现代数字信号处理-第1章fanyi

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*, 课程名称：,现代数字信号处理,(,研究生课程：,081000B209a,),M,odern,D,igital,S,ignal,P,rocessing,(,M,D,S,P,),授 课 人：,范俊波,jerrybfan,13908055139,前修课程：,工程数学，信号与系统,数字信号处理,(,本科,),教 材：,现代数字信号处理,Roberto,Cristi,(,美,),著,徐盛 等译,机械工业出版社,现代数字信号处理,参考资料：,1.,数字信号处理基础,Joyce Van de,Vegte,著，侯正信 王国安等译,电子工业出版社,2.,数字信号处理,高西全 丁玉美 编著,西安电子科技大学出版社,3.,期刊杂志,电子学报,电子与信息学报,信号处理,4.,Digital Signal Processing Using MATLAB,Vinay,K. Ingle & John G.,Proakis,Matlab,作为,DSP,运算与算法描述的一个很有用的标准工具,:,1.,使用很少的几行代码便可完成多数,DSP,运算,;,2.,很容易产生可用于发表的图形、曲线,;,3.,易于掌握和使用,.,授课目的与要求：,课内授课,+,课外自学,多参考其他书籍、资料,掌握基本规律、,概念、原理、方法,理论与实际相结合,，不要求死记硬背,能够阅读和理解该领域的文献资料，为后续研究打好基础,考试方式：,期末半开卷考试,一、 现代,数字信号处理,的特点,精度高：,数字系统的精度由字长（,A/D,）,决定：,14,位,10,-4,，,17,位,10,-5,，可达,64,位以上,;,而模拟系统则由元器件精度决定,而元器件精度要做到,10,-2,已是非常困难。,灵活性强：,系统性能由运算程序,(,算法,),和乘法器的各系数决定，改变,程序或系数时系统性能变化，而模拟系统完全由结构及元器件,参数决定。,可靠性高,:,采用,“,0,”,、,“,1,”,（高、低）两个逻辑电平，容错性强,;,采用,DSP,芯片设备简化,系统稳定可靠。,容易集成：,数字电路高度规范性,对电路参数要求不严,适合,LSI,、,VLSI,。,第,0,章,.,绪论,多路复用：,“,同时,”,处理多通道信号。,可获得高性能指标：,如频谱分析的幅度精度、频率分辨率远高于模,拟频谱分析。,.,二维、多维处理：,利用数字存储器。,处理速度：,相对较低。,处理信号频率：,相对较低（受限于抽样定理）。,处理时变信号,：,时频分析。,二、 现代数字信号处理的学科概貌,现代,数字信号处理,经典数字信号处理,离散时间线性移不变系统理论,离散傅立叶变换理论,信号滤波,信号分析,FIR,滤波器的设计问题,IIR,滤波器的设计问题,离散傅立叶变换（,DFT,）,量化理论,用,FFT,方法滤波,频谱分析,FIR,滤波器的实现,IIR,滤波器的实现,硬件、,软件、,微处,理器,频谱分析仪的实现,应 用,语音,地震,图象,通信,雷达,声纳,数字信号处理,的两个重要方面：,信号滤波,:,滤波器的设计，以突出感兴趣的信号。一些应用：,滤除不需要的背景噪声；,去除干扰；,频带分割。,信号分析：信号特性测量，通常是一个频域运算如,DFT,等。一些应用：,频谱分析；,信号特征的提取与识别；,目标检测。,三、 现代数字信号处理的实现,.,在通用计算机上用软件实现。,.,有单片机实现,(,处理器,),.,利用专门用于信号处理的,DSP,芯片实现,(,处理器,),.,利用特殊用途的,DSP,芯片实现,四、 现代数字信号处理的应用,语音、雷达、声纳、地震、图像、通信系统、系统控制、生物,医学工程、机械震动、遥感遥测、地质勘探、航空航天、电力,系统、故障检测、自动化仪器等,数字信号处理产业,:,1997,以来,年均增长率为,30%,(,网上统计,),45%(,文献统计,),近年最大的产业机遇,:,数字电视,(,核心技术,:,数字图像处理,千亿产业,),五、 应用数字信号处理的两个实例,例：数字信号处理实例（语音信号）,质量差的语音：,经数字信号处理后的语音：,例：数字信号处理实例（图像信号）,原始图像：,加密后的图像：,加密后的图像,中含有的图像：,此问题是密码学和数字图像处理的交叉学科,但主要使用的是数字信号处理技术,第,1,章,.,信号与系统基础,1.1,信号,1.,定义和分类：,信号为何应当被处理？,信号是信息的载体，包含,有用,和,无用,的信息。信号处理的目的就是,从多种多样的信号中,提取有用信息,或,去除无用信息,。