,90,小试牛刀,练一练,用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等图形。,练一练,我们看看下面的几种划分方法，与你的划分方法对比一下，看看自己是如何划分的。,说说这节课你学到了哪些知识？,全等三角形,这两个图形有怎样的关系？,图片欣赏,这两个图形有怎样的关系？,这两个图形有怎样的关系？,这两个图形有怎样的关系？,这两个图形有怎样的关系？,以上各组中的图形,都能完全重合，每一组图形都是全等形,.,两个完全重合的三角形叫做全等三角形。,记作：,ABC,DEF,。,新知探究,C,A,B,F,D,E,C,A,B,F,D,E,对应顶点,对应边,对应角,表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。,如：,BCA,EFD,A,D,，,B,E,，,C,F,（,全等三角形的对应角相等,）。,ABC, ,DEF,（已知），,AB,DE,，,BC,EF,，,AC,DF,（,全等三角形的对应边相等,），,A,B,C,D,E,F,3,小组内讨论交流,4,各组代表展示,操作思考,要求：,1,任意剪两个全等的三角形,2,利用这两个全等三角形组合新的图形,思考：,怎样改变,ABC,的位置，使它与,DEF,重合？,A,B,C,两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？,A,B,C,D,E,C,A,B,F,B,A,D,C,E,F,D,E,F,1,如图,ABD, ,CDB,，若,AB,4,，,AD,5,，,BD,6,， ,ABD,30,，则,BC,_,，,CD,_,，,CDB,_,A,B,D,C,尝试交流,5,4,30,拓展延伸,1.,如图，,ABC,ADE,，,C,50,，,D,45,CFA,75,，求,BAC,和,BAE,的度数,.,A,B,C,D,E,F,答案：,85,；,115,2,如图，,ABC,DEF,，,B,与,E,，,C,与,F,是对应顶点通过怎样的图形变换可以使这两个三角形重合？,旋转,课堂小结,基础知识：,从观察全等图形着手，类比归纳出全等三角形的有关概念，会用几何语言表示两个三角形全等，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角。,用运动变化的观点让学生经历平移、翻折、旋转等全等变换的过程，了解用图形变换识别全等三角形的方法。,基本思想方法：,探索三角形全等的条件,（,2,）小明想判别,ABC,与,DEF,是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等小红提出了质疑：分别检查三条边、三个角这,6,个元素固然可以，但是不是可以找到一个更好的方法呢？,问题情境：,如图，,ABC,与,DEF,、,MNP,能完全重合吗？,探索活动：,ABC,与,MNP,能完全重合,（3）按下列作法，用直尺和圆规作,ABC,，使,A,，,AB,a,，,AC,b,作法：,1,作,MAN,2,在射线,AM,、,AN,上分别,作线段,AB,a,，,AC,b,3,连接,BC,，,ABC,就是所求作的三角形,图形：,a,b,探索活动：,提炼归纳：,基本事实：,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成,“边角边”或“,SAS,”,）,几何语言：,在,ABC,和,DEF,中，,AB,DE,，,B,E,，,BC,EF,，, ,ABC,DEF,（,SAS,）,新知应用：,例,如图，,AB,=,AD,，,BAC =DAC,.,求证：,ABC,ADC,证明：在,ABC,和,ADC,中，,AB,AD,（已知）,，,BAC,DAC,（已知），,AC,AC,（公共边），,ABC,ADC,（,SAS,）,通过本节课的学习，你有什么体会？,体会小结：,探索三角形全等的条件,(2),（,1,）如图，,AB,AC,，,还需补充条件,_ _,，就可根据,“,SAS,”,证明,ABE,ACD,.,问题情境：,AD=AE,（,2,）,“,三月三，放风筝,”,如图是小东同学自己动手制作的风筝，他根据,AB,CB,，,ABD,CBD,，不用度量，就知道,AD,CD,请你用所学的知识给予说明,问题情境：,证明：在,ABD,和,CBD,中, ,ABD,CBD,（,SAS,）,AD=CD,合作探究：,A,B,D,E,C,1,2,例,1,如图，已知：点,D,、,E,在,BC,上，且,BD,CE,，,AD,AE,，,1,2,，由此你能得出哪两个三角形全等？