流体流动的守恒原理-6

4.1,概述,(,雷诺输运定理,),4.2,质量守恒方程,4.3,动量守恒方程,4.4,动量矩守恒方程,4.5,能量守恒方程,第四章 流体流动的守恒原理,本章任务：流体运动的三大控制方程,连续性方程、动量方程、能量方程,(,积分式,),及其应用。,4.1,概述,(,雷诺输运定理,),4.1.1,系统与控制体,I,III,II,t+t,时刻系统的边界,流线,固定的控制体,t,时刻系统边界,系统：,由确定不变的物质组成的集合。系统与外界之间通过,(,可变形的,),系统边界可发生能量交换，但不发生质量交换。,-,拉格朗日体系,控制体：,根据需要所选取的具有确定的位置、体积、形状的流场空间。控制体边界处可有质量和能量交换。,-,欧拉体系,Reynolds Transport Theorem (RTT),控制体：,蓝线,内区域,系统：,t,时蓝线,t+t,时黑线,t,时刻系统与控制体重合,控制体：细虚线内区域,系统：粗,黑实线内区域,t,时刻系统与控制体重合,注意：,控制体的,几何空间,并非绝对固定不动，,而只是,相对于观察者固定不变,。,控制体,运动的控制体,热力学参数包括：,尺度量：,与物质的数量有关的量，或称是与质量成正比的量。具有基于物质数量的可加性。例如：系统的总质量、一定空间内的分子数、动量、内能等；,强度量：,与物质的数量无关、在,“,点,”,上定义的量，没有基于物质数量的可加性。例如压力、温度等。,为了分析流体物理量的变化特性，需要对一定系统或控制体内的尺度量及其变化过程进行考察。,但,由于流体系统边界的变化,，第,2,章已经提到,流体力学分析中采用欧拉分析体系比采用拉格朗日分析体系更方便,。,因此需要建立流体系统与流体控制体之间的物理量（主要是尺度量）的关系。为此引入了雷诺输运定理。,4.1.2,输运公式（雷诺输运定理）,设,表示单位质量流体具有的物理量，那么系统内的物理总量为：,则,雷诺输运定理,表述为：,控制体内物理总量的时间变化率,控制面流出的物理总量的净流量,系统中物理总量的时间变化率,雷诺输运定理：,单位时间内系统物理量的变化等于控制体内物理量的时间变化率与从控制面流出物理量的净流量之和。,此定理将拉格朗日体系下系统内物理量变化与欧拉体系下控制体内物理量变化联系起来。,系统,2,系统,1,t,t+,t,z,x,y,控制体,S,2,S,1,1,2,3,控制体内质量变化率；,流入控制体的质量；,流出控制体的质量,t,时刻,:,系统空间为,I,II,，系统边界与,控制体边界重合,.,系统质量为：,t,t,时刻：,系统质量为：,系统质量随时间的变化率：,雷诺输运定理,的简单验看,-,并非严格证明,系统,2,系统,1,t,t+,t,z,x,y,控制体,S,2,S,1,系统移动到一个新空间，,系统空间为,II,III,，控制体为,I,II,.,加上再减去,以上是以质量为例，对动量、能量等尺度量，雷诺输运定理均成立,4.2.1,控制面上的质量流量,4.2,质量守恒方程,流场中的控制体,通过微元面和曲面的质量流：,4.2.2,控制体质量守恒方程（连续性方程的积分形式）,:,单位面积的质量流、质量通量,n,表示控制体表面的单位外法矢。连续性方程表明：控制体内总质量随时间的减少率等于流出控制体的,净,质量流量。,根据质量守恒定理：,系统,的流体质量不随时间变化，所以：,对于稳定流，流进控制体的质量流量等于流出的质量流量,定常流,对于不可压流，流进控制体的体积流量等于流出的体积流量,不可压缩流动,V,3,n,3,n,2,V,2,n,1,V,1,一维管流,流管内的不可压流,流管内的稳定流,x,扩张管,x,收敛管,A V,AV,d,2,d,1,2,1,2,1,思考,：已知管道中油的质量流量为,Q,m,=250kg/s, d,1,=200 mm, d,2,=100mm,求流量和,1,、,2,两管中的平均流速。,街道狭谷风效应,思考,：在微风的日子里，高层建筑附近却有大风，人们夏天喜欢在此乘凉。为什么高层建筑附近风总是很大？