,信号如何表示？,信号是一个独立于物理特征的概念，概括了所有信号的具体形式，,数学中被抽象为,函数,x(t,),，,其中,t,物理现象的变化,，可以是一个多维变量。,一维信号,x(t),如,t,表示时间。如典型信号为随时间变化的电压。,例：用时间作自变量，麦克风的输出电压信号为时间函数，是一,维信号。,时间信号,模拟信号,:,幅度值和时间都是连续的,数字信号,:,幅度值和时间都是离散的,时域离散信号,:,幅度值连续,时间是离散的,模拟信号,时域离散信号或数字信号,例：记录音频信号的乙烯密纹唱片（,Long-Playing record,LP,）,和光盘,（,Compact Disc, CD,）。,二维信号,x(s,1,s,2,),其中,s,1,，,s,2,表示二维空间中的一个坐标点。,如典型信号为静止图象中点,s,1,，,s,2,的亮度。,三维信号,x(s,1,s,2,t),其中,s,1,s,2,表示二维空间中的一个坐标点,t,为时间。如典型信号为一系列静止图象的时间序列，即视频信号。,69,帧,70,帧,71,帧,例：静止黑白图象,例：视频,数字信号处理,方法的种类,数字信号处理是指用数字或符号的,序列,表示信号，通过计算机或,专用处理设备，用数字运算的方式处理这些序列，以达到更符合人们,要求信号形式。如滤波、变换、增强、压缩、估计、识别、传输、存,储等等。,信号如何被处理的？,模拟方式和数字方式。,模拟方式,:,对应模拟信号,(,幅度值和时间都是连续的,),、系统；,数字方式,:,对应,时域离散信号,(,幅度值连续但时间是离散的,),或,数字信,号,(,幅度值和时间都是离散的,),、系统。,2.,离散时间信号,序列：,定义：,离散时间信号是时间上不连续的一个序列，它只在离散时间上给出函数值，通常用,x(n),表示，,n,取值为整数。在,n,不为整数的地方无定义。,。,。,。,0,以上定义对幅度并没有特别要求（可以是有限精度，也可以是无限精度）；如要求幅度也为离散的，此时的序列为,数字信号,。,1,2,3,-1,序列如何得到：连续信号,抽样,；数字信号,如何得到：,序列（幅度）,量化编码,（,A/D,变换）。,例：一维信号（声音）,x(t),经过抽样便可得到一维离散时间序列,x(n),。,x(n)=,x(nT,s,),，,其中,n,为整数，,T,s,为抽样间隔。,x(t),、,x(n),的区别：,时间上是否连续或离散,。,离散序列,模拟信号,抽样器,序列,的表示方式：,1.,用集合符号表示序列,序列,x(n,) = 1,2,3,4,3,2,1; n=0,1,2,3,4,5,6,2.,用公式表示：,x(n,),=,a,|n|,0a1,-,n+,3.,用图形表示：,。,。,0,1,2,3,-1,0,1,2,2,1,3,0,1,2,2,1,3,序列的移位,：,序列,x(n+m),、,x(n-m),表示原序列,x(n),逐次超前（左,移）或延时（右移）,m,位。,右移,2,位,例：序列的移位,3.,序列的运算：,0,1,2,2,1,3,0,1,2,2,1,3,3,序列的翻褶：,序列,x,（,-n,）,表示原序列,x(n),以,n=0,的纵轴对称翻褶。,例：序列的翻,褶,序列和、积：,0,1,2,2,1,3,0,1,2,2,1,3,0,1,2,2,1,3,例：序列和,卷（积）和：,y(n)=x(n),*h(n),关于卷,(,积,),和运算常常用于求线性移不变系统输出响应的计算，是数字信号处理中一个十分有用的运算,。,卷积和运算中存在翻褶、移位,4.,几种常用序列,单位抽样（冲激）序列,单位抽样（冲激）序列的,k,步右移位,任意序列可用单位抽样序列表示,：,此式在许多公式推导中十分有用,例：无论序列多复杂都可分解为,不同幅度和移位的冲激序列之和,。,单位阶跃序列,矩形序列,实指数序列,为,实数,如果,-1a0,，,是何形状？,弦波信号及弦波型序列,弦波信号：,傅立叶分析中连续时间弦波信号是基础，它可看做是任何信号的组成部分,。如声音信号是由一系列振动（弦波）合成的。连续时间弦波信号具备,周期性,。,其中， 表示周期（单位：秒,或,s,）。,周期的倒数 是频率,（单位：赫兹,或,Hz,）。,角频率（单位：弧度,/,秒,或,rad/s,）。,角频率：,周 期：,频 率：,例：某弦波信号的频率,F,0,=250,kHz,，,则其周期,:,T,0,=(1/250) x 10,-3,s=4 x 10,-6,s=4,s,周期、频率、角频率的关系,：,弦波型序列,:,可由连续时间弦波信号,抽样,得到：,t,，,T,s,代表时间（单位：秒,或,s,），,代表,角频率（单位：弧度,/,秒,或,rad/s,），,代,表相位（单位：弧度,或,rad,）。