高等代数面向21世纪新教材课件

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,矩阵的乘法,西北师范大学,数学与信息科学学院,高等代数,面向,21,世纪新教材,高等代数,面向,21,世纪新教材,矩阵乘法的定义,矩阵乘法,的应用,矩阵乘法的性质,课件导航,结 束,作 业,小 结,新课讲授,先从一个例子开始,:,第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之 内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵,(,人民币,/,千克,) .,第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：,设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是,3,千克、,4,千克、,2,千克。则需求矩阵,B,表示为：,这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：,这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：,第一周：,12,3+11,4+6,2=92,（元）,第二周：,11,3+11,4+7,2=91,（元）,第三周：,11,3+10,4+7,2=87,（元）,定义,设,A,=(,a,ij,),是,m,n,矩阵，,B,=(,b,ij,),是,n,p,矩阵，则,A,与,B,的乘积,AB,是一个,m,p,矩阵，这个矩阵的第,i,行第,j,列位置上的元素,c,ij,等于,A,的第,i,行的元素与,B,的第,j,列的对应元素的乘积的和,.,即,运算过程演示,演示,返回,点击,由矩阵的定义可以看出,:,两个矩阵的乘积,AB,亦是矩阵,AB,的行数等于矩阵,A,的行数,AB,的列数等于矩阵,B,的列数.,前行乘后列,:,乘积矩阵,AB,中第,i,行第,j,列的元素等于,A,的第,i,行与,B,的第,j,列对应元素乘积之,和,简称行乘列的法则,。,1.,2.,想一想,:,两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？,矩阵,要,满足,什么条件才,能相乘,呢？,矩阵的乘法是否满足交换律呢,?,1.,2.,3.,矩阵的乘法适合消去律吗,?,4.,返回,例,1,例,2,例,3,例,4,例,5,例,6,矩阵乘法的性质:,结合律,(,AB,),C,=,A,(,BC,),其中,A,=,(,a,ij,),m,n,B,=,(,b,ij,),n,p,C,=,(,c,ij,),p,q,.,2.,数乘结合律,k,(,AB,)=(,kA,),B,=,A,(,kB,),其中,k,为任意实数.,A,=,(,a,ij,),m,s,，,B,=,(,b,ij,),s,n,.,3.,分配律,(,A,+,B,),C,=,A,C,+,B,C,其中,A,B,都为,m,n,矩阵,C,=,(,c,ij,),n,s,.,C,(,A,+,B,) =,C,A,+,C,B,其中,C,为,m,n,矩阵,A,B,都为,n,s,矩阵,.,返回,证明,证明,任意给定,r,个矩阵,A,1,A,2,A,r,只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数,就可以把它们依次相乘,由于矩阵的乘法满足结合律,在作这样的乘积时,可以把因子任意结合,而乘积,A,1,A,2,A,r,有完全确定的意义,.,我们再约定,A,0,=,I,n .,这样,一个,n,阶方阵的任意非负整数次方有意义,(,以后要定义某些特殊方阵的负整数次方,将会看到,并不是每个方阵都有负整数次方,).,多个矩阵的乘积,A,r,=,AA,A,.,r,个,A,特别地,一个,n,阶方阵,A,的,r,次方,(r,是正整数,),有意义,.,例,7,设,A,是,n,阶数量矩阵,.,即,B,=(,b,ij,),是,n,p,矩阵,计算,AB.,因此有,AB,=,kB,.,即用数量矩阵,A,乘以矩阵,B,时,相当于用数,k,乘矩阵,B,.,如果,C,是,m,n,矩阵,那么类似地容易验证,CA,=,kC,.,即,C,乘以数量矩阵,A,时,相当于用数,k,乘矩阵,C,.,这就是数量矩阵有时也叫做数乘矩阵的原因,.,特别地,在,n,阶数量矩阵中,当,k,=1,时,A,就变成为,称,I,n,为,n,阶单位矩阵,这时,有,I,n,B,=,B,C