,【,例,4,1】,不可压圆管层流的最大速度与平均速度的关系,1-1:,均匀速度,V1,2-2:,解：,1-1/2-2,之间取为控制体。,质量守恒：,这个结论有点意思，不妨记住。,【,例,4,2】,搅拌槽出口溶液浓度，,P66.,4.3.1,动量定理（牛顿第二运动定律）,4.3,动量定理,作用在,系统上,的合外力等于,系统,在该方向的动量的增加率：,根据雷诺输运定理：,单位时间内，控制体中总动量随时间的增加率与流出控制体的,净,动量流量,之和，等于作用在控制体上的合外力。,动量定理适合于所有的流动。,又，从任一瞬时,t,看，系统与控制体边界重合，因此,t,时刻作用在系统的外力即是作用在控制体上,因此可,得,动量定理,:,动量流量：,速度,与,质量流量,的乘积，,v,v,，,也是矢量。,动量定理的分量形式,:,教科书称动量定理为“动量守恒方程”，这个叫法不合理。,物理学,:,动量守恒的充要条件是这个系统受到的合外力为零。,动量定理描述的是流体的动量变化和导致这种变化的作用力之间的关系。,对分析流体机械和管道的受力时十分有用。,以平均速度表示的动量方程：,针对管道或具有管状进出口的设备，不考虑流体速度在控制体进出口截面的速度分布，采用平均速度来计算进出口截面流体动量。进出口截面分别记为,1,和,2,。,x,方向的动量净输出：,4.3.2,动量定理的简化形式,则,x,方向动量方程：,类似可得,y,方向和,z,方向的动量方程。,质量流量,解：,取,1-1/2-2,之间段为,控制体,。,流体受力：,动量净流出：,动量定理,（稳态）得：,弯头受力,（反作用力）,稳定流动系统的动量方程：,稳态流动时，流体参数与流动参数均与时间无关，控制体动量随时间的变化率为零，动量方程进一步简化：,注意：可能有多个进口和出口的情况！,【,例,4,4】,弯头受力分析,解,:,取,铲水车为,控制体,方法一：,地球参考系,进口,(,铲水管,),：,v,1x,=0, q,m1,=,v,0,bW ;,出口：没有出口,控制体内：,质量守恒：,动量定理：,【,例,4,5】,铲水车内水对车作用力,铲水口,z,向宽,W,方法二：,水车参考系,进口,(,铲水管,),：,v,1x,= -v,0, q,m1,=,v,0,bW ;,出口：没有出口,控制体内：,(,相对于控制体本身，内部,v,x,=0),动量定理：,哪个更方便？,解题,关键：,1,建立坐标系；,2,选取合适的控制体；,3,画出控制面上的所有表面力以及,作用在控制体上的质量力；,4,在选定的坐标系中，准确找出进出口参数以及控制体,内参数变化情况,5,根据动量定理、连续性方程,以及伯努利方程（后面很快将讲）求解；,6,涉及压强时，如无特殊要求，利用相对压强求解,常常较为简便,.,自学了解,：,例,【4,6】,动量法测物体绕流阻力,.,动量矩,:,动量,mv,对参照点的矩,x,y,z,r,O,F,m,v,力矩与动量矩,将动量方程两边同时叉乘位置矢径，得：,0,动量矩定律：,对于,同一参考点,，流体,系统,所受力矩之和等于,系统,动量矩随时间的变化率。,4.4,动量矩定理,4.4.1,动量矩、动量矩定理,（,角动量方程,）,根据,动量矩定律,：,应用,雷诺输运定理,（输运公式）,:,系统总力矩控制体净输出动量矩控制体内动量矩变化率,分量形式,:,4.4.2,控制体的动量矩方程,“,从任一瞬时,t,看，,系统,与,控制体,边界重合，因此,t,时刻作用在,系统,的力矩即是作用在,控制体,上,”,（,与,4.3.1,中类似,）。,因此可将,系统,的,动量矩方程,用于对,控制体：,二维稳定流动系统的动量矩方程,平面运动中动量矩方程只有一个分量方程，,如采用平均速度，问题可再进一步简化。,如图中,x-y,面内的流道，稳态流动：,y,x,z,r,1,O,v,1,r,2,v,2,x-y,面内二维流动,质量流量,q,m1,平均速度,:,进口参数,的夹角为,1,对,z,轴的矩：,质量流量,q,m2,平均速度,:,出口参数,的夹角为,2,对,z,轴的矩：,根据动量矩方程,稳态流动,:,0,通常约定,M,z,的正方向为,Z,轴的正方向。