《高等工程力学》第6章_线弹性断裂力学(正式).

第6章 线弹性断裂力学,6.1,断裂分析的能量方法,6.2,临界应变能释放率的确定,6.3,应力强度因子,6.4,材料的断裂韧度,6.5,应用权函数法计算应力强度因子,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用,6.7,确定应力强度因子的其他方法,6.8,线弹性材料的断裂判据,6.9,小结,6.1,断裂分析的能量方法,英国物理学家,Griffith,的基本观点：,在裂纹扩展过程中，由于物体内部能量的释放所产生的裂纹驱动力导致了裂纹的增长。同时，也存在着阻止形成新的裂纹面积的阻力，即在裂纹增长过程中，物体中驱动裂纹增长的动力与阻止裂纹增长的阻力是平衡的。这一能量平衡方法成为材料和力学科学发展史上最著名的贡献之一。下面将简单介绍这一方法。,材料在单向应力作用下，应变比能为,6.1,断裂分析的能量法,1,（6-1）,式中，,V,为体积；,F,为力；,A,和,l,分别为截面积和长度。,对于线弹性材料（,E,），则应变比能为,（6-2）,6.1,断裂分析的能量方法,2,如图,6-1,所示，当裂纹长度增长至,a,时，在裂纹的两侧形成了自由表面，由于卸载导致了应变能的释放。比较裂纹扩展前后的总应变能就可以得到能量释放率或称为裂纹驱动力。而在,Griffith,时代，要进行这样的计算并不容易，他所能解决的算例是受到单向均匀拉伸的无限大平板，带有穿透板厚的中心裂纹问题。他利用,Inglis,的无限大平板带有椭圆孔的弹性解析解，令椭圆的短轴趋近于零，单向均匀拉伸应力的方向与椭圆的长轴垂直，得到了单位厚度板的总应变能释放量为,图,6-1,含中心裂纹的板,（6-3）,6.1,断裂分析的能量方法,3,应变能是由裂纹扩展释放出来的，而在形成裂纹的过程中，材料内部的结合键将发生断裂，所引起的能量被材料吸收，产生了与裂纹扩展长度,a,相关联的表面能,（6-4）,式中，,为单位面积表面能，单位为(,J/m,2,)；系数,2,是因为形成了两个自由表面。,令总能量,E,s,V,的导数为零，可得到临界裂纹长度值,（6-5）,式中的,f,表示该应力满足了裂纹扩展的必要条件，即裂纹尖端区释放的应变能等于形成裂纹面积所需的表面能。,求解上式得到,（6-6）,6.1,断裂分析的能量方法,4,Griffith,早期的工作涉及的只是脆性材料，如玻璃等。当材料具有明显的塑性或延性性能时，仅考虑表面能便难以提供精确的断裂模型。于是，后人对,Griffith,模型作了一些修正：对于延性材料，在断裂的过程中所释放的能量主要耗散在裂纹尖端附近材料的塑性流动中，满足这些能量耗散的应变能释放率称为,临界应变能释放率,，用,G,C,表示，于是，式(,6-6,)改写为,此表达式中包含了影响断裂过程的,3,个重要因素：材料性能、应力水平和裂纹尺度。对于无限大板，临界裂纹长度并不取决于包含裂纹的结构尺寸，而是一个绝对数值。每当裂纹向前扩展一个小的增量，在裂纹附近的卸载区，材料将释放部分应变能。由图,6-2,可见，当裂纹从三角形区域,1,扩展到,2,时，部分的应变能被释放，在裂纹后面的三角形区域内应力可视为零，而裂尖前部的材料仍然可以继续承担荷载。,（6-7）,图,6-2,当裂纹从三角形区域,1,扩展到,2,时，部分,的应变能被释放,6.1,断裂分析的能量方法,5,例,6-1,铝合金圆柱形管道的,G,C,20,N,/,mm,，,E,70,GPa,，,由于管道内压力引起的环向应力为,300,MPa,，求在此应力的作用下，裂纹的可能扩展长度。,解,应用式(,6-7,)有,显然，裂纹在扩展至这一长度之前可以被检测到。由此看出，防止初始裂纹的产生，避免裂纹的扩展是极其重要的。,在例,6-1,中，没有给出引起管道环向应力的内压力是液体还是气体。如果是气体，由于其可压缩性，其潜在的危害还要加重，裂纹扩展的长度还要长。