,定义为,数字频率,：,是没有频率量纲的,，它是和频率相关的一个频率度量。,F,0,与,F,s,表示不同频率。,与一般频率概念不同,例：一频率为,F,0,=2 kHz,的正弦波信号，抽样间隔为,T,s,=0.1ms=10,-4,s,。那么，抽样频率,F,s,=10,4,Hz=10kHz,，对应弦波序列相应的数字频率为：,复指数信号及复指数序列,复指数信号,:,复指数信号比弦波信号具有更好的数学特性，,很多重要运算都可转换成线性运算,。 为复指数信号。,差分和积分：,信号,x(t),对时间,t,求导数和积分，定义为 和,。对于复指数信号，上述两种运算转换成,乘法和除法,：,时移：,序列 的时移,y(n)=x(n-L),，,其中,L,为整数。如果,x(n),为复指数序列，那么可以通过乘法获得：,复指数信号是差分、积分和时移算子的特征函数，即仅当信号是复指数函数时，上述运算才是线性运算（对其他信号这种关系就不一定成立了）。,这个特性是大多数信号与系统分析工具的数学变换（如傅立叶变换、拉普拉斯变换、,Z,变换和其他相关变换等）的基础。,多数变换要求,复指数信号,，真实存在的信号往往是弦波信号，可利用,欧拉变换,把弦波信号转换成复指数信号。,欧拉（,Euler,）,变换：,将复指数函数与弦波函数联系起来,连续时间和离散时间弦波信号都可表示为复指数信号：,无论连续时间还是离散时间复指数信号都可以用幅度,A,、,相位 和频率是（模拟频率,F,0,Hz,，,角频率,rad/s,或数字频率,rad,）,根据下式完全确定：,模拟信号的幅频特性,模拟信号的相频特性,单频信号！,5.,模拟和数字频率,弦波信号,负频率部分具有与正频率部分相同的幅度和相反的相位。,实信号含共轭频率,离散弦波信号,负频率部分具有与正频率部分相同的幅度和相反的相位。,实序列含共轭频率,对,连续时间,信号，信号的时域表示和频率表示是,一一对应的,，即,两个不同频率,的复指数信号 和 在时域上是,完全不同的。,对,离散时间,序列，信号的时域表示和频率表示,不一定是一一对应的,，即两个不同频率的复指数离散序列 和,当,，在时域上是完全相同的。,对弦波序列也有同样的结论,即如果两个弦波 和,其频率和相位满足下列关系中的任何一个：,两个弦波序列的所有样值将相同。,当频率限制在 范围内，,两个不同频率的序列将形成两个不同的弦波序列,。,复指数或弦波序列的频谱具有周期性（,2,）。,6.,序列的能量和功率,序列,x,（,n,）,的能量,E,定义为序列各项的平方和：,有限序列,x,（,n,）,的功率,P,定义为序列各项的平方和除序列长度,：,7.,序列相关,序列相关,，用于测量两序列,x(n),与,y(n),的相似度,序列相关,，用于测量两序列,x(n),与,y(n),的相似度,序列自相关,，用于测序列,x(n),自身的相似度,可用作同步的序列的自相关函数具有类似与冲激序列特征,!,与卷积和运算类似，但不是翻褶移位，而是仅移位,8.,其他有用运算,单边实指数序列,有限长实指数序列,这两个公式在许多公式推导中十分有用,1.2,系统,1.,定义和分类：,离散系统定义：系统将输入信号变换为输出信号，输入信号和输出信,号之间存在的关系就定义了一个,系统,。当输入信号和输出信号都是离,散信号的系统,S,称为,离散系统,。,离散系统分为,线性系统,和,非线性系统,数学上定义为,一种映射,2.,线性系统：,若系统满足叠加原理，,S,称为,线性系统,(,通常用,L,表示,),，即,对线性系统，对任一输入其输出可表示为,任意序列的表示,例：系统,y(n)=x(n)+x(n-1),是线性的吗？,设,x,1,(n),和,x,2,(n),为两个独立的输入，,y,1,(n),和,y,2,(n),为两个独立的输出，即,x,1,(n) S y,1,(n),x,2,(n) S y,2,(n),若令,x(n)=a,1,x,1,(n)+a,2,x,2,(n),，,则系统输出为,y(n)=a,1,x,1,(n)+a,2,x,2,(n)+ a,1,x,1,(n-1)+a,2,x,2,(n-1),=a,1,x,1,(n)+x,1,(n-1)+ a,2,x,2,(n)+x,2,(n-1)=a,1,y,1,(n)+ a,2,y,2,(n),，,则系统为线性系统。,对线性系统，如果满足输入输出对时间移位保持不变，则称为,线性移不,变系统,，即,系统的特性不随时间变化，即输入移位,D,，,输出移位也为,D,。,3.,线性移不变系统,(,LTI,),：,例：系统输入输出之间的关系,y(n)=x(n)+x(n-1),该系统是移不变的吗？