,-,作用在控制体上的动量矩,【,例,4-7】,离心泵叶轮力矩,P77,求,:, 叶轮所受力矩,?, 进口速度与叶片相切的,1,=?, 驱动叶轮工作消耗的功率？,【,例,4-8】,喷水管力矩计算,P78,储存能,:,流体物质宏观和微观运动所具有的能量，包括内能、动能、势能。,迁移能,:,流体系统与外界交换的能量，包括热量、机械功,。,运动流体的机械能,:,单位质量流体的机械能,4.5,能量方程,4.5.1,运动流体的能量,4.5.2,控制体的能量方程,能量守恒定律：,雷诺输运定理（输运公式）,:,吸热对外作功,控制体净输出的能量流量,控制体内的能量变化率,系统能量变化率控制体净输出能量控制体能量变化率,所以控制体的能量方程将如下列出,:,能量方程：,控制体净输出能量流量：,控制体内部能量变化率：,流体对设备输出功的轴功率,流体克服粘性消耗的功率,流体系统克服控制面压力,p,而做功的功率：流动功功率,引入,焓,h=u+pv=u+p/,则,能量方程,也可写成,:,单位质量流体具有的能量,为何不包括压力势能？,因将另外考虑压力对外做功。,理想气体内能,【,例,4-9】,滑动轴承散热率,外圈固定，内圈转速,表面切应力,，轴向宽,W,。求保持温度恒定的散热速率。,解：,取内外径之间的空间为控制体,无进出口、无轴功率输入,/,输出给油体、稳态,能量方程,:,简化为,:,所以,散热速率,还可进一步将,表示成 ，所以,考虑右图一个例子。,A,1,-A,2,之间取为控制体。,条件：,A,1,、,A,2,截面积相对较小， 忽略参数,u,v,h,在截面上变化，用平均值代替。,4.5.3,化工流动系统的能量方程,化工流动系统示例,则这一系统的能量平衡关系为：,稳态过程：,绝热无轴功稳态流动：,【,例,4-11】,泵的输入功率计算,稳态, q,v,=280m,3,/h,=1000,kg/m,3,D,1,=0.3m,D,2,=0.15m. h=0.2mHg,Hg,/,=13.6,求泵的输入轴功率,N,e,（忽略摩擦）,因为摩擦，泵,实际功率,N=4000W,求流体内能增量,解：,稳态无热交换。,u,2,=u,1,(Q=0,且忽略摩擦,),z,1,=z,2,故能量方程化为,:,由于：,; ;,可得：, z,1,=z,2,N=-W,s,由,中可知,所以,特定条件下能量方程的简化,:,Bernoulli,方程,1738,年,无轴功输出：,无热量传递：,流体是不可压：,常数,定常,流动：,理想流体：,4.5.4,伯努利方程及其应用,重力场,z,：位置水头,单位重量流体所具有的位置势能（,m,）,p/g,：压强水头，单位重量流体所具有的压强势能,(m),z+p/g+v,2,/2g,：总水头，单位重量流体所具有的总机械能,一般用,H,表示，单位为,m,。,v,2,/2g,：速度水头，单位重量流体所具有的动能, m,。,意义：对定常绝热不可压的理想流动，沿流线总水头不变，即沿流线流体的压力能、位置能与动能可相互转化，但总值不变,机械能守恒,伯努利方程的几何意义与物理意义,伯努利方程的应用条件, 对,理想,不可压缩,的,稳态,流动，该方程不但适用于,管流,，,而且适用于流场中的任一条,流线,。应用于管流时要求管流进出口处于,均匀流段,(,没有转弯、突扩、突收缩等,),。, 对于,粘性,不可压缩,的,稳态,流动，只要选取的进出口截面处于,均匀流段,且与流动方向垂直，则截面上各点的总位能仍相等。但由于,粘性,的存在，应考虑黏性导致的机械能耗散（,阻力损失,）。且由于截面上速度分布,不均匀,，方程中的动能项应采用管道截面的平均动能。伯努利方程变为：,其中,：沿程,阻力系数；,l,：,管道长度；,D,：,管径；,：局部阻力系数（,9.4,节将细讲）,式中,h,f,是,阻力损失,:,截面平均动能，计算不太方便；常采用截面平均速度和动能修正系数计算。 ，,动能修正系数，近似取,=1,。