请给出证明,ABEACD,证明：,BD,CE,BD+DE,CE+DE,即,BE=CD,在,ABE,和,ACD,中,ABEACD,（,SAS,）,例,2,已知：如图，,AB,、,CD,相交于点,E,，,且,E,是,AB,、,CD,的中点,求证：,AEC,BED,AC,DB,合作探究：,证明：,E,是,AB,、,CD,的中点,AE=BE,，,CE=DE,在,AEC,和,BED,中,AEC,BED,（,SAS,）,由得：,AEC,BED,C=D,AC,DB,例,3,已知：如图，点,E,、,F,在,CD,上，且,CE=DF,，,AE,BF,AE,BF,.,求证：,AEC,BFD,合作探究：,证明： ,AE,BF,AEC=BFD,在,AEC,和,BFD,中,CE,DF,AEC=BFD,AE,BF,.,AEC,BFD,（,SAS,）,探索三角形全等的条件（,3,）,2,判断三角形全等至少要有几个条件？,答：至少要有,三个,条件,在,ABC,与,DEF,中，,AB,DE,（已知），,B,E,（已知），,BC,EF,（已知），,ABC,DEF,（,SAS,）,回首往事,1,上节课你学会了哪种证明三角形全等的方法？,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（边角边或“,SAS,”,）,请你和小明一起画：请用圆规和直尺画,ABC,，使,AB,a,，,A,，,B,做法,：（,1,）,作,AB,a,（,2,）,在,AB,的同一侧分别作,MAB,， ,NBA,，,AM,、,BN,相交于点,C,（,4,）,ABC,就是所求作的三角形,a,（,3,）,分别连接,AB,、,AC,说一说,A,B,1,.,图中有几对全等三角形？你能找出它们，并说出理由吗？,(1),与,(6),全等；,(2),与,(4),全等；,(3),与,(5),全等,.,（已知），,（已证），,（对顶角相等），,证明：,O,是,AB,的中点（,），,AO,BO,（ ），,A,B,已知,中点的定义,AOC,BOD,在,AOC,与,BOD,中，,AOC,与,BOD,AO,BO,（,ASA,）,2,.,如图,O,是,AB,的中点，,A=,B,，,AOC,与,BOD,全等吗？为什么？,3,.,已知：如图，在,ABC,中，,D,是,BC,的中点，点,E,、,F,分别在,AB,、,AC,上，且,DE,/,AC,，,DF,/,AB,求证：,BE,DF,，,DE,CF,做一做,证明：,D,是,BC,的中点,BD=CD,DE,/,AC,，,DF,/,AB,B=CDF,，,BDE=C,BDEDCF,（,ASA,）,BE,DF,，,DE,CF,探索三角形全等的条件（,4,）,解决下面的问题：,已知：如图，,A,D,，,ACB,DBC,求证：,AB,DC,.,证明：,A,D,，,ACB,DBC,ABC=DCB,在,ABC,和,DCB,中, ,ABC,DCB,（,ASA,）,AB,DC,已知：,ABC,与,DEF,中，,A,D,，,B,E,，,BC,EF,.,求证：,ABC,DEF,证明：,A,D,，,B,E,C=F,在,ABC,和,DEF,中, ,ABC,DEF,（,ASA,）,推论：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等简称“,角角边,”,或“,AAS,”,在,ABC,与,A,B,C,中，,B,B,（已知），,C,C,（已知），,AB,A,B,（已知），,ABC,A,B,C,（,AAS,）,观察发现,1,如图,ACB,DFE,，,BC,EF,，根据“,ASA,”,应补充一个直接条件,_,，根据“,AAS,”,，那么,补充的条件为,_,，才能使,ABC,DEF,A,D,说一说,B,E,F,2,如图，,BE,CD,，,1,2,，则,AB,AC,吗？为什么？,AB=AC,，因为,ABEACD,探索三角形全等的条件（,5,）,三角形全等判定方法,1,用符号语言表达为：,在,ABC,与,DEF,中，,ABC,DEF,（,SAS,）,两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,(,可以简写成,“边角边”,或,“,SAS,”,),。,F,E,D,C,B,A,AC,DF,，,C,F,，,BC,EF,，,一、,回顾与思考,两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,(,可以简写成,“,角边角,”,或,“,ASA,”,）。,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法,2,在,ABC,与,DEF,中，,ABC,DEF,（,ASA,）,A,D,，,AB,DE,，,B,E,，,用符号语言表达为：,一、,回顾与思考,三角形全等判定方法,3,两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,(,可以简写成,“,角角边,”,或,“,AAS,”,）,.,用符号语言表达为：,在,ABC,与,DEF,中，,ABC,DEF,（,AAS,）,A,D,，,B,E,，,AC,DF,，,一、,回顾与思考,如图，已知,AD,平分,BAC,，要使,ABD,ACD,，,(1),根据“,SAS,”,需添加条件,；,(2),根据“,ASA,”,需添加条件,；,(3),根据“,AAS,”,需添加条件,。