8.3极坐标系下的二重积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.3,极坐标系下的二重积分,P,(,r,) r=r(,),o,o,r,r,),r,P,r,),r,=,r,(,),y,x,如,:,r,=a,r,=2cos,r,=2sin,有些,二重积分用直角坐标计算比较繁琐，甚至无法计算，如例6。,x,2,+y,2,=1,x,2,+y,2,=4,x,y,D,1,D,注记：,对于一个二重积分，当：,积分区域,D,的边界曲线用极坐标方程表示比较,容易；,被积函数用极坐标变量,r,、,来,表达比较简单,这时，用极坐标计算会带来方便。,因为直角坐标与极坐标之间有关系：,所以极坐标系下二重积分的表达式为,在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次 积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分 限的问题。但积分次序多以先对,r,后对,的次序， 而确定积分限可分为三种情形：,于是得到在极坐标下,二重积分化为二次积分的公式：,1,若积分区域,D,：,或写作,2,若极点在,D,的内部,则,D,可以用不等式表示,:,这时有,若,D,由两条封闭曲线围成（如图），则,3,若极点,O,在,D,的边界上，且,D,由射线,=,、 ,=,和连续曲线,r=r(,),围成。即,这时,例如,o,r,r=r,(,),r,o,r=r,(,),例：,直角坐标,极坐标,解,利用 把积分区域的边界曲,线化为极坐标形式：,解,于是,例,3,计算 ，其中,D,是以,解,D,可以表示成,原点为圆心，半径为,a,的圆域,.,用极坐标,解,例,5,计算 其中,D,为,解,所以,D,可表示为,圆的方程：,和,x,轴所围成的区域，,并说明该积分的几何意义,.,表示成极坐标形式：,于是，利用极坐标得,：,几何意义,圆柱面,是球面,当积分区域为,(,部分,),圆、扇形或扇面,等,常用,极坐标,计算,.,形状时，函数含有,直角坐标与极坐标的关系：,用极坐标计算二重积分时，常常需要将,用直角坐标表示的区域化为极坐标的表示,.,注意,小结,