第四章内力分析和内力图课件

第四章 内力分析和内力图,*,吴永东制,工程力学,第三章 内力分析和内力图,1,第四章 内力分析和内力图,4-1,内力方程,4-3 扭转内力,4-2,拉伸与压缩内力,4-4,弯曲内力,4-5,平面刚架和平面曲杆的内力,4-6,平面桁架内力的计算,2,外力作用引起构件内部附加的相互作用力。,求内力的方法,截面法,(截取代平),1、截,2、取,3、代,4、平,内力,3,例,0,-1、,求,m,m,、,n,n,截面上的内力。,1、,对,m,-,m,截面,：,解：,2、,对,n,-,n,截面,：,F,F,m,m,n,n,F,N,1,F,N,2,x,4,例,0,-,2、,求,m,m,、,n,n,截面上的内力,。,解,：,l,m,m,a,n,n,F,b,c,1,、,沿,m,-,m,截面截开,取上半部分,F,Nm,M,m,O,5,2,、,沿,n,-,n,截面截开,l,m,m,a,n,n,F,b,c,取右半部,F,Sn,M,n,6,例,4,-,1,、,列出图示结构水平段,的内力方程,。,解,：,l,m,m,a,n,n,F,x,c,取最右端为坐标原点，假设任一截面到坐标原点的距离为,x,表示内力沿截面变化规律的函数,4-1,内力方程,内力,方程：,F,Sx,M,x,7,4-2,拉伸与压缩内力,8,F,F,F,F,9,受力特点：,作用在杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合,变形特点：,F,F,拉伸,压缩,F,F,杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短、横向缩小或变粗。,10,横截面上内力,的方向与轴线重合。,2、截面法求轴力,截：,取：,F,F,m,m,1,、轴力,：,假想沿,m,-,m,横截面将杆切开,取左半段或右半段,11,3、轴力正负号：,代：,平：,F,N,F,N,将抛掉部分对选取部分的作用用内力代替,对选取部分列平衡方程求出内力即轴力的值。,拉为正、压为负(与截面外法线方向一致为正，否则为负),12,轴力的简便计算方法,任一横截面的轴力等于截面一侧所有外力引起的轴力的代数和,每一个外力引起的轴力的大小等于该外力,每一个外力引起的轴力符号的按如下规定确定：,外力的方向背离截面，引起的轴力为正；反之为负。,轴力图：,选定一个坐标系，横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的轴力，所得到的图线。,13,例4-,2,、已知,F,1,=10,kN,；,F,2,=20,kN,；,F,3,=35,kN,；,F,4,=25,kN,;试画出图示杆件的轴力图。,F,1,F,2,A,B,C,D,F,4,F,3,解：,将杆件分成3段,集中力作用点为分段点,AB,段,BC,段,CD,段,绘制轴力图。,F,N,(kN),x,10kN,10kN,25kN,14,4-3,扭转内力,汽车传动轴,汽车方向盘,一 扭转的概念和实例,15,16,受力特点,：,变形特点,：,作用在杆件上的载荷均为力偶，且力偶矢方向与轴线一致,杆件的各个横截面绕杆轴发生相对转动,扭转变形,是指杆件受到若干个与轴线方向一致的力偶矢作用，使杆件的横截面绕轴线产生转动。,受扭转变形杆件称为,轴,，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,g,f,m,p,q,m,p,q,17,二、扭矩内力,1,、外力分析,外力形式,：,受到扭转外力偶的作用,扭转外力偶矩的计算,-,直接计算法,18,-,按输入功率和转速计算,电机每秒输出功,：,力偶作功,：,求：力偶矩,Me,已知,：,轴的转速,n,转/分钟,输出功率,P,千瓦,式中,：,19,T,称为横截面,1-1,上的,扭矩,2、内力分析,(1),横截面上内力形式,：,T,方向垂直于截面的内力偶矩,得,：,1,1,取左段研究:,取右段研究,:,得,：,20,(2),扭矩正负号的规定,右手螺旋法则,右手四指沿扭矩的转向环绕：,拇指指向与截面,外法线,方向一致，则扭矩为,正(+)；,反之为,负(-),21,某一截面的扭矩等于截面一侧所有外力偶矩引起的扭矩的代数和；每一个外力偶矩引起的扭矩大小等于该外力偶矩，符号按以下规定确定：,计算截面扭矩的简便方法：,外力偶矩的方向背离截面，引起的扭矩为正；反之为负。,(3),扭矩图,22,例题,4-,3,、,一传动轴如图所示，其转速,n,= 300 r/min ，,主动轮,A,输入的功率为,P,A,= 36 kW，,若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为,P,B,= 11 kW、,P,C,= 11 kW 及,P,D,= 14 kW，,试做扭矩图。