第七章-层流边界层的流动与换热课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高等传热学内容,?,第一章,导热理论和导热微分方程,?,第二章,稳态导热,?,第三章,非稳态导热,?,第四章,凝固和熔化时的导热,?,第五章,导热问题的数值解,?,第六章,对流换热基本方程,?,第七章,层流边界层的流动与换热,?,第八章,槽道内层流流动与换热,?,第九章,湍流流动与换热,?,第十章,自然对流,?,第十一章,热辐射基础,?,第十二章,辐射换热计算,?,第十三章,复合换热,第七章,层流边界层的流动与换热,?,上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换,热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这,些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个,别的问题采用经典方法得到了分析解。,?,本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基,于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了,数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法,相,似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积,分方程的方法进行介绍。,7-1,对流换热中的根本问题,?,工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图,7-1,所示，流体以均匀的速度,u,和温度,T,流过温度为,T,c,的,平板。这种换热表面可以是建筑围护结构、电于器件,冷却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中,需要了解以下两个问题：,?,(1),介质中平板的受力情况。,?,(2),平板与介质的换热情况。,?,对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力,(,压力损失,),，,也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力,学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二,个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率，,这是传热学的根本问题。,7-1,对流换热中的根本问题,图,7-1,沿平板流动的边界层速度和温度分别,7-1,对流换热中的根本问题,?,可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速,度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。,?,以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第六章中,的基本方程得到：,0,u,v,x,y,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,(,),u,u,p,u,u,u,v,x,y,x,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,(,),v,v,p,v,v,u,v,x,y,x,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,(,),T,T,T,T,u,v,a,x,y,x,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,边界条件为：,?,壁面处,?,u = 0,，非滑移界面,?,v = 0,，无渗透表面,?,T = T,c,，常壁温,?,远离壁面处,?,u,U,，均匀流,?,v = 0,，均匀流,?,T = T,，均匀温度,?,求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘,性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以,得到壁面处的热流密度。,7-1,对流换热中的根本问题,?,上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方,程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。,1904,年，普朗,特提出的边界层理论大大简化了纳维,-,斯托克斯方程，使许多工程,间题得到了有效的解决。,?,7-2-1,速度边界层,?,通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用，,在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速,度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的,区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响，,此薄层称为速度边界层，如图,7-2,所示。,7-2,边界层分析,7-2,边界层分析,图,7-2,外掠平板的速度边界层,?,通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的,99,处，即,u =,0.99U,，,U,表示主流速度。在,y,以外区域，粘性的影响由于速度,梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为,两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂,直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切,应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度,已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界,层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽,略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边,界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影,响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理,想化概念。,?,边界层的另一重要特点是其厚度,远远小于平壁的长度,L,，即占,L,。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分,析中不难得到此结论。