,AB,AC,BDA,CDA,B,C,一、,回顾与思考,1,如图,A,B,，,1,2,，,EA,E,B,，你能证明,AC,BD,吗,?,二、分析与讨论,证明,:,1,2,（已知），, ,1,BEC,2,BEC,，,AEC,BED,，,在,EAC,和,EBD,中，,A,B,（,已知），,EA,EB,（,已知），,AEC,BED,（,已证），,EAC,EBD,（,ASA,），,AC,BD,2,如图,点,C,、,F,在,AD,上,且,AF,DC,B,=,E,A,D,，,你能证明,AB,DE,吗,?,证明,:,AF,DC,(,已知,),，,AF,FC,DC,FC,，,AC,DF,，,在,ABC,和,DEF,中，,B,E,(,已知,),，,A,D,(,已知,),，,AC,DF,(,已证,),，,ABC,DEF,(,AAS,),，,AB,DE,二、分析与讨论,1,为了利用“,ASA,”,或,“,AAS,”定理判定两个三角形全等，有时需要先把已知中的某个条件，转变为判定三角形全等的直接条件。,三、归纳与总结,2,证明两条线段相等或两个角相等可以通过证明它们所在的两个三角形全等而得到。,四、理解与应用,例,已知：如图，点,A,、,B,、,C,、,D,在一条直线上，,EA,FB,，,EC,FD,，,EA,FB,。,求证：,AB,CD,。,证明：,EA,FB,，,EC,FD,(,已知,), ,A,FBD,，,ECA,D,，,在,EAC,和,F,BD,中，,A,FBD,(,已证,),，,ECA,D,(,已证,),，,EA,FB,(,已知,),，,EAC,F,BD,(,AAS,),AC,BD,，,即,AB,BC,CD,BC,，,AB,CD,上,面的推理过程可以用符号,“,”,简明地表述如下：,四、理解与应用,EA,FB,A,FBD,EC,FD,ECA,D,EAC,FBD,EAC,FBD,EA,FB,AC,BD,AB,BC,CD,BC,AB,CD,七、课堂小结,通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？,探索三角形全等的条件（,6,）,一、问题情境,小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到玻璃店配一块回来，请你说说小明该怎么办？,A,B,C,用直尺和圆规作,ABC,，使,AB,c,，,AC,b,BC,a,.,a,b,c,步骤：,1,作线段,AB,c,.,2,分别以点,A,、,B,为圆心，,b,、,a,的长为半径画弧，,两弧相交于点,C,.,3,连结,AC,、,BC,.,a,b,c,A,B,C,ABC,就是所求作的三角形,.,你作的三角形与其他同学作的三角形能完全重合吗？,二、自主探究,三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成,“,边边边,”,或,“,SSS,”,）,A,B,C,D,E,F,在,ABC,和,DEF,中，,ABC,DEF,（,SSS,）,AB,DE,，,BC,EF,，,CA,FD,，,二、自主探究,如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定三角形的这个性质叫做,三角形的稳定性,二、自主探究,1.,下列图形中，哪两个三角形全等？,三、知识应用,与全等；与全等,.,变式,1,：若将上题中右边的三角形向左平移（如图），,若,AB,DF,，,AC,DE,，,BE,CF,.,问：,ABC,和,DFE,全等吗？,2,如图，,C,点是线段,BF,的中点，,AB,DF,，,AC,DC,.,ABC,和,DFC,全等吗？,B,A,C,E,F,D,三、知识应用,全等,全等,变式,2,：若将上题中的三角形继续向左平移（如图），,若,AB,DC,，,AC,DB,，,问：,ABC,DCB,吗,？,B,A,C,E,F,D,三、知识应用,2,如图，,C,点是线段,BF,的中点，,AB,DF,，,AC,DC,.,ABC,和,DFC,全等吗？,全等,3.,已知：如图,在,ABC,中，,AB,AC,，,求证：,B,C,.,A,C,B,D,在,ABD,和,ACD,中,，,ABD,ACD,（,SSS,）,AB,AC,（已知）,，,BD,CD,（辅助线作法）,，,AD,AD,（公共边）,，,证明：,作,ABC,的中线,AD,B,C,（,全等三角形的对应角相等）,三、知识应用,1.,已知：如图，,AB,CD,，,AD,CB,，,求证：,B,D,.,A,B,C,D,四、尝试练习,证明：连结,AC,，,在,ABC,和,CDA,中,AB,CD,(,已知,),BC,DA,(,已知,),AC,CA,(,公共边,),ABC,CDA,(,SSS,),，,B,D .,五、课堂小结,通过这节课的学习与探索，你有哪些收获？