,解:,计算外力偶矩,23,集中力偶作用点为分段点,BC,段,扭矩方程,1,1,C,A,段,扭矩方程,2,2,AD,段,扭矩方程,3,3,x,T,(N.m),350,700,446,+,_,作扭矩图,24,例4,4,、试作轴的扭矩图。,解：根据载荷分布情况，应分三段研究。,AB,段,：,BC,段,：,CD,段,：,C,A,B,D,9kN.m,3kN.m,3kN.m/m,2m,1m,1m,x,分布载荷的起点及终点也为分段点,x,T,(kN.m),6,3,+,_,25,4-4,弯,曲内力,一、弯,曲的概念和实例,26,起重机大梁,27,车削工件,28,火车轮轴,29,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,受力特征:,变形特征:,变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,q,F,F,R,F,R,q,F,F,R,F,R,F,F,以弯曲变形为主的杆件通常称为,梁,30,常见弯曲构件的横截面类型,31,平面弯曲,具有纵向对称面,外力都作用在纵向对称面内,垂直于轴线,弯曲变形后轴线变成对称面内的一条平面曲线,32,二、,梁的,简化,载荷,F,M,e,q,(,x,),集中载荷,分布载荷,集中力偶,支座的类型,固定铰支座,活动铰支座,固定端,33,静定梁的基本形式,F,M,e,q,(,x,),简支梁,F,M,e,q,(,x,),外伸梁,F,M,e,q,(,x,),悬臂梁,静 定 梁,34,火车轮轴简化,简化的实例,梁的简化：用梁的轴线代替杆件本身。,F,F,35,被车削工件的简化,36,吊车大梁简化,F,F,q,均匀分布载荷简称,均布载荷,37,三、弯曲变形的内力,F,1,F,2,F,3,A,B,x,y,F,B,y,F,A,y,梁横截面上的内力,截面法,x,m,m,x,y,m,m,F,1,a,F,A,y,x,F,N,F,S,M,C,F,S,剪力,，平行于横截面的内力的合力。,M,弯矩,，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。,剪力和弯矩合称为梁横截面上的,内力,。,F,S,M,无,38,内力符号规定,取左段与取右段所得结果等值反向！,按,变,形,左上右下错动趋势,“,+,”,左下右上错动趋势,“,-,”,“,F,S,”,m,m,m,m,F,F,F,F,若外力对截面中心取矩为顺时针方向，则引起的剪力为正；反之为负。,顺为正，逆为负,按外力：,39,按,变,形,“,M,”,m,m,m,m,凹向上,“+”,凹向下,“,-,”,按外力（包括外力和外力偶）,F,F,F,F,m,m,m,m,截面左侧的外力对截面中心取矩为顺时针，截面右侧的外力对截面中心取矩为逆时针，则引起的弯矩为正；反之为负。,左顺右逆为正，反之为负,40,某一截面剪力和弯矩的计算简便方法,某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力（外力和外力偶）引起内力的代数和,顺为正；,逆,为负,左顺右逆为正；反之为,负,每一个外力引起剪力的大小等于该外力，符号按如下规定确定：,每一外力（包括力偶）引起弯矩的大小等于外力或外力偶对截面中心的矩，符号按如下规定确定：,41,例47、求下图1-1、2-2、3-3、4-4、5-5的,F,S,、,M,值。,q,A,B,C,D,1,2,3,4,5,a,a,a,a/,2,解：,1、外力分析,F,yC,F,yD,2、内力分析,1-1,截面,F,S1,M,1,某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力引起内力的代数和,42,2-2,截面,3-3,截面,q,A,B,C,D,1,2,3,4,5,a,a,a,a/,2,F,yC,q,A,B,C,D,1,2,3,4,5,a,a,a,a/,2,F,yC,43,4-4,截面,q,A,B,C,D,1,2,3,4,5,a,a,a,a/,2,F,yD,q,A,B,C,D,1,2,3,4,5,a,a,a,a/,2,F,yD,5-5,截面,44,例48、下图悬臂梁1-1、2-2截面上的,F,S,、,M,值。,A,B,C,1,1,2,2,q,0,a,a,解：,1、外力分析,2、内力分析,1-1,截面,2-2,截面,A,B,C,1,1,2,2,q,0,a,a,45,课堂练习,：,计算梁中1-1与2-2截面内力。