,?,此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些,在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。,7-2,边界层分析,?,7-2-2,温度边界层,?,与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁,面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区,域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边,界层。热边界层厚度用,t,表示，如图,7-3,所示，通常规定其边界在,垂直于流动方向流体温差,t,t,等于,0.99(t,t,w,),处，,t,表示主流温,度，,t,w,表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外,部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处,理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层,厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的,热物性。,7-2,边界层分析,7-2,边界层分析,图,7-3,外掠平板的温度边界层,?,7-2-3,边界层微分方程组,?,在主流区,?,(7-2-1),?,用,表示速度,u,由壁面处的,u= 0,变化到接近主流速度,U,的距离的数,量级。在边界层区域，可以得到如下数量级关系：,?,x,L,，,y,，,u,U,(7-2-2),?,在包含边界层的,L,区域，考虑连续性方程,?,(7-2-3),?,可知,(7-2-4),7-2,边界层分析,0,v,p,p,t,t,?,?,?,?,?,u=U,0,u,v,x,y,?,?,?,?,?,?,U,V,L,?,?,?,U,V,L,?,?,?,?,考虑边界层内,x,方向的动量方程,?,在上式中，惯性力项均为,，不能忽略任一项。但在边界层区,域，, ,，则速度边界层,外的速度,u,等于主流速度,U,，得到该区域的速度,。,将其带入方程,(7-2-24),，不难发现对流项主要由第一项控制，即,?,(7-2-25),?,进一步可以得到,?,(7-2-26),2,t,t,t,t,t,u,v,a,L,?,?,?,?,?,v,U,L,?,?,2,t,t,U,t,L,a,?,?,?,?,1,2,1,2,1,2,Pr,Re,t,L,Pe,L,?,?,?,?,7-2,边界层分析,?,其中,是贝克来数。比较式,(7-2-20 ),和式,(7-2-26),可以,发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特,数，即,?,(7-2-27),?,低普朗特数,(Pr1 ),下的对流换热表面传热系数可以表示为,?,，,Pr 1 (7-2-33),?,，,Pr1 (7-2-34),?,在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，,Re,反映的是一个几,何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值,见式,(7-2 -,20 ),。,1,3,1,2,Pr,Re,t,L,L,?,?,?,1,3,Pr,1,t,?,?,?,?,1,3,1,2,Pr,Re,L,h,L,?,1,3,1,2,Pr,Re,L,Nu,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,7-3-1,外掠平板层流边界层流动和换热的相似解,?,1.,布劳修斯解,?,上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过,不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相,似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常,微分方程。,1908,年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标，,求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图,7-4,所示，,边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的,u,= U,。尽管边界层内速度分布不相似，但不同,x,处的速度变化范围,是相同的,即速度分布被伸展。,7-2,边界层分析,图,7-4,平壁上的速度边界层,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,引入无量纲速度,和相似变量,：,?,( 7-3-1 ),?,相似变量,与坐标,y,成正比，比例系数与,x,有关。令,?,(7-3-2),?,可见，边界层内不同,x,处,与,的关系是相同的，对于,的无,量纲速度分布亦是相同的。,?,将速度用流函数,表示：,?,(7-3-3),?,则,(7-3-4),u,U,?,(,),u,U,?,?,?,?,1,2,Re,(,),x,U,y,y,y,x,x,vx,?,?,?,?,?,?,u,U,?,u,v,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,u,U,U,y,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,引入前面定义的相似变量,，得到,?,(7-3-5),?,令,，称无量纲流函数，则有了,?,(7-3-6),?,考虑常物性不可压流体流过平板的二维稳态边界层的连续性方程,(7-1-1),和动量方程,(7-2-14),：,?,(1),?,(2),(,),u,U,U,vx,?,?,?,?,?,?,?,f,U,vx,?,?,?,1,2,(,),(,),U,vx,f,?,?,?,?,0,u,v,x,y,?,?,?,?,?,?,2,2,u,v,u,u,v,v,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,对应的边界条件是,?,y = 0, u = v = 0 (7-3-7),?,y , u U,(7-3-8),?,应用流函数，连续性方程得到满足,动量方程的形式为,?,(7-3-9),?,对应的边界条件是,?,y=0,=0, (7-3-10),?,y, (7,-3-11),2,2,3,2,3,v,y,x,y,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,y,?,?,?,?,y,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,将式,(7-3-6),代人式,(7-3-9),(7-3-11),，可以得到相似变换后的常微,分方程，并简化为,?,(7-3-12),?,边界条件,?,(7-3-13),?,(7-3-14),?,方程,(7-3-12 ),称为布劳修斯方程。,?,布劳修斯采用泰勒级数展开的方法求解了这个非线性方程。