,轴对称与轴对称图形,一：,图片欣赏,同时观察这些图片形状是怎么样的？它们有什么共同的特性？,二：学生实验,（,1,）,把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，想一想，展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？,概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两 旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴。,轴对称图形的概念,练 习,1,尽可能多地在你的周围环境中找出轴对称的物体和建筑物,.,2,观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,.,三：学生实验（,2,）,在纸上滴几滴墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称？它的对称轴是什么？,归纳,：对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么这两个图形关于这条直线,轴对称,，这条直线就是,对称轴,。两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫,对称点,。,轴对称及其特性,练习：,1,下面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？,1,2,3,4,5,2,某人在镜子里看到的数为,5801,，则实际的数为,四：观察图案，探索发现：,观察图案：轴对称图形和轴对称是不是一回事？它们有什么区别？,对称图形和轴对称的区别,轴对称图形与轴对称的区别与联系,轴对称,轴对称,图形,不同点,两个图形,一个图形,相同点,都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合,轴对称与轴对称图形的联系：,若把轴对称图形沿某条对称轴两侧的部分分别看成一个图形，那么在两侧的这两个图形就是成轴对称的两个图形（如蝴蝶的两个翅膀）；若把轴对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形就是一个轴对称图形（如两扇门看作一个图形、月亮在水中的倒影）。,五：结束部分,对称之美的遐想,这节课我们初步认识了生活中的轴对称图形。在日常生活和工业生产中，我们不断见到关于对称的图形，这些图形匀称美观，所以常常用于建筑及工艺品的装饰图案。实际上，对称的含义已经远远超过了数学的范畴，出现在自然艺术、科学乃至诗歌中。没有,“,对称,”,不一定不美，但有了,“,对称,”,生活会更美。你听，这首经典名曲,雪绒花,，不也是充满了对称美吗？！,轴对称的性质,A,如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点,A,、,点,A,，折痕记为,l,；连接,AA,，,AA,与,l,相交于点,O,你有什么发现 （小组交流）？,l,l,活动一：,A,O,OA=O A,所以 线段,OA,、,OA,重合，,因为 ,1,2,且 ,1,2,180,，,即,O,是,AA,的中点,所以 ,1,2,9,0,l,A,A,2,o,1,所以,l,垂直且平分,AA,因为 把纸沿折痕,l,折叠时，点,A,、,A,重合，,垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条,线段的垂直平分线,(,midpoint perpendicular),.,l,如图，直线,l,交线段,AB,于点,O,1,90,，,AO,BO,，,直线,l,是线段,AB,的垂直平分线,B,A,1,O,仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点,B,、点,B,，连接,AB,、,A,B,、,BB,你有什么新的发现？,A,B,l,活动二：,如图，并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线,ABC,与,A,B,C,有什么关系？,你能得出什么结论？,A,C,B,A,B,C,l,活动三：,ABC,A,B,C,1,成轴对称的两个图形全等,2,成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分,轴对称的性质：,说一说,轴对称的性质,A,A,A,D,C,B,F,E,H,G,l,例,1,小明取一张纸，用小针在纸上扎出“,4,”,，然后将纸放在镜子前,（,1,）,图中两个,“,4,”,有什么关系？,（,2,）你能画出镜子所在直线,l,的位置吗？