,6.2,临界应变能释放率的确定,确定临界应变能释放率,G,C,的方法不限于一种，其中一种称为柔度法。变形与荷载的比值为柔度，即,c,-,/,F,。,总应变能可以表示为柔度,c,的形式,例如，双悬臂梁试件的柔度，可以作为裂纹在试件上扩展长度,a,的函数，它可从试验中量测。应变能释放率可以由应变能对裂纹长度的导数求得,（6-8）,（6-9）,上述结果都是由单位厚度试样得到的。当外荷载达到临界值,F,F,cr,（,F,cr,为裂纹扩展至一定长度,a,cr,时，所需施加的临界荷载），对于厚度为,b,的试件，其裂纹驱动力的临界值,G,cr,表示为,（6-10）,6.2,临界应变能释放率的确定,2,以图,6-3,所示的矩形截面（厚度和高度分别为,b,和,2,h,）双悬臂梁试件为例，由小变形挠曲线的微分方程，梁在自由端的挠度值为,其中， ，梁的柔度为,图,6-3,双悬臂梁的断裂试件,由式(,6-10,)可以得到临界应变能释放率为,（6-11）,6.3,应力强度因子,6.3.1,裂纹的基本类型,裂纹基本类型：,类型（张开型），其裂纹表面位移彼此相反，方向均垂直于裂纹的扩展方向，这是工程上常见的裂纹形式；,类型（滑开型），裂纹上下表面位移也彼此相反，一个沿着裂纹扩展方向，另一个背离扩展方向；,类型,（撕开型），裂纹上下表面产生方向相反的离面位移，如图,6-4,所示。,图,6-4,断裂模型,a)张开型 b)滑开型 c)撕开型,6.3,应力强度因子,2,在断裂的过程中，裂纹尖端处要释放出一定的能量。因此，裂纹尖端附近的应力场和应变场必然与此裂纹尖端处的能量释放率有关，如,6.1,节所述。若裂纹尖端附近应力一应变场的强度足够大，断裂即可发生，反之不发生断裂。,因此，必须寻求裂纹尖端附近应力一应变场的解答。近代断裂力学是用弹性力学的解析方法得到了这些解答。,6.3,应力强度因子,3,6.3.2,二维型裂纹,二维的型裂纹问题，如图,6-5,给出一个以裂纹端点为原点的坐标系。,x,方向是裂纹扩展方向，,y,方向是裂纹面的法线方向，,z,方向则是离面的方向。考虑一个离裂纹端很近、位置在极坐标（,r,，,）的平面问题的应力单元，由,Westergaard,应力函数法给出裂纹尖端区域应力场的解析解为。,图,6-5,平面问题的应力单元,式中，,K,称为,应力强度因子,，它是衡量裂纹尖端区应力场强度的重要参量，下标表示为型（张开型）裂纹。类似地，可以推导出型和型裂纹的,K,和,K,。,（6-12）,6.3,应力强度因子,4,在裂纹尖端区，即,r,足够小的情形下，式(,6-12,)中,r,的高次项比首项小得多。因而可以忽略。当裂纹尖端区应力场的形式恒定时，其强度完全由应力强度因子的大小来确定。由于材料为线弹性，裂纹尖端区的应变场和位移场可以由弹性力学公式得到。注意到当,r,0时，即在裂纹端点，应力分量都会趋于无穷大。这种特性称为应力奇异性，产生的原因是因为裂纹端点是几何上的不连续点。,由于,3,种基本裂纹类型裂纹尖端区的应力、应变、位移和应变能密度都可以由应力强度因子来决定，因此,应力强度因子可以作为表征裂端应力应变场强度的重要参量,。现代断裂力学，得益于,Irwin,在,20,世纪,50,年代提出了应力强度因子的概念，将早期由,Griffith,开创的断裂力学发展而形成了线弹性断裂力学的构架。,6.3,应力强度因子,5,在工程应用时，要计算应力强度因子。其计算方法主要有解析法和数值法两种，前者包括应力函数法和积分变换法等，后者包括有限元法和有限体积法等，这些都需要较为高级的数学和力学手段，以及复杂的数值计算。为了便于工程应用，根据不同的裂纹形式、加载方式和几何尺寸，文献或手册中给出了大量的应力强度因子的表达形式。,图,6-6a,表示几何对称与受力对称的含孔边裂纹有限大矩形板。