matrix11线性空间与线性变换

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,矩阵论 Matrix Theory,1,目录：,第1章 线性空间与线性变换,第2章,Jordan,标准形介绍,第3章 矩阵的分解,第4章 矩阵的广义逆,第5章 矩阵分析,2,第1章：线性空间与线性变换,Linear Space,and Linear Transformation,3,第1章：线性空间与线性变换,内容概述,：,线性空间的一般概念,重点,：空间的代数与几何结构,与向量空间,R,n,的关系,线性变换,重点：,其中的矩阵处理方法,特点,：,研究代数结构具有线性运算的集合。,研究几何结构空间的维数和基,看重的不是研究对象本身,而是对象之间的结构关系。,研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。,学习特点：具有抽象性和一般性。,4,1.1,线性空间,一、线性空间的概念,n,维向量空间,R,n,R,n,到线性空间的推广思想：,抽象出线性运算的本质,在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。,线性空间的定义,(,定义,6.1 -1 (P,.,207,),要点,：,集合,V,与数域,F,向量的加法和数乘向量运算,运算性质的公理定义,5,常见的线性空间,F,n,=,X=(x,1, x,2, , x,n,),T,：x,F,运算,：向量加法和数乘向量,F,m,n,= A=,a,ij,m,n,：,a,ij,F；,运算,：矩阵的加法和数乘矩阵,R,m,n,；,C,m,n,P,n,x= ：,a,i,R,运算,：多项式的加法和数乘,C,a,b,=,f(x)：f(x,),在,a, b,上连续,运算,：函数的加法和数乘,例,5： V=R,+, F=R,a,b,=,ab, ,a=a,F=R,或,C,6,线性空间的抽象：,线性空间的一般形式：,V(F),元素被统称为向量：, , , ,线性空间的简单性质,(,共性,),：,定理1,.,1,：,V(F),具有性质：,(1),V(F),中的零元素是惟一的。,(2),V(F),中任何元素的负元素是惟一的。,(3),数零和零元素的性质：,0,=0,k0=0, k, =0 =0,或,k=,0,(4) ,=,(1),数0,向量0,7,二、线性空间的基和维数,向量的线性相关与线性无关：,定义形式和向量空间,R,n,中的定义一样。,有关性质与定理和,R,n,中的结果一样。,例题1,证明,C0, 1,空间中的向量组,e,x, e,2x, e,3x, e,nx, x0, 1,线性无关。,8,二、线性空间的基和维数,基与维数的概念：,P 210,定义,6.1-3, 6.1-4,常见线性空间的基与维数：,F,n,自然基,e,1, e,2, , e,n,dim,F,n,=n,R,m,n,自然基,E,ij,dim R,m,n,=,m,n,。,P,n,x,自然基1, x, x,2, x,3, x,n-1,dim,P,n,x,=n,Ca, b,1, x, x,2, x,3,x,n-1,Ca, b,dim,Ca, b=,约定,：,V,n,(F),表示数域,F,上的,n,维线性空间。,只研究有限维线性空间。,9,三、坐标,1,.,定义1,.3,(P .212),设,1, ,2, ,n, 是空间,的一组基, , = ,则,x,1,x,2,x,n,是,在基,i,下的坐标。,例1,：,求,R,2,2,中向量 在基,E,ij,下的坐标。,要点：,坐标与基有关,坐标的表达形式,10,例2,设空间,P,4,x,的两组基为：,1, x, x,2, x,3,和,1, (x,-1,),1, (x-1),2, (x-1),3,求,f(x)=2+3x+4x,2,+x,3,在这两组基下的坐标,。,归纳,：,任何线性空间,V,n,F,在任意一组基下的坐标属于,F,n,。,每一个常用的线性空间都有一组“自然基”,在这组基下,向量的坐标容易求得。,求坐标方法的各异性。,11,2,.,线性空间,V,n,(F),与,F,n,的同构,坐标关系,V,n,(F) F,n,基,1,2, 。,n,由此建立一个一一对应关系, ,V,n,(F),X,F,n, ()=X,(,1,+,2,)=(,1,)+(,2,),(k)=k(),在关系,下,线性空间,V,n,(F),和,F,n,同构。,12,3.,同构的性质,定理1.3,:,V,n,(F),中向量,1,2, ,n,线性相关,它们的坐标,X,1,X,2, X,n,在,F,n,中线性相关。,同构保持线性关系不变。,应用,：,借助于空间,F,n,中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。,13,例题2,设,R,2,2,中向量组,A,i,1,).,讨论,A,i,的线性相关性,.,2,).,求向量组的秩和极大线性无关组,.,3,).,把其余的向量表示成极大线性无关组的,线性组合,.,14,四、基变换和坐标变换,讨论：,不同的基之间的关系,同一个向量在不同基下坐标之间的关系,1.,基变换公式,设空间中有两组基：,过渡矩阵,C,的性质：,C,为非奇异矩阵,C,的第,i,列是,i,在基,i,下的坐标,则,过渡矩阵,15,2,.,坐标变换公式,已知,空间中两组基：,满足:,: ;,讨论,X,和,Y,的关系,X=CY,1,2,3,16,例题4、,已知空间,R,中两组基,(,I)E,ij,(II), ,求从基,(I),到基,(II),的过渡矩阵,C。,求向量 在基,(II),的坐标,Y。,例题3、,(P214,例题,9),17,