,设,x(n),为输入，,y,(n),为输出，即,x,(n) S y,(n),若令,x(n),延迟,L,，,则相应系统输出,y,0,(n),为,y,0,(n)= x(n-L)+x(n-L-1)=y(n-L),则系统为移不变的系统。,线性移不变系统,的输出为,线性卷积和,线性移不变系统完全可由系统的,冲激响应,h(n,),表征,:,信号与系统两个概念统一,。,关于,线性卷积和的计算,（,1,）卷积和运算的关键是,先翻褶与后移位,（,2,）卷积和的结果比参与运算的两个序列要长,设两个序列的长度分别为,N,和,M,，,则卷积和的长度为,h(n,),表征系统的时域特性！,证：,有限长数据向量,x=x(0),x(N-1),与有限长滤波器冲激响应,h=h(0),h(M-1),的,线性卷积和,为,y(n,),的长度为,N+M-1,。因为满足下面两个条件之一,y(n,)=0,:,当,nN-1+M-1,时条件,2,）满足。,因此，当,0 nN+M-2,时，,y(n)0,。故,y(n,),的长度为,N+M-1,。,x(p,)=0,，,当,pN-1,例,:,设线性时不变系统的单位脉冲响应,h(n),和输入序列,x(n),如下图所示，要求画出,y(n),的波形。,解法一,： 采用图解法,图解法的过程如下图所示。,M=3,N=6,序列反褶、移位、相乘等运算,对相乘后的序列求和。,M+N-1=8,M=3,N=6,n= -1,如,计算,y(-1),应由序列,x(m),和,h(-1-m),确定：序列相乘,解法二：,采用解析法。按照上图写出,x(n),和,h(n),的表达式：,因为,所以,将,x(n),的表示式代如上式，得到,4.,线性移不变系统的稳定性：,对,线性移不变系统，若输入序列是有界的，其输出序列必定是有界的，则系统称为,有界,输入,/,有界输出,(,BIBO),稳定的,。,稳定系统的充要条件是其,单位脉冲响应绝对可和,，即,例：系统输入输出之间的关系,y(n)=x(n)+x(n-1),，,该系统是,BIBO,稳定的吗？,设输入为,x(n),为有界的,:,|,x(n)| A,，,对所有的,n,。,那么输出,y,(n),为也为有界的：,|y,(n)| |x(n)| +|x(n-1)| 2A,，,对所有的,n,则系统为,BIBO,稳定的系统。,例：系统输入输出之间的关系,y(n)=2nx(n),该系统是,BIBO,稳定的吗？,设,x(n)=1,，则,y,(n)=2n,当 时显然输出,y(n),趋于无穷，,则系统不是,BIBO,稳定的系统。,对,线性移不变系统，如果时刻 的输出仅取决于 及以前的输入，亦既输出的变化不会超前于输入的变化，该系统称为,因果,(,可实现,),系统,。,5.,线性移不变系统的因果性：,非,因果,对,线性移不变因果,系统，有,原因,:,任何输入信号是冲激信号的移位加权和,!,例：系统输入输出之间的关系,y(n)=2x(n-1),是因果的吗？,输出,y,(n),仅依赖于过去时间的输入信号，所以系统是因果系统。,例：系统输入输出之间的关系,y(n)=2x(n+1)+x(n-1),是因果的吗？,输出,y,(n),还依赖于将来时间的输入信号，所以系统是非因果系统。,(1),y,(,n)= 2x,(,n)+3,解：,令：输入为,x,(,n -n,0,),，,输出为 ， 因,故该系统是时不变的。又因为,故该系统是非线性系统（不满足线性叠加原理）。,例,设系统分别用下面的差分方程描述，,x,(,n,),与,y,(,n,),分别表示系统输,入和输出，判断系统是否是线性时不变的？,其他例子：,(2,）,y,(,n)= x,(,n-n,0,),，,n,0,为整,常数,解：,这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。,令输入为,输出为 因为,故,延时器是一个时不变系统，又因为,故,延时器是线性系统。,(3),y,(,n)= x,(,n),sin(,n,),解：,令输入为,输出为 因为,故,系统不是一个时不变系统，又因为,故系统是线性系统。,例,给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，,并说明理由。,解：,（,1,）只要,N,1,，,该系统就是因果系统，因为输出只与,n,时刻和,n,时刻以前的输入有关。如果,x(n),M,，,则,y(n),M,，,因此系统是稳定系统。,（,2,）如果,x(n),M,因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和,x(n),的将来值有关。