I,n,=,C,.,因此,n,阶方阵,I,n,在矩阵的乘法运算中所起的作用相当于数,1,在数的乘法运算中所起的作用,这就是为什么把,I,n,称为单位矩阵的原因,.,我们以后还会发现,I,n,的更多的类似于数,1,的性质,.,例,8,考虑一般形式的线性方程组,其,系数矩阵,和,增广矩阵,分别是,则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定,.,反过来,线性方程组也唯一地确定它的增广矩阵,我们令,称此式为线性方程组的矩阵形式,.,因此原线性方程组可写为,AX,=,B.,计算矩阵乘积,AX,计算,A,1,X,:,在上题中,令,:,同样计算,A,2,X,A,n,X,可得,所以,A,=,A,1,+,A,2,+,+,A,n,AX,=(,A,1,+,A,2,+,+,A,n,),X,=,A,1,X,+,A,2,X,+,+,A,n,X.,因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式,这个形式叫做线性方程组的向量形式,.,系数矩阵,把,n,元线性方程组所有未知量的系数按原来的顺序排列,得到一个,m,n,矩阵,.,我们称,A,为线性方程组的系数矩阵,.,返回,增广矩阵,为线性方程组的增广矩阵,.,我们称,返回,把,n,元线性方程组所有未知量的系数和常数项按原来的顺序排列,得到一个,m,行,n,+1,列矩阵,.,例,9 (,计算机机时汇总,) :,一台智星计算机,完成某个项目,该项目有,6,项类型,1,的工作,8,项类型,2,的工作,10,项类型,3,的工作,问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间,?,类型,1,的问题,需用,3,分钟,!,需用,4,分钟,!,类型,2,的问题,类型,3,的问题,需用,2,分钟,!,则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为,:,表示各种类型工作的个数矩阵可令为,:,那么所需时间的总数可如下计算,:,这里,(70),是一个,11,矩阵,(,可以把,(70),和,70,看成是一样的,),即所需总时数为,70,分钟,.,假设不仅有一台计算机,而是有,4,台计算机,:,智星,神童,奔腾及银河,那么我们有一个不同的计算机完成不同类型工作的机时矩阵,:,智星完成类型,1,、,2,、,3,的工作所需的时间,:,银河完成类型,1,、,2,、,3,的工作所需的时间,:,神童完成类型,1,、,2,、,3,的工作所需的时间,:,奔腾完成类型,1,、,2,、,3,的工作所需的时间,:,为了计算每台计算机完成,6,项类型,1,的工作,8,项类型,2,的工作,10,项类型,3,的工作,所需的时间分别有多长,只需进行如下计算,:,所以选择智星计算机完成这个项目比较省时,.,下面让我们不只对一个项目,而是对,3,个项目进行计算,.,假设,3,个项目所包含的类型,1,2,3,的工作个数如下矩阵表示,:,矩阵中每一列表示每一个项目所包含类型,1, 2, 3,的个数,.,进行如下计算,T,1,N,1,矩阵的每一行表示每台计算机完成,3,个项目分别需要的时机数,可以看出,如果安排智星计算机完成第一个项目,由奔腾完成第二个项目,由银河完成第三个项目,所需的机时总数较少,.,返回,这一节主要讲了矩阵乘法的定义,矩阵乘法的性质以及矩阵乘法的应用,.,小结,矩阵乘法的定义,主要讲了定义,相乘的条件,:,前列数等于后行数,.,乘法的法则,:,前行乘后列,.,乘法不满足交换律,不适合消去律,.,矩阵乘法的性质,乘法的结合律,乘法对加法的分配律,.,矩阵乘法的应用,实际应用的例子比较多,还有如建筑耗材问题,图的邻接矩阵等例子,请课后阅读教材,.,返回,作业,:,教材,P,105,第,7,、第,8,、第,9,题,.,返回,同学们,再见!,