,A,B,1,1,2,a,L,b,2,F,A,F,B,某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力引起内力的代数和,46,计算梁中1-1与2-2截面内力。,A,B,1,2,2,a,b,1,解：,1-1,截面,2-2,截面,47,四、剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图,1、,剪力方程,2、,弯矩方程,F,S,=,F,S,(,x,),M,=,M,(,x,),表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律的函数,，,分别称作剪力方程和弯矩方程。,1、剪力方程和弯矩方程,48,2、剪力图和弯矩图,以平行于梁轴的横坐标,x,表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,x,F,s(,x,),F,S,图的坐标系,O,M,图的坐标系,x,O,M,(,x,),弯矩图为正值画在,x,轴上侧，负值画在,x,轴下侧,剪力图为正值画在,x,轴上侧，负值画在,x,轴下侧,49,例49、如图,所示的悬臂梁在自由端受集中荷载,F,作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图,。,A,B,l,解:,(1),将坐标原点取在梁的左端， 列,出,梁的,剪力方程和弯矩方程,集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点或终点为分段点,x,F,S,x,F,x,M,Fl,对应于无均布载荷作用的梁，剪力图为平直线，弯矩图为斜直线,50,列剪力方程和弯矩方程，并利用剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图的步骤；,1、求支反力；,悬臂梁一般不必求支反力,2、找出分段点将梁分段；,集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点或终点为分段点。,3、取好坐标原点，写出每一段的剪力方程及弯矩方程；,写某一段的剪力方程及弯矩方程，只需在这一段任取一截面，假设该截面到坐标原点的距离为,x,，写出这个截面的剪力和弯矩就是这一段的剪力方程及弯矩方程。,4、根据剪力方程及弯矩方程画剪力图和弯矩图。,51,例题410、图,示的简支梁,在全梁上受集度为,q,的均布荷载用,.,试作此梁的的剪力图和弯矩图,.,l,q,A,B,解 ：,(1) 求支反力,F,B,F,A,(2),列剪力方程和弯矩方程,x,52,l,q,A,B,剪力图为一倾斜直线,绘出剪力图.,x,=0 处 ，,x,=,l,处 ,ql,/2,+,F,S,x,53,l,q,A,B,弯矩图为一条二次抛物线。由,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,+,l,/2,x,M,54,由图可见，对应于作用有均布载荷的梁，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线,剪力等于零的截面，弯矩取最大值,l,q,A,B,55,例411、图,示的简支梁在,C,点处受集中荷载,F,作用,。,试作此梁的剪力图和弯矩图,。,解 ：,求梁的支反力,集中力作用点,C,为分段点，必须分段写剪力方程和弯矩方程。,A,B,a,l,b,C,将坐标原点取在梁的左端,F,A,F,B,AC,段,x,56,A,B,a,l,b,C,F,A,F,B,CB,段,x,由(1),(3)两式可知,AC,CB,两段梁的剪力图各是一条平行于,x,轴的直线,F,S,x,+,+,57,A,B,a,l,b,C,F,A,F,B,由,(2),(4),式可知,AC,CB,两段梁的弯矩图各是一条斜直线,。,+,x,M,58,A,B,a,l,b,C,F,A,F,B,F,S,x,+,+,在集中荷载作用处的左，右两侧截面上剪力值(图)有突变，突变值等于集中荷载,F,。,+,x,M,弯矩图形成尖角，该处弯矩取极值。,59,F,A,A,B,a,l,b,C,m,例412、图,示的简支梁在,C,点处受矩为,m,的集中力偶作用,。,试作此梁的的剪力图和弯矩图,.,解 ：,求梁的支反力,F,B,将坐标原点取在梁的左端,因为梁上没有横向外力，所以,全梁只有一个剪力方程,x,+,F,S,x,可见，梁的剪力图是一条平行于,x,轴的直线。,绘出剪力图,60,AC,段和,BC,段的,弯矩方程不同,A,B,a,l,b,C,m,AC,段,x,CB,段,x,F,A,F,B,两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。