,（,3,）当,n,0,0,时，系统是非因果系统，因为,n,时刻输出和,n,时刻以后的输入有关。当,n,0,0,时，系统是因果系统。如果,x(n)M,，,y(n)M,因此系统是稳定的。,因果性：输出只与,n,时刻和,n,时刻以前的输入有关,稳定性：如果,x(n),M,(,输入有界,),，,有,y(n),M,（,输出有界,）,练习题：,某,因果,系统的差分方程为,y(n,) - a,y(n,1) + 0.15,y(n,2) =,x(n,),，,且它的冲激响应,h(n,),的前三个（,n=0,，,1,，,2,）样值为,1,，,0.8, 0.49,，求参数,a,的值。,练习题：,判断如下说法是否正确：任何数字系统的输出都为输入序列和其冲激响应序列的线性卷积和。,练习题：,已知某系统的单位抽样响应,A.,因果稳定系统,;B.,因果非稳定系统,;C .,非因果稳定系统,;D.,非因果非稳定系统,.,，则该系统是（,A,）。,练习题：,系统输入序列,和输出序列,满足差分方程：,则该系统是（,C,）。,A.,线性移不变系统,;B.,非线性移不变系统,;C.,线性移变系统,;D.,非线性移变系统,.,6.,序列的,Z,变换（,ZT,）,一、,Z,变换的定义,定义：,序列,x(n),的,Z,变换,X(z,),定义为：,收敛域：,使上不等式成立的,z,值范围称为,Z,变换的收敛域,(,ROC,),，,用,Rx,-,z Rx,+,表示,(,Z,平面环状区域,),。,几种序列的收敛域,有限长序列：,在,n,1,n n,2,范围外，,x(n) = 0,，,除当,n,1,0,时，,z=0,处外，,X(z),在所有,区域收敛，至少是,0 z ,可能包括,z=0,或,z=,。,例,:,极点阶数的概念,例:,右边序列：,在,n n,1,时，,x(n)=0,，,若,n,1, 0,(,因果）,在,z=,收敛；,若,n,1,n,2,时，,x(n)=0,，,若,n,2,0,则在,z=0,处收敛；,其,收敛域为一个半径为,Rx,+,的圆内部分,（但可能不包含,z=0,）,例：,x(n)=a,n,u(-n-1),。,该序列为非因果序列，那么,上面两个序列的,Z,变换的形式基本相同（除负号外），但,收敛域相差很大,：,变量代换,n=-m,双边序列：,一个左边序列与一个右边序列之和,收敛域应在两个序列,Z,变换收敛域的,公共区域,：,Rx,-,zRx,+,例：,x(n)=0.8,|n|,。,该序列为因果序列和非因果序列之和，那么,收敛域为两个序列收敛域的交集。,例：,x(n)=1,。,该序列为因果序列和非因果序列之和，那么,收敛域为两个序列收敛域的交集，交集是空集，故,Z,变换不存在。,例,求以下序列的,Z,变换及其收敛域，并在,Z,平面上画出极、零点分布图：,解：（,1,）,零、极点图和收敛域如右图所示，图中,z=1,处的,零、极点相互对消。,Z,变换的定义，零极点定义,（,2,）,令 则,因为,那么,极点为：,z,1,=0,z,2,=1,零点为：,z,k,=,，,k=0,，,1,，,2,，,3,在,z=1,处的极、零点相互对消，收敛域为,0z,，,极、零点分布图如右图所示。,宽度度为,2N,的三角形序列可用两个宽度为,N,的矩形序列相卷积得到,Z,变换性质,二、,逆,Z,变换,已知,Z,变换和收敛域可求出序列。有三种求逆,Z,变换的方法：,长除法,部分分式法,留数法,对于,Z,变换，必须涉及到收敛域,ROC,（,相同的,Z,变换若收敛域不同，则对应的序列不同,）！,c,为收敛域内逆时针的闭合曲线。,(1),留数法,:,其中,c,是,收敛域,中一条逆时针的闭合曲线。收敛域是以,极点为边界形成的环状区域,。,围线积分可采用复变函数的,柯西留数定理,计算出来,:,在极点处,F(z)=z,n-1,X(z),的留数,(,不是,X(z),的留数,),为,对简单极点,(,一阶,):,对,r,阶极点,:,例,已知,求出对应,X(z),的各种可能的序列表达式,解：,X(z),有,两个极点：,z,1,=0.5,，,z,2,=2,，,因为,收敛域总是以极点为界,，,因此收敛域有以下三种情况：,z 0.5,，,0.5z2,，,2z,三种收敛域对应三种不同的原序列。,（,1,）当收敛域,z 0.5,时，对应左边序列,:,令,(2),当收敛域,0.5z2,时，对应双边序列,n0,时，,F(z),在,c,内有极点,0.5,；,最后得到,n0,时，,F(z),在,c,内有极点,0.5,，,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改成求,c,外极点留数，,c,外极点只有一个，即,2,，,(3),当收敛域,2z,时，对应右边序列,n0,时，,F(z),在,c,内有极点,0.5,，,2,，,n0,时，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此,x(n)=0,。