,l,（,1,）,A,D,C,B,F,E,H,G,l,（,2,）图中点,A,、,B,、,C,、,D,的对称点分别是,，线段,AC,、,AB,的对应线段分别是,，,CD=,， ,CAB=,，,ACD=,.,E,、,G,、,F,、,H,EF,、,EG,FH,FEG,EFH,（,3,）连接,AE,、,BG,，,AE,与,BG,平行吗？为什么？,因为,A,和,E,，,B,和,G,是关于直线,l,的对称点，,A,D,C,B,F,E,H,G,l,所以,l,AE,，,l,BG,所以,AE,BG,解：（,3,）平行,（,4,）,AE,与,BG,平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？,解：（,4,）,不一定,A,D,C,B,F,E,H,G,l,如图，对称点的连线,DH,、,CF,就不互相平行，而是在同一条直线上，,从而说明,轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上,A,D,C,B,F,E,H,G,l,（,5,）延长线段,CA,、,FE,，连接,CB,、,FG,并延长，作直线,AB,、,EG,，你有什么发现吗？,轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行,小结,（,1,）,成轴对称的两个图形全等,（,2,）,如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线,1,轴对称的性质：,2,轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上,3,轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行,思考：,如图，点,A,、,B,、,C,都在方格纸的格点上，请你再找一个格点,D,，使点,A,、,B,、,C,、,D,组成一个轴对称图形,B,A,C,A,1,C,1,去掉网格线，你能找出点,C,关于直线,AB,的对应点么？,思考,A,C,C,1,点,A,关于直线,AB,的对应点有么？,B,你能画出线段,AC,关于直线,AB,的对称图形么？,如果直线,l,外有线段,AB,，那么怎样画出线段,AB,关于直线,l,的对称线段,A,B,？,A,A,l,O,B,B,l,A,B,A,B,如果直线,l,外有线段,AB,，那么怎样画出线段,AB,关于直线,l,的对称线段,A,B,？,l,A,B,A,B,如果直线,l,外有线段,AB,，那么怎样画出线段,AB,关于直线,l,的对称线段,A,B,？,画出,ABC,关于直线,MN,的对称图形,A,A,C,B,B,C,N,M,在图中，四边形,ABCD,与四边形,EFGH,关于直线,l,对称,。,连接,AC,、,BD,。,设它们相交于点,P,。,怎样找出点,P,关于,l,的对称点,Q,？,成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。,P,Q,通过本节课的学习，你有什么收获？,还有哪些疑惑？,设计轴对称图案,找出其中的轴对称图案及其对称轴,欣赏由若干块地砖铺设而成的图案，,图案欣赏：,对称的美术图案除了图形对称,以外，颜色也是对称的。,对称的美术图案除了图形对称以外，颜色也是对称的。,图中有几条对称轴？,请增加红色方格，使它有,4,条对称轴。,实验：设计轴对称图案,（,1,）制作,4,张如图所示的正方形纸片,（,2,）将制作好的,4,张纸片拼合在一起，能得到不同的图案，如果考虑颜色“对称”你能画出下面三个拼成的图形的对称轴吗？,（,3,）你还能设计出其它的图案吗？是轴对称的图案吗？请顺便画出对称轴,.,让学生开展活动，动手操作，教师对拼图有困难的学生进行适当指导和帮助，引导其顺利完成任务,.,如图，有图,1,、,3,的图案各,4,张，请分别,贴在图,2,、,4,中，使得整个图案为轴对称图案。,尝试铺设：,涂色构造：,如图，有图,5,只有,1,条对称轴。,在图,5,基础上，再对其他圆涂色而得到的 图,6,、,7,有几条对称轴？,请在图,8,中再找,2,个圆涂色，使得整个图案仍然只有,1,条对称轴；,请在图,9,中再找,3,个圆涂色，使得整个图案有,4,条对称轴；,在图,10,中，至少再找多少个圆涂色，才能使得整个图案有,2,条对称轴？,张兰的姑姑过几天就要结婚了，她想请张兰帮她剪几个,“,囍,”,字，装饰一下新房，张兰想请大家一起帮她剪，好不好？,传统文化：,第一次折叠,第二次折叠,折叠两次后的样子！,你会剪吗？,经过本节课的学习，你有哪些收获？,线段、角的,轴,对称性,在一张薄纸上画 ,AOB,，操作并思考：,它是轴对称图形吗？,为什么？,【,做一做,】,角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？