,无功热交换时理想不可压稳态流动的机械能守恒方程,一维定常不可压理想流体在重力场中的能量方程,如果管道中还有机械功的输入输出，例如由输送泵输入轴功率为,N,，则伯努利方程可进一步扩展（引申）为：,:,输入给流体的功率对应的压头（泵的扬程,m,）,“,过程流体机械,”,课程的内容,L,2,L,1,3,1,h,H,1,3,水泵,涡轮,/,水轮机,/,风力机：,压缩机,/,泵：, 对于,可压缩,流体的,稳态,流动，只要马赫数,Ma0.3,且与外界无能量交换，则可,近似按不可压缩流动,处理。,马赫数,:,流动速度,与,当地音速,(,流场中各点的音速可能不等,),之比，以奥地利物理学家马赫,(1836-1916),命名，是衡量流体流动可压缩性的一个重要参数，马赫数越高则流场中流体密度的变化越大。,一般地，,Ma0.3,时可不考虑流体压缩性；,Ma1,则为超音速。一般民用飞机飞行速度多为亚音速或高亚音速，军用战斗机可以达到,Ma=3,或更高，美国最新高超音速飞机已达到,Ma=7,，航天飞机再入大气层可以达到,Ma=25,以上。,(,理想气体有,: ),【,例,4-12】,小孔出流,已知,; z,1,保持不变,; A,1,A,2,忽略摩擦，,求小孔出流速度。,解：,取,1-1,截面和,2-2,截面之间的流体,空间为控制体。,1-1,和,2-2,均为大气压，,z,1,=z,1,z,2,=0,。,根据伯努利方程：,可得：,因为,A,1,A,2,且,z,1,保持不变，故,h,d,o,2,1,L,z,h,d,o,2,1,L,z,(b),(a),基准,【,例,4-13】,两个相同容器内装有深为,h,的水，容器底面上有一直径为,d,的圆孔。容器,(a),中的水从空口自由流出，而,(b),的空口外接了一根内径为,d,长为,L,的圆管 。试求两种情况下的流量和,1,、,2,点的速度。（不计摩擦）,注意：控制面应尽可能取,在已知参数最多的位置,【,例,4-14】,喷射水流分析,已知仰角,、喷水速,v,1,。不计阻力,解：,取喷口,1,和,x,处截面,2,之间的流体占据的空间为控制体,., 质量守恒,代入式,(b),，得射流的空间轨迹方程：,压力均为大气,设控制体内水的总质量为,m,，动量方程：,因,故,A1A2,间水体质量,，故由,(c),知,x,方向为匀速，,v,x,=,可得射流横截面变化的关系,:,此处,(,大气压,),故有：,可见出流速度与最高点,a,的位置无关。,取,1-1,截面和,2-2,截面之间的流体,空间为控制体。忽略黏性损失，据伯努利方程：,(,等管径,),再对截面,1-1,和,a-a,之间应用伯努利方程：,可见,a-a,处于负压状态。如果,h,1,+h,大得使,p,a,p,v,(,流体在这一温度下的饱和蒸气压,),，则,a-a,处将发生汽化，使流动中断。,【,例,4-15】,虹吸流动,:,日常工程中见过？,【,例,4-16】,驻点压力、皮托管,流体绕流障碍物，前端重心点,B,，,流体速度滞止为零，称作,驻点,。,对流线,A-B,应用伯努利方程,且,考虑,z,A,=z,B,(AB,为水平线,),，,有障碍物时：,无障碍物时：,两式比较，可见：,这一结果表明：,换言之，驻点压力,p,B0,高出静压,p,B,的部份，是由流体的动能转化而来。如果能测量出驻点压力,p,B0,(,总压,),和静压,p,B,，则可算出流体流动的速度。这就是,皮托管测速的原理依据,。,静压与总压都要测出读数，读出的是被测液体液柱高度，称为,测压皮托管,。,(,但测量得出的却是速度！,),只读出总压与静压的差值，读出的是指示剂液柱的高度，,称为,测速皮托管,。,说明：,以上是按理想不可压流体测速，实际仪器中要考虑黏性修正，高速流动时还要考虑可压缩性的修正。,【,例,4-17】,文丘里管,-,测流量（,Ventury Tube,）,1,h,2,o,o,z,根据总流的伯努利方程和连续性方程：,结构,：,收缩段喉部扩张段,所以，体积流量为：,工程上，考虑修正系数,作 业,P101,思考题：,4-3,、,4-4,习题：,4-1,4-2,4-5,4-6,4-8,4-9,