,AC,段,CB,段,+,x,M,61,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。,此处剪力,图没有变化,。,62,例413、 一,简支梁受移动荷载,F,的作用如,图,所示,，,试求梁的最大弯矩为极大时荷载,F,的位置,。,x,A,B,l,解 :,先设,F,在距左支座,A,为,x,的任意位置,C,。,F,A,F,B,令,当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。,最大弯矩值,63,五、剪力图和弯矩图的简,便画法,x,y,F,1,F,2,A,B,M,e,x,dx,C,dx,q,(,x,),略去二阶微量后得：,64,几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小。,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点,处剪力的大小。,载荷集度、剪力和弯矩微分关系：,65,q,图,F,S,图,水平直线,M,图,斜直线,斜直线,抛物线,抛物线,立方,抛物线,三图形状口诀：0平斜抛抛,66,1）,两截面的剪力之差等于两截面之间的载荷图的面积,2）,两截面的弯矩之差等于两截面之间的剪力图的面积,载荷集度、剪力和弯矩积分关系：,67,集中载荷,F,S,图,M,图,F,F,F,F,有转折,有转折,m,m,无变化,m,无变化,m,从左到右，集中力作用处，剪力图,有突变，突变幅度为集中力的大小，突变方向与集中力方向一致。弯矩图在该处为尖点。,从左到右，集中力偶作用处，,弯矩图有突变，突变幅度为集中力偶的大小，力偶顺时针向上突变，反之向下突变。,剪力图,在该点没有变化。,弯矩图为抛物线时，极值出现在剪力等于零处,68,载荷、剪力和弯矩之间关系绘制剪力图与弯矩图的方法,1、外力分析（,求约束反力）；,约束反力的方向为实际方向,2、建立,F,S,一 x,和,M一 x,坐标系；,3、找出分段点将梁分段；对应每一段，根据载荷集度、剪力及弯矩之间的微分关系（,0平斜抛抛,），确定剪力图及弯矩图的形状；,4、对应每一段，确定相应控制面的剪力值或弯矩值，并在坐标系中描点；,分段点左右两侧面均为控制面,5、根据剪力图及弯矩图的形状连线画出剪力图及弯矩图。,控制面上的剪力或弯矩可根据集中载荷与剪力和弯矩之间的关系，截面法或积分关系求得,69,例4-14、试作梁的,F,S,、,M,图,解：,外力分析,建立坐标系并根据微分关系画图,F,S,x,+,-,x,M,+,A,B,l,l,C,F,A,F,B,左端左截面，右端右截面的内力为零,70,例4-15、试作悬臂梁的,F,S,、M,图。,A,C,B,a,a,解：,外力分析,建立坐标系并根据微分关系画图,F,S,x,-,x,M,-,71,例4-16、,简支梁受力如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：,外力分析,F,A,F,B,建立坐标系并根据微分关系画图,x,F,S,(kN),O,0.89,1.11,(,-,),(+),x,M,(kN.m),O,1.665,(-),1.335,0.335,A,B,1.5m,1,kN.m,2,kN,1.5m,1.5m,C,D,72,例,4-17,、试画出梁剪力图和弯矩图。,A,B,4,a,a,C,F,A,解：,外力分析,F,B,从,A,截面左侧开始画剪力图,F,S,x,-,+,73,A,B,4,a,a,C,F,A,F,B,F,S,x,-,+,从,A,截面左侧开始画弯矩图,x,M,+,74,例,4-18,、,试画出图示有中间铰梁的,剪力图和弯矩图。,解：,1确定约束力,从铰处将梁截开,x,F,S,(kN),O,qa,/2,qa,/2,qa,(,-,),(,+,),(+),x,M,(kN.m),O,qa,2,/2,qa,2,/2,(,-,),(,-,),中间铰处弯矩等于零,D,a,A,C,B,qa,a,a,F,B,F,A,75,1、,平面刚架,某些机器的机身由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为,刚架。,各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有,轴力、剪力,和,弯矩。,4-5 平面刚架和曲杆的内力,76,已知平面刚架上的均布载荷集度,q,长度,l,。,试画出刚架的内力图。