,O,A,B,角是,轴对称图形,，,角平分线所在的直线,是它的对称轴,.,1.,在,AOB,的角平分线,OC,任意取一点,P,，分别作出点,P,到,OA,、,OB,的距离，对折一下，你发现了什么？,【,想一想,】,B,C,D,E,已知：如图，在,AOB,的角平分线,OC,任意取一点,P,，,PD,OA,，,PE,OB,.,求证：,PD,PE.,O,A,P,2.,像这样的点,P,还有吗？,点,P,在角平分线,OC,上，,PDOA,，,PE OB,，,PD,PE,定理,角平分线上的点到角两边的距离相等,O,A,B,C,P,D,E,下图中,PD,PE,吗？,在上面的结论中，由条件：,(1)OC,是,AOB,的平分线，点,P,在,OC,上；,(2)PDOA,，,PEOB,，才能得出,PD=PE,，两者缺一不可,O,D,E,A,B,P,C,O,D,E,A,B,P,C,还有其他间接结论吗？,【,说一说,】,O,A,B,C,P,D,E,如图，,OC,是,AOB,的平分线，,PDOA,，,PEOB,，则下列结论：,DOP=EOP,，,OPD=OPE,，,PD=PE,，,OD=OE,中，正确的有,_,角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上吗？,O,A,B,P,D,E,如图,，若点,P,在,AOB,内部，,PD,OA,，,PE,OB,，且,PD,PE,，点,P,在,AOB,的角平分线上吗？为什么？,你能得到什么结论？,【,想一想,】,PDOA,，,PE OB,，,PD,PE,，,点,P,在角平分线,AC,上,定理,角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上,O,A,B,C,P,D,E,角平分线是到角两边距离相等的点的集合,1,如图，,OC,是,AOB,的平分线，,PD,DA,于点,D,，,PD=5,，则,P,点到,OB,的距离是,_,【,做一做,】,2,如图，在,ABC,中，,B=90,，,BC=10,，,BAC,的角平分线,AD,交,BC,于点,D,，,BD,：,DC,2,：,3,，则点,D,到,AC,的距离是,_,【,做一做,】,3,如图，在,ABC,中，,AD,是,BAC,的平分线，,DEAB,，交,AB,于点,E,，交,AC,于点,F,，若,S,ABC,7,，,DE,2,，,AB,4,，则,AC,_,【,做一做,】,4,在,Rt,ABC,中，,C=90,，,BD,平分,ABC,交,AC,于点,D,，,AB,的垂直平分线分别交,AC,、,AB,于,D,、,E,两点且,DE,1cm,，,BD,2cm,则,AC,的长为,_cm,【,做一做,】,已知,AOB,和,C,、,D,两点，请在图中标出一点,E,，使得点,E,到,OA,、,OB,的距离相等，而且,E,点到,C,、,D,的距离也相等。,O,B,A,C,D,E,做一做,思考：,已知：在,ABC,中，,D,是,ABC,平分线上一点,E,、,F,分别在,AB,、,AC,上，且,DE=DF.,试判断,BED,与,BFD,的关系，并说明理由,.,F,B,A,C,D,E,M,N,已知：在,ABC,中，,D,是,ABC,平分线上一点,E,、,F,分别在,AB,、,AC,上，且,DE=DF.,试判断,BED,与,BFD,的关系，并说明理由,.,变式：,F,B,A,C,D,M,N,E,说说你本节课你有什么收获？,【,课堂小结,】,等腰三角形的轴对称性,【,情境引入,】,1,.,观察图中的等腰三角形,ABC,，分别说出它们的腰、底边、顶角和底角,.,【,情境引入,】,2,.,把该等腰三角形沿顶角平分线折叠，你有什么发现？,A,B,C,A,D,B,（,C,）,A,B,C,D,【,探究活动,】,问题一：,等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,问题二：,找出等腰三角形,ABC,对折后重合的线段和角,.,问题三：,由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想,.,【,探究活动,】,学生分组讨论，交流结果,问题一：等腰三角形是轴对称图形,.,等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的对称轴,.,【,探究活动,】,学生分组讨论，交流结果,.,问题二：,重合的线段,重合的角,AB,AC,B,C,B,D,CD,BAD,CAD,A,D,AD,ADB,ADC,【,探究活动,】,学生分组讨论，交流结果,.,问题三：等腰三角形是轴对称图形,.,等腰三角形的顶角平分线（底边上的高、中线）所在直线是它的对称轴,.,等腰三角形的两个底角相等,.,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,.,【,归纳总结,】,我们有如下定理：,等腰三角形的两底角相等,.,等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合,.,思考：如何证明这个定理？