第八章 组合变形

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,组合变形,(Combined Deformation),第八章 组合变形,一,、,组合变形,的,概念,构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形,.,二、解决组合变形问题的基本方法,叠加法,叠加原理的成立要求,:,内力,、,应力,、,应变,、,变形等与外力之间成线性关系,.,8-,1,组合变形和叠加原理,a,b,c,A,B,P,F,1,F,2,x,z,y,三、,工程实例,1.,外力分析,将外力,简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,使,之每个力（或力偶）对应一种基本变形,(,拉压、扭转、剪切、弯曲）,3.,应力分析,画出危险截面的应力分布图,利用,叠加原理,将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件,四、处理组合变形的基本方法,2.,内力分析,求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面,.,分,别,计算,在每一种基本变形下构件的应力和变形,=,+,+,=,+,一、受力特点,杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形,作用在杆件上的外力既有轴向拉,(,压,),力,还有横向力,二、变形特点,8,-2,拉伸（或压缩）与弯曲的,组合,F,F,1,产生弯曲变形,F,2,产生拉伸变形,F,y,F,x,F,y,产生弯曲变形,F,x,产生拉伸变形,F,1,F,2,F,2,示例,1,示例,2,三、内力分析,x,y,O,z,M,z,F,N,横截面上内力,2.,弯曲,1.,拉,(,压,),:,轴力,F,N,弯矩,M,z,剪力,F,s,（,shear force,）,因为剪力引起的切应力较小,故一般不考虑,.,F,S,横截面上任意一点 （,z, y,） 处的正应力计算公式为,四、应力分析,1.,拉伸正应力,2.,弯曲正应力,x,y,O,z,M,z,F,N,(,z,y,),轴力,所以跨中截面是杆的危险截面,F,1,F,2,F,2,l,/2,l,/2,3.,危险截面的确定,作内力图,弯矩,x,x,F,N,图,M,图,F,2,F,1,l,/4,拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为,4.,计算危险点的应力,F,1,F,2,F,2,l,/2,l,/2,-,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立,杆件的抗拉和抗压强度条件,.,五、强度条件,由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为,:,例题,1,悬臂吊车如图所示,横梁用,20a,工字钢制成,.,其抗弯刚度,W,z,= 237cm,3,横截面面积,A,=35.5cm,2,总荷载,F,= 34kN,横梁材料的许用应力为,=125MPa.,校核横梁,AB,的强度,.,F,A,C,D,1.2m,1.2m,B,30,B,A,D,F,F,R,Ay,F,R,Ax,F,y,F,x,F,N,AB,30,解：（,1,） 分析,AB,的受力情况,AB,杆,为平面弯曲与,轴向,压缩组合变形,中间截面为危险截面,.,最大压应力发生在该,截面的上边缘,（,2,）,压缩正应力,（,3,）,最大弯曲正应力,（,4,）危险点的应力,F,A,C,D,1.2m,1.2m,30,B,B,A,D,F,F,R,Ay,F,R,Ax,F,y,F,x,F,N,AB,30,例题,2,小型压力机的铸铁框架如图所示,.,已知材料的许用拉应力,t, =30MPa,许用压应力,c, =160MPa,.,试按立柱的强度确定压力机的许可压力,F,.,y,z,z,0,z,1,50,50,150,150,350,F,F,解：（,1,）确定形心位置,A,=15,10,-3,m,2,z,0,=7.5 cm,I,y,= 5310 cm,4,计算截面对中性轴,y,的惯性矩,y,z,z,0,z,1,50,50,150,150,350,F,F,F,n,n,F,N,M,y,（,2,） 分析立柱横截面上的内力和应力,在,n,-,n,截,面上有轴力,F,N,及弯矩,M,y,n,n,350,F,F,y,z,z,0,z,1,50,50,150,150,由轴力,F,N,产生的拉伸正应力为,F,n,n,F,N,M,y,n,n,y,z,z,0,z,1,350,F,F,50,50,150,150,由弯矩,M,y,产生的最大弯曲正应力为,50,50,150,150,y,z,z,0,z,1,拉,n,n,350,F,F,F,n,n,F,N,M,y,（,3,）叠加,在截面内侧有最大拉应力,F, 