,或者这样分析，,c,内有极点,0.5,，,2,，,0,，但,0,是一个,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外无极点，所以,x(n)=0,。,最后得到,(2),部分分式法,:,其中,C,1,，,C,2,，,，,C,N,是常数，一般为复数。,假设所有,极点都为一阶极点,，,C,i,可由下式计算：,上式中极点都是一阶的，将,X(z),代入上式,对包含,C,i,的部分，只留下,C,i,，,其他部分为零。,假设含有,r,重极点,z,1,，即,系数,B,j,可由下式计算：,当,X(z),部分分式展开后，,可逐项求出其逆,z,变换,，从而获得,x(n),，,其中每一项都需要根据,ROC,决定是选择因果还是非因果序列：,例：若序列的,Z,变换如下，用部分分式法求该序列,解：根据部分分式展开,其中,因此,每个形如,z/(z-a),的部分对应因果序列,a,n,u(n),或非因果序列,-a,n,u(-n-1),由于给定的,ROC,为,1|z|2,，,因此,三、,Z,变换的性质,收敛域为公共区域,利用,Z,变换的性质，可不用求卷积和便可计算出,LTI,系统的输出,。,例,:,若,LTI,系统的冲激响应,h(n)=0.5,|n|,，,输入为,x(n)=u(n),，,求输出,y(n),。,解：,所以,卷积和定理,|z|0.5,将上式按部分分式展开,输出信号为,7.,系统函数、频率响应与冲激响应的关系,定义,：离散系统单位冲激响应,h(n),的,Z,变换称为,系统函数,。,若系统函数的,收敛域包含单位园,(,即,R,x,- 1 R,x,+,),，,则系统是,BIBO,稳定的。,绝对可和,单位园,定义,：离散系统单位冲激响应,h(n,),的,DTFT,称为,系统函数,。,(,以后介绍,),单位园上计算出的系统函数是系统的,频率响应,。,(,单位园上收敛，则当,z =,e,j,时，,Z,变换与傅立叶变换,DTFT,相等,单位园,单频信号,对于一个复指数序列,当经过一个,BIBO,稳定的,LTI,系统,(,Z,变换收敛域包含单位圆,),其输出,复指数函数是,LTI,系统的特征函数,，因为它的输出除了乘上一个特征值外，形式与输入信号完全相同。,系统的频率响应,是以,2,为周期的函数，仅需要用一个周期（数字频率,：,-,+,）,便能表述所有的信息。,例,:,一因果系统的传输函数,输入信号,试确定其输出信号,y(n),。,解,:,该系统因果且,所有极点,在单位圆内，故,收敛域包含单位圆,。,例,:,假设系统不变，输入信号为正弦波,试确定其输出信号,y(n),。,解,:,余弦信号为两个复指数信号之和，则,欧拉变换,幅频相应,相频相应,LTI,系统的频率响应函数反映了,系统是如何对各个不同频率信号成分产生作用的,。由于所有信号在频域可以表示为若干信号的求和形式，干扰信号也有类似的表示，,滤波器,设计的一个目的就是要去除或抑制干扰。,8.,用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性,系统函数可分解成下列形式：,c,i,是,H(z),在,Z,平面的零点，使,H(,c,i,)=0,；,d,j,是,H(z),在,Z,平面的极点，使,H(,d,j,)=,。,H(z),的收敛域是以极点为边界，但不包含这些极点的环形区域,:,1.,系统因果可实现：,满足,h(n,)=0 ,n0,，,单位冲激响应,为因果右边序列，其,Z,变换的收敛域定包括,点，收敛域是圆外的,Z,平面。,2.,系统稳定：,要求单位冲激响,h(n,),应绝对可和,对照,Z,变换定义，,H(z,),的收敛域包含单位圆；若 收敛域包含单位圆，系统一定稳定。,系统是稳定的：收敛域包含单位园的环形区域；,系统是因果的：收敛域是以通过离原点最远极点的园外区域；,系统是因果且稳定的：所有极点在单位园内。,9.,利用系统的零极点分布分析系统的频率特性,对,LTI,系统，其差分方程,:,其系统函数,:,系统可用零点,z,i,、极点,p,i,和增益,K,来描述：,Z,平面,两边求,Z,变换，利用序列移位性质,再求,H(z)=Y(z)/X(z),矢量差,系统频率响应,H(e,j,),的幅度函数和相位函数可用下式计算,(,图解法,),。