数学建模与数学试验概述课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一章,数学建模与数学实验概述,一、 数学科学的重要性,由于数学的重要性和广泛应用，在国际上,“,数学,”,（,Mathematics,）已逐渐被,“,数学科学,”,(Mathematical Sciences,）代替,.,第二次世界大战后，新技术、特别是高技术像雨后春笋般出现,.,数学的应用，从传统的机械制造等领域迅速扩展到这些高新技术中,.,目前，数学在航空航天技术，先进制造技术，信息技术，网络技术和网络安全，能源勘探开发，环境保护和生态，经济管理，城市规划和交通，基因工程和生物信息技术，生物医学和疾病防治等方面起着非常重要的作用,.,科学技术是第一生产力,.,*,信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；,*,“,高技术,”,本质上是一种数学技术,(,Mathematical-Technique),；,*,数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 的技术；,*,产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术,.,*,计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；,二、数学模型与数学建模,数学模型,(,Mathematical Model,),:,重结果；,数学建模,(,Mathematical Modeling,):,重过程,模型,:,所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质,.,*,对实体本身的模拟,如,:,飞机形状进行模拟的模型飞机；,*,对实体某些属性的模拟,如,:,对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机,；,*,对实体某些属性的抽象,如,:,一张地质图是某地区地矿情况的抽象,任何一个模型仅为真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现,.,数学模型,(,E.A.Bendar,定义,),：,关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构,.,数学模型是现实世界简化而本质的描述,.,是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述,.,治愈 瘫痪 死亡,状态,（可能）,行动,（人能控制）,等待,治疗,例,1.1,大夫的决策问题,可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定,及治疗原则等,.,此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果,.,数学模型是思考的工具,构造一个数学模型可帮助我们进行交流、,获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程,.,数学建模,：创立一个数学模型的全过程,是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程,.,数学建模法是一种数学的思考方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具,.,例,1.1,生物医学专家根据药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，可用来分析药物的疗效，有效地指导临床用药,.,例,1.2,.,厂长,经理们,筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，可获取尽可能高的经济效益,.,诺贝尔经济学奖获得者,建立了大量的数学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：,人类时间价格模型；,教师与毕业生的增长模型；,房屋出售问题模型；,最优消费和组合投资问题；,Selton,连锁店博弈模型；,平稳人口模型；,固定汇率和浮动汇率的货币动力学,人类时间价格的度量；,考虑技术进步的生产函数,.,三、,从现实世界到数学模型,数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁,面对各类问题如何建立数学模型？,1.,世界的末日？,当一个直径约为,1000,米的小行星正好在南极与南极洲大陆相撞,是否会产生灾难性的影响？,2.,如何控制喷泉的高度？,如何智能实时控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？,3.,地球会变暖了吗？,能否根据地球过去,50,年的温度数据，推测地球气温将怎样变化？是否会即将出现“千年极寒”？,4.,如何安排城市交通？,巴黎凯旋门,在城市的交通要道，设置人流、汽车流的交通规则，避免交通阻塞，提高交通安全性,.,数学模型是对于现实世界的一个,特定对象,，为了一个,特定目的,，根据,特有规律,做出必要的,简化假设,，运用适当的数学工具建立的一个,数学结构,.,现,实,世,界,数,学,世,界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答,对现实对象的描述、分析、预报、,决策、控制等结果,始于现实世界并终于现实世界,例,1.3,一场笔墨官司,美国原子能委员会（现为核管理委员会）处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能很好的圆桶中，然后扔到水深,300,英尺的海里,.,他们这种做法安全吗？,分析,可从各个角度去分析造成危险的因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能,.,联想,：安全 、危险,问题的关键,1,）,圆桶至多能承受多大的冲撞速度？,(,40,英尺,/,秒,),2,）,圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,问题转为,求这种桶沉入,300,英尺的海底时的末速度,.,（原问题是什么,?,）,可利用的数据条件,：,圆桶的总重量,W,=527.327,（磅）,圆桶受到的浮力,B,=470.327,（磅）,圆桶下沉时受到的海水阻力,D=,Cv,，,C,=,0.08,思路,利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移,y,(,t,),满足的微分方程：,方程的解为,计算触底时的碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间,t,0,=,？