45.1,kN,50,50,150,150,y,z,z,0,z,1,拉,压,n,n,350,F,F,F,n,n,F,N,M,y,在截面外侧有最大压应力,F, 171.3,kN,F, 45.1,kN,所以取,50,50,150,150,y,z,z,0,z,1,拉,压,n,n,350,F,F,F,n,n,F,N,M,y,例题,3,正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半,.,求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍,.,F,F,a,a,a,a,1,1,F,Fa/,2,未开槽前立柱为轴向压缩,解：,F,a,a,开槽后,1-1,是危险截面,危险截面为偏心压缩,将力,F,向,1-1,形心简化,未开槽前立柱的最大压应力,开槽后立柱的最大压应力,例题,4,矩形截面柱如图所示,F,1,的作用线与杆轴线重合,F,2,作用在,y,轴上,.,已知,:,F,1,=,F,2,=80kN,b,=24cm,h,=30cm.,如要使柱的,m,-,m,截面只出现压应力,求,F,2,的偏心距,e,.,y,z,e,b,h,F,1,F,2,m,m,解：,（,1,）外力分析 将力,F,2,向截面形心简化后,梁上的外力有,轴向压力,力偶矩,y,z,e,b,h,F,1,m,m,F,2,M,z,（,2,）,m,-,m,横截面上的内力有,轴力,弯矩,轴力产生压应力,弯矩产生的最大正应力,（,3,）依题的要求,整个截面只有压应力,得,y,z,e,b,h,F,1,m,m,F,2,z,8,-3,偏心拉（压）,截面核心,（,Eccentric loads &the kern of a section,）,1.,定义,（,Definition,）,当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时,将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形,.,O,1,y,z,F,一、偏心拉（压）,（,Eccentric loads,）,A,(,y,F,z,F,),x,y,z,F,e,F,2.,以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力,F,为例,（,1,）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式,O,1,y,z,A,(,y,F,z,F,),F,Fe,轴向拉力,F,力偶矩,M = F e,，,将,M,向,y,轴和,z,轴分解,F,使杆发生拉伸变形,M,y,使杆发生,xOz,平面内的弯曲变形（,y,为中性轴）,M,z,使杆发生,xOy,平面内的弯曲变形（,z,为中性轴）,y,z,O,1,F,x,M,y,M,z,二、任意横截面,n,-,n,上的内力分析,（,Analysis of internal,force on any cross section,n-n,）,轴力,F,N,=,F,y,O,1,M,y,M,z,n,n,y,z,M,y,M,z,F,N,弯矩,F,三、任意横截面,n,-,n,上,C,点的应力分析,（,Stress analysis at point,C,on cross section,n,-,n,）,y,z,M,y,M,z,F,N,由,F,产生的正应力,由,M,y,产生的正应力,由,M,z,产生的正应力,(,y,z,),C,由于,C,点在第一象限内,根据杆件的变形可知,由叠加原理,得,C,点处的正应力为,均为拉应力,y,z,M,y,M,z,F,N,式中,A,为横截面面积,;,I,y,I,z,分别为横截面对,y,轴和,z,轴的惯性矩,;,（,z,F,，,y,F,） 为,力,F,作用点的坐标,;,（,z,，,y,）为所,求应力点的坐标,.,(,y,z,),C,上式是一个平面方程,.,表明正应力在横截面上按线性规律变化,.,应力平面与横截面的交线（直线,= 0,）就是中性轴,.,四、中性轴的位置,（,The location of neutral axis,）,令,y,0,z,0,代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方程,讨论,（,1,）在偏心拉伸,(,压缩,),情况下,中性轴是一条不通过截面形心的直线,O,z,中性轴,y,y,z,中性轴,O,（,2,） 用,a,y,和,a,z,记中性轴在,y , z,两轴上的截距,则有,(,y,F,z,F,),a,y,a,z,（,3,）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧,y,O,z,中性轴,外力作用点,y,z,中性轴,（,4,）,中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区,横截面上最大拉应力和最大压应力分别为,D,1,D,2,两切点,D,1,(,y,1,z,1,),D,2,(,y,2,z,2,),(a,),(,b,),(,c,),y,y,z,z,（,5,）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处,并可根据杆件的变形来确定,F/A,y,z,Fy,F,/,W,z,Fz,F,/W,y,y,z,D,1,D,2,中性轴,最大拉应力,tmax,和最大压应力,cmin,分,别在截面的棱角,D,1,D,2,处,.,无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可,五、强度条件,（,Strength condition,）,由于危险点处仍为单向应力状态,因此,求得最大正应力后,建立的强度条件为,y,z,六、截面核心,（,The kern of a section,）,中性轴,（,y,F,，,z,F,）,为外力作用点的坐标,a,y,a,z,为中性轴在,y,轴和,z,轴上的截距,(,y,F,z,F,),当中性轴与图形相切或远离图形时,整个图形上将只有拉应力或只有压应力,y,z,中性轴,y,z,中性轴,中性轴,y,z,(,y,F,z,F,),(,y,F,z,F,),(,y,F,z,F,),y,z,截面核心,1,.,定义,（,Definition,）,当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时,就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力）,这个区域就称为,截面核心,（,the kern of a section,）,y,z,当外力作用在截面核心的边界上时,与此相应的中性轴正好与截面的周边相切,.,截面核心,的边界就由此关系确定,.,中性轴,2.,截面核心的确定,（,Determine the kern of a section,）,(,y,F,z,F,),截面核心,例,5,求圆形截面的截面核心,y,z,O,d,A,解,:,（）,作切线, 为中性轴,在两个形心主惯性轴上的截距分别为,圆截面的惯性半径,1,d,/8,（）由于圆截面对于圆心,O,是对称的,因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以,O,为圆心,以,d,/8,为半径的圆,h,b,A,B,C,D,y,z,O,解,:,作切线, 为中性轴，,得两截距分别为,矩形截面的,1,例,6,求矩形截面的截面核心,h,b,A,B,C,D,y,z,O,1,2,3,4,（,2,）同理,分别作切线,、 、 ，,可求得对应的核心边界上点的坐标,依次为,（,3,）矩形截面核心形状分析,直线,绕顶点,B,旋转到直线时,将得到一系列通过,B,点但斜率不同的中性轴,而,B,点坐标,y,B,z,B,是这一系列中性轴上所共有的,.,h,b,A,B,C,D,y,z,O,2,3,4,1,这些中性轴方程为,上式可以看作是表示外力作用点,坐标间关系的直线方程,.,故外力作用点移动的轨迹是直线,.,（,a,）对于具有棱角的截面,均可按上述方法确定截面核心,（,b,）对于周边有凹进 部分的截面（如,T,字形截面）,能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴,因为这种直线穿过 横截面,.,（,4,）讨论,（,discussion,）,l,a,A,B,C,F,研究对象,:,圆截面杆,受力特点,:,杆件同时承受转矩和横向力作用,变形特点,:,发生扭转和弯曲两种基本变形,8,-4,扭转与弯曲的,组合,一、 内力分析,设一直径为,d,的等直圆杆,AB, B,端具有与,AB,成直角的刚臂,.,研究,AB,杆的内力,.,将力,F,向,AB,杆右端截面的形心,B,简化,得,横向力,F,（,引起平面弯曲）,力偶矩,M,=,Fa,（,引起扭转）,AB,杆为弯曲与扭转局面组合变形,B,A,F,M,x,l,a,A,B,C,F,画内力图确定危险截面,固定端,A,截面为危险截面,A,A,F,M,M,Fl,A,截面,C,3,C,4,T,C,3,C,4,C,2,C,1,二、应力分析,危险截面上的危险点为,C,1,和,C,2,点,最大扭转切应力,发生在截面周边上的各点处,.,C,2,C,1,危险截面上的最大弯曲正应力,发生在,C,1,、,C,2,处,对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的,.,可取任意点,C,1,来研究,.,C,1,点,处于平面应力状态,该点的单元体如图示,C,1,三、,强度分析,1.,主应力计算,C,1,2.,相当应力计算,第三强度理论,计算相当力,第四强度理论,计算相当应力,3.,强度校核,讨 