其中，,q,为单位圆上的点，,对应角频率,q =,e,j,。,矢量差的长度,.,所有极点到,q,距离积除以所有零点到,q,距离积,1),系统函数的零点,z,1,=,e,j,1,在单位圆上：,2),系统函数的极点,p,1,=,e,j,1,非常靠近单位圆（从稳定性考虑，不能在单位圆上），,接近于,1,。那么，在,=,1,处,|,e,j,-p,1,|,非常小，所以幅度频率响应值非常大。,零点的位置主要影响频响的谷点位置及形状。用于限制特定频率通过。,极点的位置主要影响频响的峰值及尖锐程度。用于突出特定频率通过。,3),系统函数原点处的零或极点，由于零点矢量或者是极点矢量的长度始终为,1,，因此,原点处的零极点不影响频率响应,。,例：已知,H(z)=z,-1,，,分析其频率特性。,解：由,H(z)=z,-1,，,可知极点为,z=0,，,幅度特性,|H(e,j,)|=1,，,相位特性,（,）,=-,，,如下图所示。,4),系统函数的零极点对。在单位圆上有零点,z,1,=,e,j,1,，,非常靠近单位圆上有极点,p,1,=,e,j,1,，,矢量,(q-p,1,),和,(q-z,1,),几乎相同，零点和极点的作用几乎抵消，但可改善尖锐度。,为什么,?,例：假设一音频序列,s(n,),，抽样频率为,F,s,=12KHz,，,它受到一窄带（非常接近弦波的信号）信号,w(n),的干扰，如下图所示。设计一滤波器来消除这个干扰,。,解：信号的频谱范围,06KHz,，抽样后不会有混叠；干扰的频率为,F,0,=1.5KHz,。,1,）,频率指标的确定：因为要滤除干扰，滤波器的理想频率响应为,满足奈奎斯特抽样定理,其中,0,=2,(F,0,/F,s,)=,/4,弧度，它是干扰的数字频率。,2,）零点和极点的确定：在单位圆上设置零点,z,1,=,e,j,0,=,e,j,/4,和,z,2,=e,-j,0,= e,-j,/4,，,如令极点,p,1,=p,2,=0,和,K=1,，那么系统函数,:,为保证滤波器为实系数，零、极点需共轭设置,若,a,、,b,为实数，则,z-(a+jb)z-(a-jb,),=z,2,-2az+a,2,+b,2,所有系数为实数！,由上图可见，该滤波器也让,0,附近的信号严重失真。如果选择极点靠近零点且全部在单位圆内部，即,p,1,=0.95e,j,0,=0.95,e,j,/4,和,p,2,=0.95e,-j,0,= 0.95e,-j,/4,和,K=0.9543,，那么系统函数,:,为保证稳定，极点一定在单位圆内。,由上图可见，该滤波器性能改善了很多（,零极点近似对消的作用,）。,3,）时域差分方程的确定：,滤波后信号的频谱：,滤波前,滤波后,例,已知,H(z)=1-z,-N,，,试定性画出系统的幅频特性。,解：,零、极点图和收敛域，幅度频率响应如下图所示。,0,2,Rez,jImz,1,-1,2/N,Z,平面,梳状滤波器,N,个零点,N,阶极点,例,设线性移不变系统的系统函数,H(z),为,（,1,）在,z,平面上用几何法证明该系统是全通网络，即,（,2,）参数,a,如何取值，才能使系统因果稳定？画出极、零点及收敛域,解:,（1）,假设,a=0.6,，,极、零点分布图如右图所示。 等于极点矢量的长度除零点矢量的长度，按右图得到,因为,公用，,又因为,z,（,2,）只有选择,a1,使收敛域在不包含该极点的圆外才能使系统因果稳定。如设：,a=0.6,，,极、零点分布图及收敛域如下图所示：,或者按照余弦定理证明,稳定：极点单位圆以内,1.3,离散时间信号的傅立叶分析,各种傅立叶分析方法,时间域 频域,周期连续函数 傅立叶级数,FS,（离散、非周期）,非周期连续函数 傅立叶变换,FT,（连续、非周期）,非周期离散序列 离散时间傅立叶变换,DTFT,(,连续、周期,),周期离散序列 离散傅立叶级数,DFS,（离散、周期）,有限长离散序列 离散傅立叶变换,DFT,（离散、周期）,规律：,时,/,频 频,/,时,周 期 离 散,非周期 连 续,如正弦信号,如话音信号,如采样信号,如正弦序列,1.,周期信号：,1),现实中很多信号都存在周期性，如振动信号、电磁波等。,2),周期信号可以认为是由各种不同频率的弦波信号组成，这点正是傅立叶分析的目的所在。,定义：,如果对所有的,n,存在一个最小的正整数,N,，,满足,x(n)=x(n+N),，则,x(n),是周期序列，周期为,N,。,证,:,例,:,如果时域离散线性移不变系统（,LTI,）,的单位脉冲响应为,h,(,n,),，输入,x,(,n,),是以,N,为周期的周期序列，试证,y,(,n,),亦是以,N,为周期的周期序列。