一起学奥数--数字谜(四年级)

*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,单击此处编辑母版标题样式,数 字 谜,风子编辑,教育目标,灵活地运用运算法则和整数的性质,学会发现问题、分析问题,教育重点,掌握数字谜解题思路，及数字与数字之间的规律,教育难点,综合运用数论的知识，来解决数字谜问题,第一课 横式数字谜,例,1,、下列算式中，、,各代表什么数字？,1,） ,+,+,=129 2,） ,+25=125-,3,）,8,-17=47 4,）,36-150,=6,【,分析,】,用实物来表示数（如苹果、足球等），之前应该已学习过。用符号表示数，有的小朋友也应该碰到过了。下一步我们将会学习更加抽象的，用字母来表示数，这些都是学习方程的基础。,我们可以把一个等式看作是天平，左边放着符号，右边放着表示重量的数字。我们知道天平两边同事加减等量的东西，天平不会倾斜。所以，等号的两边加减或乘除相等的数，等号仍然能够成立。,1,）是三个,的和，即,3,，所以等式两边都除,3,，就是,1,个三角形代表的数字，即,1293=43,2,）两边都加上一个圆，再两边都减去,25,，就变成了,+,=100,，所以,=50,3,）两边都加上,17,，就变成了,8,=64,，再除以,8,，所以,=8,4,）两边都减去,6,，再两边加上,150,，则变成,30=150,，接着两边都乘以，则得到新的等式：,30,=150,，所以,=5,引导学生对以上变化做小结，变化过程要让学生养成数字放右边，符号放左边的习惯。,例,2,、如果,+,=6,，,=,+,，那么， ,-,=,？,【,分析,】,条件中出现两个等式，并且出现多个符号时，我们要想办法把其中一个等式的符号统一成一个。就像用天平称东西，左边放了,1,个苹果，,1,个桔子，右边放了代表它们重量的,6,。我们又知道一个苹果和,2,个桔子一样重。而旁边又有两个桔子，这是我们可以用两个桔子换下一个苹果，称出,3,个桔子的重量等于,6,。,所以，条件中的两个等式中，我们可以用两个“,”替换掉,+,=6,中的,“,”,，得到,+,+,=6,，则有：,=2,得到,代表的数字，,“,”,就可以通过第二个等式算出：,=4,引导学生对以上变化做小结，让学生了解等式加减。,例,3,、在下列方框中填上适当的数，使等式成立：,1,）,5=40,3 2)148,=8,4,【,分析,】,根据题目中给定等式的特点，我们可以利用带余数除法的特点来计算代表“,”的数字。,1,）“,”代表的是被除数，这个等式的意思为：一个数被,5,除，商为,40,，余数为,3,。根据带余数除法的特点，或者采用还原法， “,”代表的数为：,405+3=203,2,）“,”代表的是除数，这个等式的意思为：,148,被一个数除，商为,8,，余数为,4,。根据带余数除法的特点，或者采用还原法， “,”代表的数为：,（,148-4,）,8=18,回顾带余数除法的特点,例,4,、将,17,这七个数字分别填入下面的空格内，使等式成立。（每个数字只能用一次）,=,=,+,-,【,分析,】,学会化繁为简，是做这类题目的关键。根据一个数可以拆分为几个约数的乘积的性质。我们可以发现，第一个等号可以变为,=,即：我们应该从,17,这,7,个数中找出一个数，能够拆分为,3,个不同的数的乘积。可以发现，只有,6,符合要求，即,6=123.,所以第三个方框内填,6,。等式的值为,2,、,3,、,6,，右边三个方框内填,4,、,5,、,7,。,4,、,5,、,7,填入右边三个方框，可以组成为,4+5-7=2,，,4+7-5=6,，,5+7-4=8,，即前两个符合等式的值。所以，这,7,个数可以为：,12=63=4+5-7,或,23=61=4+7-5,例,5,、在下列等号左边的每两个数之间，添上加号或减号，也可以用括号，使算式成立。,1 2 3 4 5=1,【,分析,】,填符号的技巧在于缩小数字范围，或者说，对等号左边的数字进行分组，使一组能够使等式成立，而另一组为,0,或,1.,我们可以先对,15,进行分组。使一组等于,1,，另一组等于,0,或,1.,由连续数字的性质可以知道，相邻两数差为,1.,则剩下三个数在组合成一组。,找,4,、,5,为一组，,-4+5=1,，而,1+2-3=0.,再把两组数做连接。,（,1+2-3,）,- 4+5=1,还可以有其它的分组方法，请动手试试,例,6,、添上适当的运算符号,+,、,-,、,、,、（ ），使得下面的算式成,立。,5 5 5 5 5=10,【,分析,】,填符号的技巧在于缩小数字范围，或者说，对等号左边的数字进行分组，使一组能够使等式成立，而另一组为,0,或,1.,我们可以先对,5,个,5,进行分组。因为两个,5,相加等于,10,；则使三个,5,等于,0,或,1,。,很容易得到：,(5-5)5=0,。接着，再把两组相连接即可。,（,5-5,）,5+5+5=10,第二课 竖式数字谜,例,1,、,下面的算式中，,5,个相同的两位数,AB,相加得两位数,MB,，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则,AB=,？,A B,A B,A B,A B,+ A B,M B,【,分析,】,观察这个竖式，,5,个,B,相乘，个位仍旧是,B,，这样的数只有,0,和,5,。而如果,A,2,，则乘积应该是三位数，且,A,0,，所以,A=1.,为保证乘积是二位数，还需要考虑个位相乘后进位的数。,测试,B=0,或,B=5,，都能保证乘积为两位数，所以,AB,为,10,或,15,例,2,、在下面算式的内各填入一个合适的数字，使算式成立。