,如何构造两个全等的三角形,?,【,定理证明,】,思考：如何证明这个定理？,作顶角的平分线，用,“,SAS”,证明,.,A,B,C,则有,1,2,，,D,1,2,在,ABD,和,ACD,中，,证明,：,作顶角的平分线,AD,，,AB,AC,，,1,2,，,AD,AD,（公共边），,ABD,ACD,（,SAS,），,B,C,（全等三角形对应角相等）,【,定理证明,】,【,定理证明,】,思考：你还可用什么方法证明上述定理？,也可作底边上的高，用“,HL,”,证明,.,作底边上的中线，用“,SSS,”,证明,.,【,操作尝试,】,按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形,ABC,，使,底边,BC,a,高,AD,h,.,【,课堂小结,】,本节课你的收获是什么？,等腰三角形的轴对称性（,2,）,A,B,C,1,等边对等角,复习：,等腰三角形有哪些性质呢？,2,顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一,问题：,如右图所示,ABC,是,等腰三角形，,AB,AC,，倘若一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边,BC,和一个底角,C,同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形,ABC,重新画出来？大家试试看,B,C,方法一,：用角的相等来画,.,B,C,A,方法二,：用过一边中点作垂线的方法来画,.,B,C,A,情境引入,手 推 门,探索发现一,请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：,1,在半透明纸上画一条长为,6cm,的线段,BC,2,以,BC,为始边，分别以点,B,和点,C,为顶点，用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为,A,3,用刻度尺找出,BC,的中点,D,，连接,AD,，然后沿,AD,对折,问题：,AB,与,AC,是否重合？,重合,B,C,A,D,.,在,BAT,和,CAT,中，,1,2,(,角平分线定义,),，,B,C,(,已知,),，,AT,AT,(,公共边,),，,BAT,CAT,(AAS,),，,AB,AC,(,全等三角形对应边相等,),已知：在,ABC,中，,B,C,求证：,AB,AC,证明：（,1,）,作,A,的平分线交,BC,于,T,A,B,C,T,（,2,）,过,A,点作,AD,BC,，,垂足为,D,A,B,C,D,AD,BC,，,ADB,ADC,，,在,ADB,和,ADC,中，,ADB,ADC,，,B,C,，,AD,AD,，,ADB,ADC,，,AB,AC,思考：,通过这题的证明你发现了什么结论？,1,2,符号语言,图形,如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角,所对的边也相等,(,简称,“,等角对等边,”,),发现,B,C,AB,AC,(,等角对等边,),规范,A,B,C,请思考：,“,等边对等角,”与“,等角对等边,”,是否一样？它们的主要区别在哪里？,（,它们的条件与结论正好调换了位置,）,回头一看，我想说,学会分享,通过本节课的学习：,（,1,）你有哪些收获？,（,2,）你还有什么疑惑？,等腰三角形的轴对称性（,3,）,问题：,等腰三角形有哪些性质？,等边对等角，三线合一，轴对称形等等,1,.,已知：如图，,EAC,是,ABC,的外角，,AD,平分,EAC,，,AD,BC,求证：,AB,AC,证明：,AD,平分,EAC,EAD=CAD, AD,BC,EAD=B,，,C=CAD,又,EAD=CAD,B=C,AB,AC,如图，如果,AB,AC,，,AD,BC,，那么,AD,平,分,EAC,吗？试证明你的结论,思考：,证明：,AB,AC,B=C, AD,BC,EAD=B,，,C=CAD,EAD=CAD,即,AD,平分,EAC,如图，如果,AB,AC,，,AD,平分,EAC,，,那么,AD,BC,吗？,思考：,证明：,AD,平分,EAC,EAC=2CAD,AB,AC,B=C,又,EAC=C+B,EAC=2C,C=CAD,AD,BC,你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？,活动一 操作,观察,1,任意剪出一张直角三角形纸片（如图,1,）,2,剪得的纸片是否能折成图,2,的形状？,3,ACD,与,BCD,为什么是等腰三角形？请说明理由,活动一 操作,观察,图,1,图,2,图,3,你还有其他发现吗？