对于各向同性材料，各种高宽比条件下，含孔边对称裂纹有限大板应力强度因子,K,(型)的公式为,图6-6 几何对称的含孔边裂纹有限大矩形板,a)对称受力 b)反对称受力,（6-13）,式中因数 为大于或等于1的值，其具体数值解答请见参考有关文献。,6.3,应力强度因子,6,图,6-6b,表示几何对称而受力反对称的含孔边裂纹矩形板，含孔边对称裂纹有限大板应力强度因子,K,，即平面剪切型裂纹的公式为,（6-14）,式中，因数 为大于或等于,l,的值，其具体数值解答请见参考有关文献。,6.3,应力强度因子,7,6.3.3,二维型裂纹和型裂纹,对于图,6-5,中平面问题的应力单元，类似关于,型裂纹的推导，可以给出平面剪切型(型)裂纹的应力强度因子,K,。裂纹尖端附近的应力场为,另外，还可以给出反平面剪切型(型)裂纹的应力强度因子,K,。裂纹尖端附近的应力场为,（6-15）,（6-16）,式中 它取决于反对称离面荷载,S,y,与裂纹半长,a,。,6.3,应力强度因子,8,6.3.4,关于应力强度因子的讨论,从以上三种类型裂纹的应力强度因子的表达式中，可见在裂纹尖端附近，应力场具有,r,-1/2,的奇异性。只要存在荷载，应力就趋于无穷大。按照传统的强度观点，任何材料都不能够承受如此之大的应力，其结构都注定要破坏。然而，事实并非如此，只有当荷载达到某一数值时，裂纹才会扩展，导致结构丧失承载能力。这说明采用应力作为控制参数所建立的强度判据，已经不能反映含裂纹构件的实际承载能力。因此，必须选择新的控制参数并建立新的强度判据。,当应力强度因子已知时，即可确定裂纹尖端附近任意点(坐标(,r,)的应力状态。对于型裂纹，裂纹尖端附近应力状态关于裂纹及其延长线是对称的，在该延长线上只有正应力，而切应力为零；对于型裂纹，裂纹尖端附近的正应力(,x,y,)是关于,的奇函数，切应力是关于,的偶函数，因此，裂纹尖端附近应力状态关于裂纹及其延长线是反对称的，在该延长线上只有切应力，而正应力为零。,总之，应力强度因子是判定裂纹尖端附近整个应力场强度的物理量，线弹性断裂力学的主要任务就是确定含裂纹构件的应力强度因子。,6.3,应力强度因子,9,6.3.5,均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场,考察裂纹尖端附近的位移场，我们仍然采用以裂纹尖端为原点的局部极坐标(,r,)，如图,6-7,所示。考虑到型和型裂纹，给出均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场的表达式。,（6-17）,式中,对于型裂纹的位移，令上式中,K,0，,u,x,是,的偶函数，,u,y,是,的奇函数；对于型裂纹的位移，令上式中,K,0，,u,x,是,的奇函数，,u,y,是,的偶函数。两者在裂纹尖端附近共轭点的位移示于图,6-7,中，可见型位移对称于裂纹及其延长线；型位移反对称于裂纹及其延长线。在裂纹上下表面上，对于型问题仅有张开位移,u,y,，即,6.3,应力强度因子,10,（6-18）,图6-7 均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移,可见,u,y,呈抛物线型分布，如图,6-7,所示。型位移垂直于裂纹，呈平面张开型。在裂纹上下表面上，对于型问题仅有前后移动,u,x,，即,6.3,应力强度因子,11,（6-20）,（6-19）,对于型裂纹，含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近位移场的表达式为,可见,u,x,分布也是呈抛物线型。型位移平行于裂纹，呈平面剪切型。,可见，离面位移,u,z,是,的奇函数，型位移反对称于裂纹及其延长线。,6.3,应力强度因子,12,6.3.6,有限大体含椭圆裂纹受任意拉力的应力强度因子,前面几节讨论了求解二维平面裂纹的应力强度因子，本节将给出图,6-8,所示含椭圆裂纹或者表面半椭圆裂纹的三维有限大体的应力强度因子。