,分析,考虑圆桶的极限速度,713.86,（英尺,/,秒）,40,（英尺,/,秒）,实际极限速度,与圆桶的,承受速度,相差巨大！,结论,解决问题的方向是正确的,.,解决思路,避开求,t,0,的难点,令,v,(,t,)=,v,(,y,(,t,),其中,y,=,y,(,t,),是圆桶下沉位移,代入,(1),得,两边积分得函数方程：,若能求出函数,v,=,v,(,y,),就可求出碰撞速度,v,(300),.(,试一试,),*,用数值方法求出,v,(300),的近似值为,v,(300)45.41,（英尺,/,秒）,40,（英尺,/,秒）,*,分析,v,=,v,(,y,),是单调上升函数，而,v,增大,y,也增大,可求出函数,y =,y,(,v,),两种解决思路：,令,v,=40,(,英尺,/,秒,),，,g,=32.2,(,英尺,/,秒,),y =,238.4,(,英尺,),300,（英尺）,问题的,实际解答,：,美国原子能委员会处理,放射性废物的做法是极其危险的，必须改变,.,算出,例,1.2,渡口模型,(P22,实例六,),一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长,32,米,可以并排停放两列车辆的渡船,.,他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置,才能,安全,地运过,尽量多,的车辆,.,分析,怎样安排过河车辆，关心一次可以运,多少辆各类车,.,准备工作,观察数日，发现每次情况不尽,相同，得到下列数据和情况：,(,1),车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；,这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循,“,先到先服务,”,的随机排队问题,.,(,2),来到车辆中,轿车约占,40,，卡车约占,55,摩托车约占,5,；,(3),轿车车身长为,3.5,5.5,米,卡车车身长为,8,10,米,.,解决方法,采用模拟模型方法,.,分析,需考虑以下问题,：,(1),应该怎样安排摩托车？,(2),下一辆到达的车是什么类型？,(3),怎样描述一辆车的车身长度？,(4),如何安排到达车辆加入甲板上两列车队,中的哪一列中去？,解决问题思路：,(1),认为摩托车不会占有实际空间,.,(2),确定即将到达车辆类型，利用,随机模拟方法,0,0.55,0.95,1,卡车,轿车,摩托车,(3),确定随机到达车辆的身长车,.,汽车类型及车身长模拟原理分析,(4),关于车辆的排放,.,甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为,322=64,米,排放原则 两列尽可能均衡,.(,怎样实现？,),据人口学家们预测,到,2033,年,世界人口将突破,100,亿,每年增加近,1,亿人口,以后还会迅猛增长,.,人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长,.,现建立数学模型,来,预测人口,的,增长,.,分析,设任意时刻的人口总数为,N,(t,),，,影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？,例,2.3,人口增长模型,影响因素,个体的出生、死亡,迁入、迁出,年龄结构,性别 比例,现仅考虑出生和死亡对人口数的影响,.,在,时间段,t,内，出生和死亡人口数的,变化,将依赖于以下因素：,1.,时间间隔,t,的长短,；,2.,时间间隔开始时的人口基数,.,1.,建模过程,做最简单的假设：,时间间隔,t,内的出生人数,=,b,N,(t),t,时间间隔,t,内的死亡人数,=,d,N,(t),t,b,和,d,分别是出生率和死亡率,.,得到一个初始模型,N,(,t+,t,),N,(,t,),=,(,b,d,),N,(,t,),t,（,1,）,针对时间区间,t,的两种情况进一步讨论：,1,）,t,是一个确定的单位时间,(,比如,t,=1,年,),令,N,k,=,N,(,k,)=,N,(,k,t,),k,=1,2,3,得到关于序列,N,k, k,=1,2,3, ,的差分方程,:,N,k+,1,=,(,b,d+,1),N,k,k,=1,2,3,（,2,）,根据上一年的人口数可推算出第二年的人口数以及逐年的人口数,.,2,）,在很短的时间区间,t,内，将人口数,(,t,),视为一个连续变量,.,具有很小跃变的曲线可视为平滑曲线,将,(,1),改写为,令,t,0,有,（,3,）,模型分析,等式左端（以及右端）可以理解,为,“,相对增长率,”,对相对增长率做不同的假设可以建立不同的数学模型，并得到不同的解曲线,.,1,）,假设人口净增长率,b,和净死亡率,d,均为常数，净相对增长率,r=,b,d,也是常数,.,初始条件,N,0,=,N,(0),，方程,(3),的解为,N,(,t,) =,N,0,e,rt,t,0,模型分析,假若净增长率,r,0,人口的预测值将以,e,r,为公比按几何级数无限增长,.,（参见,P60,例,3.4.6,）,原因,假设条件过于简单,.,不太符合实际,英国神父,Malthus,在分析了一百多年人口统计资料的基础上建立的模型,.,实际上随着人口不断增长，环境资源所能承受的人口容量的限制，以及人口中年龄和性别结构等都会对出生和死亡产生影响，只能在极小的时间段内才可以把人口净增长率,r,近似地看着常数,.,3.,模型改进,将,“,人口净增长率,”,视为函数,r,(,N,),方程,(3),改为,（,4,）,解得,由于,r,N,(,t,),是未知函数,无法确定,N,(,t,).,将净增长率,r,看成人口数,N,的线性函数,设,r,(,N,),=a+ c N,并设,r,(0)=,r,且存在一个数值,K,使,r(,K,)=0.,即有,求解得,r,(,N,)=,r,( 1,N,/,K,),，,4.,进一步,改进,代入式,(,4),中,有,得到,Logistic,模型：,模型分析,模型实际检验,用,Malthus,模型和,Logistic,模型计算所得的美国十九世纪初人口预测数,.,其中,K,=197273000,，,r,=0.03134.,合乎实际,练习题,请绘出,Logistic,曲线图,分析曲线特征,据此讨论：,1,.,Logistic,模型具有哪些特点？,3.,请将此例的人口模型与新产品销售模型,（讲义,P20,实例五）进行类比,它们在建模方,法和模型描述方面有什么异同处,?,2,.,比较两个人口模型的优缺点,.,