,例题,4-19、,解：,2、,写出各段的内力方程,q,l,l,A,B,C,1、,确定约束力,AB,段,BC,段,77,q,A,B,C,l,竖杆,AB,：,3、根据各段的内力方程画内力图,横杆,CB,：,M,图画在受压一侧；,F,S,图与,F,N,图可画在任一侧，但应注明正负号；,F,N,+,F,S,+,M,78,2、,平面曲杆的内力,平面曲杆,轴线为平面曲线的构件称为,平面曲杆,。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有,轴力,、,剪力,和,弯矩,。,引起拉伸变形的,轴力,为正；使轴线曲率增加的,弯矩,为正；剪力对所取的一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针方向，则,剪力,为正。,内力正负号规定,79,例4-20 已知:如图所示,F,及,R,.试绘制,F,S,、,M,、,F,N,图.,解：建立极坐标,O,为极点,OB,极轴,q,表示截面,m,m,的位置。,q,m,m,x,O,F,R,A,B,O,F,B,q,m,m,x,F,N,F,S,M,80,O,O,F,N,图,F,F,+,x,O,F,R,q,m,m,A,B,+,F,S,图,F,A,B,O,M,图,2,FR,+,81,4-6 平面桁架的内力计算,桁架,：,由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。,82,武汉长江大桥。全长,1679,米。于,1957,年建成。跨度,128,米。,83,英国福斯湾桥。钢悬,臂桁架双线铁路桥。,跨度,521,米,。1890,年,建成。,北京首都国际机场,航空港内钢结构飞,机库。,84,85,桁架的简化计算模型,86,桁架的优点：轻，能充分发挥材料性能。,力学中的桁架模型,( 基本三角形,)：,三角形有稳定性,1、各杆件为直杆，,各杆轴线位于同一平面内,；,2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接；,3、载荷作用在节点上，,且位于桁架几何平面内；,4、各杆件自重不计或均分布在节点上。,在上述假设下，,桁架中每根杆件均为二力杆,关于平面桁架的几点假设,(理想桁架 ),87,总杆数,m,总节点数,n,m,-3,=,2(,n,-3),m=,2,n,-3,平面简单（静定）桁架,m=,2,n,-3,平面复杂（超静定）桁架,m ,2,n,-3,非桁架（机构）,m ,2,n,-3,88,桁架内力的计算方法,1、节点法,2、截面法,取节点为研究对象，用平面汇交力系平衡方程求解。,适当地选取一截面，假想把桁架截开，考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡条件，求出被截杆件的内力。,在求解杆件内力时，,先假设为拉力,，最后根据所求得的结果确定杆件的实际受力性质。,89,C,D,2,m,P,A,B,30,1,2,3,4,5,2,m,F,A,F,Bx,F,By,P,D,A,C,F,A,F,1,F,2,F,1,F,3,F,4,F,5,F,3,F,2,节点法,例,421、,如图，已知：,P,=10kN，,求各杆内力,？,解,：,1、求支座反力,2、研究节点,A,y,x,90,3、研究节点,C,C,F,1,F,3,F,4,C,D,2,m,P,A,B,30,1,2,3,4,5,2,m,P,D,F,5,F,3,F,2,y,x,4、研究节点,D,91,A,B,h,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,P,P,例,222、,如图，已知：,每根杆长均为,a,，,h,P,求4, 5, 6杆的内力。,截面法,F,Ax,F,Ay,F,B,解,：,1、求支座反力,2、假想截断4，5，6杆，取原桁架的左半部分研究,F,4,F,5,F,6,y,x,92,解得：,C,93,2、,T,形杆,且节点无载荷时，其中两杆在一条直线上，则另一杆必为零杆。,3、,X形杆,且节点无载荷时，共线的两杆内力等值、同性。,1、,L,形杆,且节点无载荷时，两杆均为零杆。,特殊杆件的内力判断,说明： 节点法：用于设计，计算全部杆内力,截面法：用于校核，计算部分杆内力,F,1,F,2,94,A,d,P,a,b,c,d,5,d,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,例,2-23,已知,P d,求,：,a、b、c、d,四杆的内力,。,解：由零杆判断规律可知：,y,x,研究节点,A,P,F,1,F,b,A,9,14,4,8,13,3,7,12,2,6,1,5,10,11,95,第四章结束,96,