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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,基本概念,一、常微分方程与偏微分方程,二、微分方程的阶,三、线性与非线性微分方程,四、微分方程的解,1.,显式解与隐式解,2.,通解与特解,一、常微分方程与偏微分方程,定义,1:,把联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的,关系式称为微分方程,.,例,1,：,下列关系式都是微分方程,附注,1,：,一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含,.,如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如,就不是微分方程,.,实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程,.,附注,2,：,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为,常微分方程,，如上面例,1,中,就是常微分方程；,如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为,偏微分方程,，如上面例,1,中,就是偏微分方程,.,本课程主要研究常微分方程,.,同时把常微分方程简称为微分方程或方程,.,二、微分方程的阶,定义,2,：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称 为微分方程的阶数,.,在上面例,1,中,是一阶微分方程；,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程,.,例如上面例,1,中,是线性微分方程，,是非线性微分方程,.,.,而,线性,线性,非线性,非线性,非线性,微分方程：,含有未知函数的导数或微分的等式,常微分方程,(ode):,只含一个自变量的微分方程,偏微分方程,(,pde,):,含两个或两个以上自变量的微分方程,方程的阶数,:,方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,分类,n,阶常微分方程的一般形式：,n,阶线性常微分方程：,都是已知函数,小结：,是解,方程的解,(,隐式解,P17,）,如果,则称 是方程,的一个解,如：,方程的通解,(,隐式通解,P18,）,（,1,）,有,n,个任意常数,是（,1,）的 解,是独立的,则称,是方程（,1,）,的通解,，如果,对方程,n,个任意独立常数（参见,P23,）,例,是通解,是解,含有两个任意常数,两个任意常数独立,例：,求一个平面曲线，使其向径与切线正交，并且,经过点,(0,1),解：,设所求的曲线为,y=y(x).,在曲线上任取一点,(x,y(x).,过这一点的切线斜率为,而向径的斜率为,y/x,因此,定解条件,从前面的例子可以看到，一个微分方程有无穷多个解，但在实际问题中，我们需要寻找方程满足,某种条件的解，这种条件就叫做,定解条件,定解条件有两种，一种是初始条件，另一种是边界条件。,这两种定解条件都是源于物理等科学的,需要。相应有问题称为初值问题和边值问题。,我们,主要涉及初始条件,。对于,n,阶方程,:,初始条件的一般形式为,:,这里,是已知的,n+1,个常数,.,它们由实际问题来决定。我们把满足初始条件的解称为,初值问题的解（又称方程的特解）。,例,初始条件：,注：初值问题又称为,Cauch,问题,已知通解：,解：从通解中求初值问题的解,利用初始条件,把,y,(0)=0,代入：,得,又因,代入 得,微分方程的几何解释,设 是一个解，在,xy,平面上的图形叫一条积分曲线。根据初始条件，在,xy,平面作点,把这个点叫做初始点，一个解满足初始条件，从几何上看，就是有一条积分曲线过初始点。,考虑：,设 是一个解,则,在,积分曲线上任取一点，过这一点的切线斜率为,反之，如果一条曲线上任一点的切线斜率为函数,f,在这一点的值，则此曲线为积分曲线。,方向场,(field of directions),设,f(x,y),的定义域为,D,过,D,的每一点画一小线段， 其斜率等于,f(x,y,),我们把这种图形就叫做由方程所规定的,方向场,。,在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为,等斜线,(,isocline,),注,1,：,求微分方程 经过点 的曲线，就是在,D,内求一条经,过 的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相,吻合。,注,2,：,微分方程 的等斜线方程为,= ,其中 是参数。,给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以,近似地作出微分方程 的积分曲线。当然，要想更精确地作出,积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。,方向场,例如：,方向场,等斜线,极值点与拐点曲线,解曲线,解曲线,图例,又如：方程,确定的方向场及由此作出的方程的部分解如下,小结,本节我们介绍了常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、定解条件、初值问题、积分曲线、方向场、等斜线等概念。重点分析了通解的定义，指出,通解不一定包含方程的全部解，不是任何一个方程都有通解。,对任意常数的独立性作了特别说明。介绍了微分方程的几何解释及如何利用方向场近似画出积分曲线的分布草图。本节的有关概念是后面学习的基础，请重点理解和掌握。,复习与思考,1,微分方程的解是否连续？是否可导,?,2,微分方程的解的定义区间是否可以是一个点？,3.,函数,中任意常数,是否独立？,答案：,1,由定义微分方程的解可导，从而必连续,2,不可，否则函数不可导，故不是解,3,不独立，因为这两个常数可以合成一个常数，,其中,作业：,P16 T4,
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