将,f(,),取,的泰勒级数得,?,(7-3-15),?,上式取导数得,?,(7-3-16),2,0,f,ff,?,?,0,0,f,f,?,?,?,?,1,f,?,?,?,?,2,3,3,2,0,1,(,),2!,3!,c,c,f,c,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,3,2,1,2,(,),2!,3!,c,c,f,c,?,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,由边界条件可得，,。进一步求出,和,，将所得,结果代入方程,(7-3-12 ),，得到,?,(7-3-17),?,为保证,在,0,范围内上式均成立，则常数项和相似变量前的系,数必须为零，即,和,?,所有不为零的系数,等均可表示成,c,2,的关联式。于是得,到,?,(7 -3 -18),0,1,0,0,c,c,?,?,f,f,2,2,5,2,3,4,2,2,2,(,),2!,2!,c,c,c,c,?,?,?,?,?,?,?,3,4,0,0,c,c,?,?,2,5,2,2,0,2!,2!,c,c,?,?,2,2,5,2,c,c,?,?,2,5,8,11,c,c,c,c,2,2,2,5,8,2,2,2,11,1,1,(,),2!,2,5!,4,8!,c,c,c,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,由,时,，得,，等等。赛比西,(Cebeci ),等采用龙格,-,库塔法求解了同样问题，霍沃思,(Howarth),给,出了更高精度的数值解，表,7-l,是其部分结果。,?,由表,7-1,可知，,=5.0,时,，通常边界层外缘处速,度取，即,?,(7-3-19),?,(7-3-20),?,?,?,1,f,?,2,5,0.332,0.055,c,c,?,?,?,0.99155,u,f,U,?,?,?,5.0,vx,U,?,?,?,1,2,5.0,Re,x,x,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,获得速度分布后，可以进一步得到壁面处的粘性剪应力,w,：,?,(7-3-21),?,由表,7-1,知，,，故,?,(7-3-22),?,引入局部摩擦系数,?,(7-3-23),?,对应于整个平板长度,L,的平均摩擦系数为,?,(7-3-24),3,2,0,0,2,(,),(,),(0),w,y,y,U,u,f,y,y,vx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(0),0.332,f,?,3,2,0.332,0.332,Re,w,x,U,U,x,?,?,?,?,?,?,?,1,2,2,0.664Re,1,2,w,f,x,C,U,?,?,?,?,?,?,1,2,0,1,1.328Re,L,f,m,f,L,C,C,dx,L,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,2.,波尔豪森解,?,常物性流体以均匀流速,U,和均匀温度,t,外掠平壁，平壁壁面温度,为,t,w,，流体与壁面间的换热使得在壁面上形成温度边界层。根据,前面的边界层分析，对于忽略粘性耗散的常物性不可压缩流体的,二维稳态流动，其边界层能量方程即式,( 7-3-20 ),为,?,y = 0, t = t,w,(7-3-25),?,y, t = t,w,(7-3-26),?,引入无量纲温度,?,(7-3-27),?,上述边界层能量方程变为,?,(7-3-28),2,2,t,t,t,u,v,a,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,w,w,t,t,t,t,?,?,?,?,?,2,2,u,v,a,x,y,y,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,与动量方程相似解方法类似，引入相似变量,有,?,(7-3-29),?,(7-3-30),?,(7-3-31),1,2,Re,(,),x,U,y,y,y,x,x,vx,?,?,?,?,?,?,1,1,1,(,)(,),(,),2,2,U,y,vx,x,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,(,),U,y,y,vx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,(,),U,y,vx,?,?,?,?,?,?,?,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,将式,(7-3-29),(7-3-31),和流函数表示的速度代入边界层能量方程,(7-3-28),，可以得到,?,(7-3-32),?,相应的边界条件是,?,(7-3-33),?,波尔豪森首先得到了上述常微分方程的解。采用分离变量积分方,法，由式,(7-3-32 ),可得,?,(7-3-34),?,进一步积分得,?,(7-3-35),1,Pr,0,2,f,?,?,?,?,0,0,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,和,0,Pr,(,),(0)exp,(,),2,f,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,Pr,(,),2,f,d,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,（,）,=,（,0,）,exp,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,由边界条件式,(7-3-33),得,?,(7-3-36),?,显然，局部对流表面传热系数为,?,(7-3-37),?,因此,?,(7-3-38),?,式,(7-3-36),已表明,是,Pr,数的函数，波尔豪森给出了一系列,的数值。表,7-2,给出了不同,Pr,数时外掠平壁的,的数值。可以,发现，在,Pr = 0.6,15,的范围内，,可以十分精确地用,表示，即得,1,0,Pr,(,),2,f,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,0,（,0,）,=,exp,-,1,2,Re,x,x,h,x,?,?,?,（,0,）,1,2,Re,x,?,?,x,Nu,（,0,）,?,（,0,）,?,（,0,）,?,（,0,）,?,（,0,）,1,3,0.332Pr,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,7-3,层流边界层流动和换热的相似解,?,(7-3-38),?,对于,Pr 0.6,的低普朗数流体，其导热性能很好，前面边界层分析,已说明，当,时，,与前面推导的基本假设不一致，因而式,(7-5-16 ),、,(7-5-17 ),不适用,于低,Pr,数的液态金属。然而，对于,Pr = 0.5,1,范围内的介质，,时可得,t,。,x,0,= 0,时，积分方程的解与相似解十分,接近，因而前面的公式也可用于气体。,?,由牛顿冷却公式可得壁面处的对流换热表面传热系数,?,(7-5-18),?,则局部,Nu,数为,?,(7-5-19),?,若无初始加热段，,x,0,=0,，则与精确解完全一致。