,线性移不变,例,:,因为,x,(,n,),以,N,为周期，所以,x,(,n+kN-m,)= x,(,n-m,),即,y,(,n,),也是周期序列，且周期为,N,。,周期性,一般弦波序列的周期性,:,设,若,那么,则要求,2.,周期信号的展开：离散傅立叶级数（,DFS,）,基信号：,选择一组复指数序列作为基信号,原因,:,1),复指数序列是线性移不变系统,(,LTI,),的特征函数，,借助频率响应可非常容易地获得响应的输出,；,2),对,N,而言，基信号都是周期的，因为对所有的,n,满足,3),基信号相互正交，因为对所有的,n,0,满足,=,N,，如果,k = m,周期信号的展开：将,周期,信号,x(n,),号展开为,N,个复指数基,信号之和：,式中,N,个系数,a,0,a,N-1,可利用复指数信号的正交性来计算,因此，系数,a,k,可按下式计算,若令,X(k)=,Na,k,可获得周期离散信号的傅立叶级数,(,DFS,),表示对,DFS,和,IDFS,分别表示离散傅立叶级数和反,傅立叶级数,。由于,x(n),和,X(k),具有周期性，,n,0,和,k,0,的取值与最终结果无关,。,例：一个周期为,N=10,的序列定义如下,它被称为方波序列。,计算离散傅立叶级数,DFS,该方波序列可表示为若干个复指数信号之和,其中利用了,e,j7(,/5)n,=,e,j3(,/5)n,和,e,j9(,/5)n,= e,j (,/5)n,。,例,:,一时域离散线性移不变系统（,LTI,）,的差分方程描述为,则其系统函数和频率响应为,如果输入上例的方波信号，其输出也为周期,10,的信号，输出的,DFS,为,时域卷积和对应频域乘,H,（,k ),对,DFS,进行反变换可获得输出序列,y(n),的一个周期，如下图所示。,3.,有限长信号的展开：离散傅立叶变换,(,DFT,),一个有限长离散信号可看作一个周期信号的一个周期。从,DFS,的,时域,和,频域,中各抽出一个周期，便可得到时域有限长离散信号和频域有限长序列之间的傅立叶变换关系，称为,离散傅立叶变换,（,DFT,，,有限长序列的一种傅立叶表示,）。,令 ，上面的变换对可写成,DFT,说明任何长度为,N,的序列,x(n),可以展开为若干复指数信号,e,j,n,之和,，它们的频率分别为,=0,，,2,/N,(N-1),2,/N,。,例,:,一有限长序列如下图所示,其,DFT,与上例周期信号的,DFS,相同。,DFT,是傅立叶变换家族中唯一能进行数值计算的。有很多高效算法，如快速傅立叶变换（,FFT,）,。,4.,一般信号的展开：离散时间傅立叶变换,(,DTFT,),任何一个非周期无限长离散信号可看作一个周期无限长的信号，即无限长信号,x(n),是周期序列,x,N,(n,),当,N,趋于无限时的极限,考察,x,N,(n,),的一个周期,- (N/2),n ,(N/2),，由,DFS,可得,DFS,序列,X,N,(k),可看作是一个周期内连续函数,X,N,(e,j,),的抽样,根据,IDFS,的定义，当,时，可得,其中,=2,/N,。,根据黎曼积分理论，上述极限收敛于如下积分,上述两个公式给出了离散时间信号,x(n),展开成复指数信号,e,j,的形式。而,X(e,j,),是以,2,为周期的。,因此，将积分限移位,，,定义,离散时间傅立叶变换,(,DTFT,),和其逆变换,(,IDTFT,),为,例,:,下图为一矩形序列，其,DTFT X(e,j,),可如下计算,利用,1=e,j,M/2,e,j,M/2,和,e,j,M,= e,-j,M/2,e,j,M/2,，则,幅度谱,|,X(e,j,)|,如下图所示。,DTFT,主瓣,旁瓣,5.,复指数序列,和正弦序列的,DTFT,当信号本身就是一个复指数信号（,x(n,) = e,j,0,n,，,-,0.5,。,单位圆在收敛域内，此时,2)X(e,j,),和,X(z),都存在，但两者不同。当单位圆,|z|=1,不在收敛域中，两者之间不能用,z=,e,j,联系。,例：,x(n)=u(n),其,z,变换,X(z)=z/(z-1),，,|z|1,。,单位圆不在收敛域内，此时,3),X(z,),不存在，但,X(e,j,),存在。,前面,x(n)=,e,j,0,n,就是这种情况。,4),X(z,),存在，但,X(e,j,),不存在。,例如,x(n)=a,n,u(n),且,|a|1,其,Z,变换,X(z)=z/(z-a),且,|z|a|1,。,5),X(z,),和,X(e,j,),都不存在。,例如,x(n,)=a,|n|,且,|a|1,。,1.4,连续时间信号的傅立叶分析,连续时间信号的傅立叶分析要求同学们课外复习！,