论,C,1,该公式适用于弯扭组合变形,;,拉（压）与扭转的组合变形,;,以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形,（,1,）,弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为,（,2,）对于圆形截面杆有,C,1,式中,W,为杆的抗弯截面系数,.,M,T,分别为危险截面的弯矩和扭矩,.,以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆,.,例题,7,空心圆杆,AB,和,CD,杆焊接成整体结构,受力如图,.,AB,杆的外径,D,=140mm,内外径之比,=,d/D,=0.8,材料的许用应力, =,160MPa.,试用第三强度理论校核,AB,杆的强度,A,B,C,D,1.4m,0.6m,15kN,10kN,0.8m,A,B,F,e,解,:,（,1,）外力分析,将力向,AB,杆的,B,截面形心简化得,AB,杆为,扭转和平面弯曲的组合变形,A,B,F,M,e,+,15kN,m,（,2,）内力分析画扭矩图和弯矩图,固定端截面为危险截面,-,20kN,m,例题,8,传动轴如图所示,.,在,A,处作用一个外力偶矩,M,e,=1kN,m,皮带轮直径,D,=300mm,皮带轮紧边拉力为,F,1,松边拉力为,F,2,.,且,F,1,=2,F,2,l,=200mm,轴的许用应力,=160MPa.,试用第三强度理论设计轴的直径,z,F,1,F,2,x,y,A,B,l,/2,l/2,M,e,M,e,M,e,C,F,=3,F,2,解,:,将力向轴的形心简化,轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲,C,+,T,=1kN,m,+,中间截面为危险截面,1kN,m,M,e,M,e,C,F,=3,F,2,例题,9,图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮,C,上作用有铅垂切向力,5,kN,径向力,1.82,kN,;,齿轮,D,上作用有水平切向力,10,kN,径向力,3.64,kN,.,齿轮,C,的节圆直径,d,1,= 400 mm,齿轮,D,的节圆直径,d,2,=200mm.,设许用应力,=100,MPa,试按第四强度理论求轴的直径,.,B,A,C,D,y,z,5kN,10kN,300mm,300mm,100mm,x,1.82kN,3.64kN,C,D,解,:,（,1,）外力的简化,将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化,B,A,C,D,y,z,5kN,10kN,300mm,300mm,100mm,x,1.82kN,3.64kN,x,y,z,A,C,B,D,5kN,1kN,m,1.82kN,3.64kN,10kN,1kN,m,1,kN,m,使轴产生扭转,5kN,3.64kN,使轴在,xz,纵对称面内产生弯曲,1.82kN,10kN,使轴在,xy,纵对称面内产生弯曲,（,2,）轴的变形分析,C,D,T,= 1kNm,圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形,由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面,故轴在,xz,和,xy,两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲,从而可用总弯矩来计算该截面正应力,1,C,T,图,-,M,y,图,0.57,C,B,0.36,M,z,图,0.227,1,C,B,x,y,z,A,C,B,D,5kN,1kN,m,1.82kN,3.64kN,10kN,1kN,m,（,3,）绘制轴的内力图,B,截面是危险截面,（,4,）危险截面上的内力计算,1kNm,C,T,图,-,M,y,图,0.57kN,m,C,B,0.36kN,m,M,z,图,0.227,1,C,B,B,和,C,截,面的总弯矩为,（,5,）由强度条件求轴的直径,轴需要的直径为,例题,10,F,1,=0.5kN,F,2,=1kN,=160MPa.,（,1,）用第三强度理论计算,AB,的直径,（,2,）若,AB,杆的直径,d,= 40mm,并在,B,端加一水平力,F,3,= 20kN,校核,AB,杆的强度,.,F,1,F,2,A,B,C,D,400,400,400,F,1,F,2,A,B,C,400,400,M,e,解,:,将,F,2,向,AB,杆的轴线简化得,AB,为弯扭组合变形,F,1,F,2,A,B,C,D,400,400,400,固定端截面是危险截面,F,3,AB,为弯,扭与拉伸组合变形,固定端截面是危险截面,（,2,） 在,B,端加拉力,F,3,F,3,F,1,F,2,A,B,C,400,400,M,e,F,1,F,2,A,B,C,D,400,400,400,固定端截面最大的正应力为,最大切应力为,F,3,F,3,F,1,F,2,A,B,C,400,400,M,e,F,1,F,2,A,B,C,D,400,400,400,由第三强度理论,