,首先建立应力强度因子,K,与裂纹张开位移,u,的关系。将裂纹张开位移的平方写成如下形式,式中，,H,(,x,z,)是假定的已知函数，满足,H,(,0,0)1和,H,(,x,1,z,1,)0；,u,0,是位移场的待定幅值。如图,6-8a,所示，这里(,x,z,)是裂纹表面上的任意点，(,x,1,z,1,)是裂纹前缘上的任意点。,（6-21）,图,6-8,含有椭圆裂纹或者表面半椭圆,裂纹的三维有限大体,6.3,应力强度因子,13,在裂纹前缘上的任意点,A,(,x,1,z,1,)附近，应用泰勒级数展开式(,6-21,)，略去高阶小量，并应用,H,函数满足条件，可得法向切片裂纹张开位移的平方如下,过点,A,(,x,1,z,1,)作平行于,x,轴的横截面与平行于,z,轴的纵截面，它们都垂直,xz,平面。在点,A,的邻域中，以上两种截面的裂纹张开位移分别为,（6-22）,（6-23）,（6-24）,于是，由式(,6-21,)式(,6-24,)，在裂纹前缘的,A,点附近，法向切片裂纹张开位移的平方为,（6-25）,6.3,应力强度因子,14,显然，裂纹前缘任意点的位移为两个正交面上位移的矢量和。引入法向切片上距裂纹前缘为,r,的一点坐标为,将式(,6-26,)代人式(,6-22,)，可得在法向切片上裂纹张开位移为,（6-26）,（6-27）,假定沿,y,方向的法向切片在裂纹前缘附近的裂纹张开位移与应力强度因子具有如下关系,（6-28）,式中，,E,n,称为广义弹性模量，表示成,（6-29）,对于深埋裂纹，法向切片处于平面应变状态，可以取,（6-30）,6.3,应力强度因子,15,对于表面裂纹，法向切片从甲,0处平面应力状态过渡到,/2处平面应变状态。从而，可以取,由式(,6-27,)与式(,6-28,)，可得法向切片的应力强度因子与裂纹张开位移的关系为,法向切片的总能量释放率为,（6-31）,式(,6-33,)给出了能量释放率，或者应力强度因子，与广义弹性模量和裂纹张开位移之间的关系。本节分析了含椭圆裂纹或者表面半椭圆裂纹的三维有限大体的应力强度因子，三维裂纹弹性体上某点的位移实质是由正交面上平面切片位移的矢量和给出。这也说明了二维问题的解答是分析三维问题的基础。,（6-32）,（6-33）,6.4,材料的断裂韧度,应力强度因子的临界值,K,C,称为材料的断裂韧度，下脚标表示为型裂纹。裂纹长度,a,、材料断裂韧度,K,C,与裂纹端点正前方能够使裂纹面张开的拉伸应力,f,之间的关系可以表示为,式中为几何参数。对于各种情况的值，可以查表，也可以通过解析和数值计算得到。,在6.1节中介绍了能量释放的观点和,Griffith,的断裂判据。考虑裂纹扩展时满足能量耗散的应变能释放率式(,6-7,)，注意到这里讨论的是型裂纹，因此有,式中，,G,C,是比较裂纹扩展前后的总应变能所得到的能量释放率或称为裂纹驱动力。,（6-34）,（6-35）,6.4,材料的断裂韧度,2,在断裂力学的研究中，关注能量释放率与应力强度因子之间的关系，因为前者是后者的基础，它们分别从能量和应力场的观点描述了裂纹的扩展或者止裂。若令式(,6-34,)中,1，代人式(,6-35,)，考虑到平面应变的,E,1,E,/(1-,2,)，可得到平面应变下应力强度因子和能量释放率,G,C,之间的关系,式中，,E,为弹性模量；,为泊松比。,在断裂的过程中所释放的能量主要耗散在裂纹尖端附近材料的塑性流动中，对特定的材料，上述能量耗散过程中所需要的应变能释放率称为临界应变能释放率，用,G,cr,来表示，这样式(,6-34,)可重新记为,它体现了在断裂过程中所涉及的3个方面因素：材料、应力水平和裂纹尺度。,（6-36）,（6-37）,6.4,材料的断裂韧度,3,在表,6-2,列出了各种典型材料的,G,C,和,K,C,，以及它们的弹性模量,E,。