,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,在,ABC,中，,ACB,90,，,点,D,是,AB,的中点，,CD,AB,活动二 探索,说理,（,1,）,Rt,ABC,中，如果斜边,AB,为,4,cm,，那么斜边上的中线,CD,_,cm,练习：,（,2,）如图，在,Rt,ABC,中，,CD,是斜边,AB,上的中线，,DE,AC,，,垂足为,E,如果,CD,2.4,cm,，那么,AB,cm,写出图中相等的线段和角,2,4.8,CD=BD=AD,，,ACB,=,DEA,=,DEC=,90,CE=AE,，,A,=,ACD,，,B=BCD,，,练习：,（,3,）在,Rt,ABC,中，,ACB,90,，,CA,CB,，如果,斜边,AB,5cm,，那么斜边上的高,CD,cm,2.5,1,如图，,Rt,ABC,，,ACB,90,，如果,A,30,，那么,BC,与,AB,有怎样的数量关系？,试证明你的结论,例题：,解：,BC,AB,证明：作斜边上的中线,CD,，,ACB,90,，,A,30,，,B,60,ACB,90,，,CD,是斜边上的中线，,BCD,是等边三角形（有一个角是,60,的等腰三角形是等边三角形）,（直角三角形斜边,上的中线等于斜边的一半）,本节课你有哪些收获？,交流：,勾股定理,探 究 新 知,活动,1,知识准备,直角三角形中的两个锐角的大小关系是,_,；,直角三角形中的斜边、直角边的长度关系是,_,互余,斜边大于直角边,活动,2,教材导学,发现勾股定理,(1),观察课本的邮票图案，我们一起来数一数图案中各正方形内小方格的个数：左上方的正方形内小方格的个数为,16,，右上方的正方形内小方格的个数为,9,，最下面正方形内小方格的个数为,25,，发现,16,9,25,，猜想它们之间的关系是,_,；,(2),计算课本图中的三个格点正方形的面积，它们之间的数量关系是,_,；,两个小正方形小方格的个数之和等于大正方形小方格的个数,两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积,(3),在教材的网格中任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，所作的三个正方形面积之间的数量关系是,_,_,；,(4),通过上面的操作，写出你发现的直角三角形三边的数量关系是,_,两个小正方形,的面积之和等于大正方形的面积,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,新 知 梳 理,知识点一勾股定理,平方和,平方,知识点二运用勾股定理求边长,注意,只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角三角形中均不适用,重难互动探究,探究问题一利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三,角形的边长,例,1,在,Rt,ABC,中，,C,90,，,A,，,B,，,C,所对的边分别为,a,，,b,，,c,.,(1),若,c,15,，,b,12,，求,a,；,(2),若,a,11,，,b,60,，求,c,；,(3),若,a,b,34,，,c,10,，求,a,，,b,.,归纳总结,在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可以求出第三边；若已知一边及另两边的关系，一般利用勾股定理列方程,(,思想,),来求出其余两边长,例,2,如图，,64,、,400,分别为所在正方形的面积，则图中字母,A,所代表的正方形面积是,_,336,解析,由图可以知道，分别以这三个正方形一边为三角形的边，围成的三角形恰好是直角三角形，因此它们的三边满足勾股定理，也就是说以直角边为边的两个正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积，则图中字母,A,所代表的正方形面积为,400,64,336.,归纳总结,勾股定理不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且揭示了以直角三角形的两直角边为边的两个正方形的面积和与以斜边为边的正方形面积之间的关系,探究问题二综合利用勾股定理求多个直角三角形的相关边长,例,3,勾股定理运用拓展题,一个零件的形状如图所示，已知,A,CBD,90,，,AC,3 cm,，,AB,4 cm,，,BD,12 cm,，求,CD,的长,解析,在,Rt,ABC,中，运用勾股定理求出,BC,的长，再在,Rt,BCD,中运用勾股定理求出,CD,的长,归纳总结,有公共边的多个直角三角形的相关边长的求值：在有的图形中，直角三角形的个数不止一个，且它们之间往往有公共边，公共边或是直角边，或是斜边，在不同的直角三角形中可以转换“角色”，以便于求出