,3,3,(,),2,2,w,w,t,q,h,t,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,3,1,2,1,3,0,0.332Re,Pr,1,x,x,hx,Nu,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,4,（,）,0,0,1,x,x,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,7-5-2 Pr 1,的边界层能量方程的近似解,?,若流体的,Pr 1,，则其温度边界层的厚度,t,，远大于速度边界层厚,度,。温度边界层的速度分布将分为两部分：在速度边界层内，与,前面假设的三次方多项式相同；在速度边界层外、温度边界层内，,即,y,t,，根据边界层的定义，速度为主流速度，,u,U,，而温,度边界层内的温度分布为,?,(7-5-20),?,将速度分布和温度分布代人能量积分方程式，得,?,(7-5-21),?,简化得到,?,(7-5-22),3,3,1,(,),2,w,t,t,t,t,y,y,t,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,3,3,3,0,3,1,3,3,3,(,),(,),1,(,),(,),1,(,),2,2,2,2,2,t,w,w,w,t,t,t,t,t,t,t,d,y,y,y,y,d,y,y,U,t,t,dy,U,t,t,dy,a,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,4,3,1,2,1,1,1,3,(1,),8,5,35,2,d,a,dx,U,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,因,，代入上式有,?,(7-5-23),?,因流体的,Pr1,，,1/,1,，可以近似简化为,?,(7-5-24),?,(7-5-25),?,进一步可得局部数为,?,(7-5-26),?,与精确解相差,5,左右。,140,13,d,dx,U,?,?,?,?,?,2,2,4,1,2,1,1,1,1,(1,),5,35,2.69Pr,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1,2.69,Pr,?,?,1,2,1,Pr,1.64,t,?,?,?,?,?,?,1,2,1,3,0.531Re,Pr,x,Nu,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,7-5-3 U,任意变化的边界层积分方程的近似解,?,1.,动量积分方程式,?,把边界层位移厚度和动量厚度,?,代入动量积分方程，得到,?,(7-5-27),0,0,0,(,),(,),y,dU,d,du,u,U,u,dy,U,u,dy,dx,dx,dy,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,2,0,(1,),(1,),u,dy,U,u,u,dy,U,U,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,w,d,dU,U,U,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,两侧同乘以,，得到,?,(7-5-28),?,定义边界层剪切厚度,?,(7-5-29),?,取无量纲形状参数,，,，代入式,( 7-5-29 ),，有,?,(7-5-30),2,U,?,?,?,2,2,2,1,2,2,2,2(2,),w,U,d,dU,dx,U,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,0,w,y,U,U,du,dy,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,H,?,?,?,2,4,T,?,?,?,2,2,2,2,(,),2,2(2,),d,dU,U,T,H,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,其中除物性参数,外其它参数,U,、,2,和,H,、,T,均与坐标,x,有关，因,而可以将影响归属于一个当地参数,?,(7-5-31),?,边界层内速度分布取为,?,(7-5-32a),?,其中,?,根据以上速度分布，可以求出边界层厚度,1,、,2,和,4,以及,H,、,T,和,w,，并都是,的函数。式,(7-5-30),的左端可以表示为,?,(7-5-32b),2,2,(,),dU,x,dx,?,?,?,?,?,(,),(,),u,F,G,U,?,?,?,?,?,?,2,4,3,1,(,),2,2,(,),(1,),6,y,F,G,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,(,),(,),(,),d,dU,U,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,对于楔状流,(U,cx,m,),，速度分布的解前面已经给出。许多研究者,指出，楔状流的积分方程解与精确解十分接近。塞邦,(Sebang ),建,议可以用直线表示,(,),函数，即,?,(7-5-33),?,其中,a = 0.44,，,b = 5.68,。,?,将式,(7-5-33 ),代入式,(7-5-32 ),，得,?,(7-5-34),?,(7-5-35),?,?,?,（,）,=ab,2,2,1,2,(,),b,d,U,a,U,dx,?,?,?,?,?,?,0.5,4.84,1,2,2,2.84,0,0.664,(,),x,U,dx,U,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,2.,能量积分方程式,?,二维层流无喷注的能量积分方程可以写为,?,(7-5-36),?,考虑换热厚度的定义，有,?,(7-5-37),?,式,(7-5-36 ),两侧同乘以,，得到,?,(7-5-38),2,2,(,),w,p,w,p,q,d,dU,c,U,t,t,dx,U,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4,(,),w,p,w,p,q,h,c,U,t,t,U,?,?,?,?,?,?,4,U,?,?,?,4,4,2,4,1,Pr,U,d,dU,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7-5,层流边界层积分方程的近似解,?,引入边界层内三次方温度分布和速度分布，经整理可以得到与动,量方程类似的描述：,?,(7-5-39),?,对于,Pr = 0.7,的情况，可以用直线来近似，建议的直线方程为,?,(7-5-40),?,积分上式，经整理得,(Pr = 0.7),?,(7-5-41),?,(7-5-42),2,2,4,4,(,),(,Pr),d,dU,U,f,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,2,2,4,4,11.68,2.87,U,d,dU,dx,dx,?,?,?,?,?,?,?,?,2,1.87,2.87,4,0,11.68,x,U,dx,U,?,?,?,?,?,?,1,2,0.435,2,1.87,0.5,4,0,0.418,(,),x,U,h,St,U,U,dx,?,?,?,?,?,