由于材料的性质不同，这些值也相差甚远，例如：某些聚合物的断裂韧度很高，而坚硬的合金钢使裂纹不能任意扩展。,表6-2 材料的断裂韧度,材 料,G,C,/kNm,-1,K,C,/MPam,1/2,E,/GPa,合金钢,铝合金,聚乙烯,低碳钢,橡胶,热固化增强玻璃,聚苯乙烯,木材,玻璃,107,20,20,12,13,2,0.4,0.12,0.007,150,37,50,2.2,1.1,0.5,0.7,210,69,0.15,210,0.001,2.4,3,2.1,70,6.4,材料的断裂韧度,4,例6-2,承受内压的铝合金管状容器，直径,0.25m,，壁厚,5mm,，材料的屈服强度,330MPa,，断裂韧度 安全系数,0.75,和,1，试确定安全使用压力和最大允许裂纹长度。,解,能使容器环向应力达到屈服强度的最大内压力为,由式(,6-34,)，最大允许裂纹长度为,当小于、等于这一裂纹长度时，可以对裂纹进行检测和修补；当大于这一长度时，裂纹可能迅速扩展。,6.5,应用权函数法计算应力强度因子,应力强度因子与裂纹几何和荷载形式有关，后两者的组合可以派生出许多种情况，从而使应力强度因子的求解变得很复杂。,权函数法给出了解耦分析这二者影响的途径。针对任一裂纹几何，均可求出适用于该几何的权函数，而该裂纹几何在任意荷载下的应力强度因子和位移场都可以由该荷载经权函数加权积分获得。,应用权函数法计算应力强度因子的步骤如下：,(1)对任一指定裂纹构形，利用该构形的任何一个已知应力强度因子,K,*,和位移解答,u,*,，计算权函数,式中，,E,E,（平面应力）； （平面应变）。如此求得的权函数与加载无关，仅反映了裂纹构形的特征。,(2),由权函数 可计算任何其他面力荷载,t,和体力荷载,f,下的应力强度因子,（6-38）,（6-39）,式中积分的面域A和力边界,如图,6-9,所示。,6.5,应用权函数法计算应力强度因子,2,在以上的计算中，应注意在能量释放率和应力强度因子之间的关系中只允许裂纹尖端的单侧扩展。,(3)由计算所得的应力强度因子和权函数可积分求解该荷载作用下的位移场,（6-40）,下面，应用图6-10举例说明权函数法的概念和分析过程。在含中心穿透裂纹无穷大平板裂纹面上作用有任意分布对称荷载,p,(,x,)，在无穷远处无荷载作用。为了求解右端裂纹尖端的应力强度因子，利用表6-1中含中心裂纹无穷大平板在远方均匀拉应力作用下的解来求解图6-10的问题，即,图6-9 由裂纹几何和荷载 图6-10 裂纹面上作用有任意分布,形式构造权函数 对称荷载的应力强度因子,6.5,应用权函数法计算应力强度因子,3,按照图6-10所示的坐标与符号，由裂纹尖端处型位移的解答，式(6-18)改写为,（6-41）,用式(6-17)，改写上式得到,将以上两式代人式(6-38)可得权函数为,将式(6-41)取号代人式(6-39)，可得右端应力强度因子为,（6-42）,6.5,应用权函数法计算应力强度因子,4,对于裂纹面中点作用上下集中力F的特殊情况，令,式中方为,Kronecker,记号，将其代人式(6-42)可得右端应力强度因子为,权函数方法实质上属于能量差率方法的范畴。这种方法的优点表现在，如果对于固定结构几何形式已知某种荷载状态下的解答，则可得到其他荷载状态下的闭合解。如果以上前提不成立，这种方法就无能为力了。同时，这种方法也不能求解三维问题。,（6-43）,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用,6.6.1 计算应力强度因子的叠加原理,对于经典的开裂结构，在不同荷载作用下的应力强度因子表达式都有手册和图表可查。然而，在工程结构的断裂力学分析中，有时所需的应力强度因子往往较为复杂，很难从现有的资料中查到。