5.3中心极限定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科,.,随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来,.,也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象,.,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究,.,极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种,:,与,大数定律,中心极限定理,设,m,是,n,重贝努利试验中事件,A,发生的次数，,p,是事件,A,发生的概率，则对任给的, 0,，,定理,1,（贝努利大数定律）,或,贝努利大数定律表明，当重复试验次数,n,充分大时，事件,A,发生的频率,m,/,n,会靠近事件,A,的概率,p,5.2,大数定律,设,X,1,X,2, ,是独立同分布的随机变量序列，,EX,i,=,DX,i,=,2,，,i,=1,2, ,，,定理,2,（切比雪夫大数定律）,则对任意的,0,，,定理,2,表明，独立随机变量序列,X,n,如果方差,存在，则,与其数学期望,偏差很小的概率,接近于,1.,取值非常接近于其数学期望,.,即当,n,充分大时，,差不多不再是随机的了,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响,.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响,.,5.3,中心极限定理,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些,随机因素的总影响,.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等,.,由于无穷个随机变量之和可能趋于,，故我们不研究,n,个随机变量之和本身而考虑它的,标准化,的随机变量,的分布函数的极限,.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布,.,定理,1,（独立同分布下的中心极限定理）,设,X,1,X,2, ,是,独立同分布,的随机变量序列，且,EX,i,=,，,DX,i,=,2,，,i,=1,2,，则,虽然在一般情况下，我们很难求出,X,1,+,X,2,+ +,X,n,的分布的确切形式，但当,n,很大时，可以求出近似分布,.,即当,n,充分大时，,n,个,独立同分布,的,r.v,之和近似服从标准正态分布,.,例,1,根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为,100,小时的指数分布,.,现随机地取,16,只，设它们的寿命是相互独立的,.,求这,16,只元件的寿命的总和大于,1920,小时的概率,.,由题给条件知，,X,i,独立同分布，,解,:,设第,i,只元件的寿命为,X,i,i,=1,2, ,16,EX,i,=100,DX,i,=10000,=1,-,(0.8),=1,-,0.7881=0.2119,定理,2,(,棣莫弗拉普拉斯定理）,定理表明，当,n,很大，,0,p,1,是一个定值时，,下面介绍的,棣莫弗拉普拉斯定理,（二项分布收敛于正态分布）是上述定理的特殊情况,.,即二项分布近似于正态分布,例,2,某车间有,100,台车床,设开工率为,0.8,并设每台车床的工作是独立的，求在某时刻同时开工的台数在,70,到,86,之间的概率,.,解,：,用,X,表示在某时刻工作着的车床数，,则,X,B,(100,0.8),由棣莫弗,-,拉普拉斯极限定理,P,(70,X,86),这里,np,=80,np,(1,-,p,)=16,例,2,某车间有,200,台车床,设开工率为,0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力,1,千瓦,.,问应供应多少千瓦电力就能以,99.9%,的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,?,用,X,表示在某时刻工作着的车床数，,P,(,X,N,)0.999,的最小的,N,.,要求满足,解,：设需,N,千瓦电力，,对每台车床的观察作为一次试验，,每次试验观,察该台车床是否工作， 工作的概率为,0.6,，共进行,200,次试验,.,则,X,B,(200,0.6),由棣莫弗,-,拉普拉斯极限定理,P,(,X,N,),这里,np,=120,np,(1,-,p,)=48,查正态分布函数表得,由,0.999,，,从中解得,N,141.5,即所求,N,=142., 3.1,故,也就是说,应供应,142,千瓦电力就能以,99.9%,的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产,.,