如果材料的本构关系是线弹性的，可以采用叠加原理求得应力强度因子。,叠加法除了线弹性和小变形的限制外，还要求裂纹面最终是张开的。常见的方法有荷载的分解和叠加。如图6-11a所示的双向应力作用下孔边裂纹的应力强度因子，可以通过将双向应力分解为两个单向应力作用的叠加，二者分别为图6-11b和图6-11c所示。于是有,（6-44）,式中而,K,I,(,b,)和,K,I,(,c,)可以从现有的手册中查到。,图6-11 计算应力强度因,子的叠加原理,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用2,以上是同型裂纹（型）应力强度因子的叠加。两个以上的外荷载同时作用于一个带裂纹的结构，若此时的裂纹问题与每个荷载单独作用时是同一型裂纹，则应力强度因子为每个荷载单独作用时的应力强度因子之和。如果结构在几种或者特殊荷载作用下，产生了复合型裂纹，则各型应力强度因子是在将荷载分解后各型裂纹问题的应力强度因子本身的叠加。,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用3,6.6.2 受均布荷载含中心裂纹无限大板,在表6-1中第1行，给出了无限大平板有长度2a的中心裂纹，受到无穷远处单向均匀拉伸的应力强度因子，本节将应用能量释放率和叠加原理给出公式的证明。,如图6-12a所示的情况，可以视为由图6-12b和图6-12c两种情况的叠加，于是有,图6-12 无限大平板有长度2a的中心裂纹,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用4,显然，图6-12b等价于无裂纹的情形，故,和,进而，采用能量释放率方法确定,K,I,(,c,),。,假定在图6-12,c,中，裂纹表面位移分量,u,具有椭圆型分布规律，即,（6-45）,其中，,u,0,是,x,0,上的最大位移。它是一个待定参数，如图6-13所示。,引入,图6-13 裂纹表面位移分量,u,具有椭圆型分布规律,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用5,式(6-45)可以写成如下形式,在裂纹尖端附近，,r,a,，保留一阶小量，上式可以简化为,这表明，在裂纹尖端附近的裂纹面上，位移,u,呈抛物线型分布。,（6-46）,在平面应力情况下，对于型问题，在裂纹尖端附近的裂纹面上，位移可由式(6-17)表示如下,（6-47）,比较式(6-46)和式(6-47)，可知,（6-48）,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用6,由式(6-36)，对于平面应力情况，可知,另一方面，为了确定能量释放率,G,，给出图6-12,c,的总势能表达式,h,为板厚，将式(6-46)代人式(6-50)，经积分可得,系统能量释放率为裂纹扩展单位面积所需要的势能，即,将式(6-51)代人上式，可得,（6-49）,（6-50）,（6-51）,（6-52）,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用7,比较式(6-49)与式(6-52)，我们有,式(6-53)是关于u0的一阶常系数非齐次伯努利方程，其解为,其中,C,1,是由边界条件确定的积分常数。,令式(6-54)右侧的分子和分母同时除以,a,，当,a,时，,u,0,0，于是有,C,1,=0，从而得到,最后，将式(6-55)代人式(6-49)，可得,（6-53）,（6-54）,（6-55）,从而,6.6,叠加原理在计算应力强度因子中的应用8,这样，表6-1中第1行的公式得到证明，与6.3节解析解的结果完全二致。总之，裂纹表面受均匀正应力,作用的解是,这些结果与无限大板有长度2a的中心裂纹，受到无穷远处单向均匀拉伸应力作用的解析解相同。,依据能量释放率和叠加原理，读者可以仿照本节方法，推导承受非均匀对称荷载的含中心裂纹无限大板，以及承受非均匀非对称荷载的含中心裂纹无限大板的解析解答。,（6-56）,6.7,确定应力强度因子的其他方法,对于在工程应用时，要计算应力强度因子，其计算方法主要有解析法和数值法两种。解析法包括应力函数法、保角变换法、积分变换法与奇异积分方程法等。在6.3节介绍了确定应力强度因子的应力函数方法，在6.5节介绍了确定应力强度因子的权函数方法。具有代表性的数值方法为有限元法、有限体积法与边界元法等。,应当指出，除去以上2种主要方法之外，还有2类方法：半解析半数值方法与工程闭合解法。边界配位法与解析变分法属于前者，并适用于二维情况，它们的适用范围比解析法宽，而其计算效率比数值法高。值得一提的是对于三维问题，目前有一种以能量释放率原理作为基础的闭合解法，它属于后者，它可以充分利用二维结果给出三维问题的闭合解答，如6.3节所述，其适用范围随着二维结果钓增加而扩大，而其计算效率比数值法高出3个数量级以上。,还有许多确定应力强度因子的方法，如局部一整体法等。关于求解应力强度因子的其他方法，读者可以有关文献中应力强度因子的解法，以及在应力强度因子手册和经典断裂力学教科书中找到类似的内容。,6.8,线弹性材料的断裂判据,在前面的讨论中，我们忽略了裂纹尖端应力场的高次项，如式(6-12)、式(6-15)和式(6-16)，这一忽略仅在裂纹尖端的小区域内适用，此小区域称为,K,场区。,K,场区内的应力应变强度可用应力强度因子度量；,K,场区外则需要考虑高次项。因此，仅用应力强度因子来惟一度量应力应变场强度已不一定充分。如果,K,场区尺寸小于断裂过程区尺寸，则计算应力强度因子便失去意义，因为此时宏观力学在裂纹尖端区是不适用的。反之，若,K,场区尺寸比断裂过程区尺寸大几倍以上，则断裂过程区是否会发生断裂，要视其外部的,K,场区强度而定。因此，断裂判据可建立在,K,场区强度是否达到临界条件基础上。由于应力不可能无限大，裂纹尖端总会产生塑性区，而塑性区内的应力是有界的。因此，应力强度因子断裂判据成立的条件是塑性区比,K,场区小得多，而,K,场区又比裂纹长度小得多。许多高强度合金和工程材料在发生脆性断裂时，都是,K,场区强度起控制作用。应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断裂。,6.8,线弹性材料的断裂判据2,构件在什么条件下会产生失稳断裂呢？如果是脆性材料，同时裂纹尖端塑性区的尺寸又相对较小，则描述裂纹尖端应力场和位移场只需一个力学参量就已足够，这就是应力强度因子,K,。而K与描述驱动裂纹扩展能力的力学参量能量释放率,G,（裂纹驱动力）有关，因此，失稳断裂的判据可以表示为,或,式(6-57)中的,K,cr,和,G,cr,分别表示为应力强度因子和能量释放率的临界值，即材料的断裂韧度。注意，某些文献中用,K,K,cr,或,G,G,cr,代替式(6-57)，其中的仅仅满足数学上的解释，但是没有物理上的意义，式(6-57)是满足裂纹扩展的必要条件。,（6-57）,6.9,小结,本章介绍了裂纹尖端的应力场以及在裂纹扩展过程中能量释放与平衡等重要的基本概念；在线弹性理论分析的基础上，引入应力强度因子和材料断裂韧度的概念，给出了确定应力强度因子的解析法、权函数法等若干方法，建立了线性断裂力学失效判据与设计准则。,应力强度因子惟一地刻画了裂纹尖端场的强度，是判定脆性材料断裂的重要参量。对一种特定的断裂类型，裂纹尖端场由单参数,K,完全确定，即由应力强度因子可以推算出能量释放率。,断裂力学失效判据与经典强度失效判据不同的是，它不是以危险点的应力强度，而是以裂纹的应力强度因子（,K,、,K,、,K,等）作为参数。当应力强度因子达到或超过临界值(,K,cr,),时，裂纹开始失稳扩展，最终导致断裂。,