,0 0,- 5 0,9,1,9 3,【,分析,】,竖式运算中，补上某些漏掉的数的关键，是找到突破点。这是一个减法，观察已知的各个位置，可以发现个位数字是突破点。,非常确定的是，被减数的个位数必须是,2,0 0,- 5 0,9,1,9 3,2,被减数的十百位都是,0,，所以向千位借,1,，而千位减,5,等于,1,，则被减数千位数为,7,7,由差的十位是,9,，减少的百位为,0,，可以得出，减数的十位为,0,，差的百位为,9,0,9,例,3,、下面是一个六位数乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是？,小 学 希 望 杯 赛,赛,9 9 9 9 9 9,【,分析,】,这是一个六位数与一位数的乘法，结果为,999999,。分析左边竖式，突破口在两个相同的数相乘个位为,9,。在,0-9,这十个数中，符合条件的只有,3,和,7,。,如果是,3,，则以上竖式等同于“小学希望杯赛,1=333333,”即所有汉字表示了相同的数。所以“赛,=7,”。,因为“赛,赛”产生进位,4,，所以“杯,赛”个位要等于,9,，还差,5,，与,7,相乘个位为,5,的数只有,5,，所以“杯”,=5,。,以此类推，“望”,=8,；“希”,=2,；“学”,=4,；“小”,=1,解乘法竖式数学谜的关键是找到突破口,例,4,、请在下面算式的里填上合适的数字，使算式成立：,4,6,1, ,0, ,5,8, ,【,分析,】,一般突破口不是在头上，就是在尾部，中间部分受到后边数字的影响，存在干扰因素。,观察这个题目，第一行的个位数受到,0,和,5,的制约，即两个数相乘，个位必须是,0,或,5,，那么这两个乘数中必定有一个,5.,5,接着可以确定第三行的十位数字为,7.,同时，产生进位,2.,而,6,的倍数,10,，且小于,20,的，只有,12,和,18,，但,18+2,为,20,，所以第一行的百位数是,2,。第三行的百位为,4,。,7,2,4,下一步的突破口应该是,2,？,8,，且？处为奇数，所以？,=1,或,3,。尝试可知，第二行的十位数字为,3,。,3,确定两个乘数后，其它的就很容易确定了。,3,6,0,2,8,注意：有没有学生不理解第二行的乘数十位是奇数,例,5,、在下面竖式的里填入合适的数字，使竖式成立。, ,9,),4 1,5 5,3 7, ,0,【,分析,】,利用,599559,，可以确定商十位为,6,。,6,因为与,3,相加个位为,1,的数只有,8,，所以可以确定第三行个位数为,8,。,8,5586=93,，所以可以确定除数的个位为,3,3,在,41-551,时，产生连续借位，且差最高位为,0,，所以被除数最高位为,6,，余数为,83,。,6,8,被除数的个位是非常清楚的，应该一眼就能够看出为,7,7,接着，只要做,83793=9,即可。,9,8,7,3,第三讲 提高篇,例,1,、如图，请在右图每个方框中填入一个不是,8,的数字，使乘法竖式成立。则最后的乘积是多少？, ,8,8,8, ,8, ,8, ,【,分析,】,乘法竖式谜的突破口往往在头和尾的计算。而这个算式的尾部数字受制约数几乎没有，所以只能通过头部数字来确定范围。,8998,8000,，所以即使第一行的乘数是最大值，所得积仍不足，而加法最大进位为,1,。因此，可以确定第一行最高位为,9,，第四行最高位为,7,。,9,7,8988,7900,，,8968,7800,，所以第一行为,978,。那么，第四行的数就确定了：,9788=7824,7,2,4,方框内的数字不能是,8,，所以第二行的个位不能是,6,和,8,、,9,，又因为第三行是四位数，所以，不能是,0,或,1,。尝试,978,乘,2,、,3,、,4,、,5,、,7,、,9,，能使积的百位为,8,的是,5,（,4890,）、,7,（,6846,）。当,6846,时，最后一排方框中会有,8,，所以应该是,5,。,那么，其它方框中的数也就能确定了。,5,4,9,0,3,3,0,1,例,2,、如下图，所示算式的每个方框内填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立。,7, , , , , ,【,分析,】,设两个乘数为,a7b,和,cd,，其中,a,、,b,、,c,、,d,只能是,2,、,3,、,5,、,7.,b,、,c,、,d,中如果有一个,2,，则下面方框中会出现非质数。所以这三个数只能是,3,、,5,、,7,中选，且必定有一个为,5,。如果,b,5,，则,c,、,d,必定有一个,5,，而,573=365,，,577=385,，不符合要求，所以,b=5.,5,使,a75c,或,d,相乘大于,2000,，只有,7753=2325,，,5755=2875,，,7755=3875,，,3757=2625,，,5757=4025,，,7757=5425,。由此可见，符合要求的只有,7753=2325,7,3,3,3,5,2,2,3,5,2,2,5,2,5,5,7,例,3,、数数,科学,=,学数学,在上面的算式中，每一汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字。那么,“,数学,”,所代表的两位数是多少？,【,分析,】,用文字表示等式不容易分析，可以把数字用字母来表示。上边等式转化为：,aabc=cac,aa=a11,，所以,cac,能被,11,整除，则,c+c-a,能被,11,整除，即,2c=a,或,2c-a=11,cac=c101+a10,，,a11bc=c101+a10,，即,a|c101+a10,，则,a|c,即,c=na,（与,2c=a,矛盾），则有,2c-a=11,使,2c-a=11,，则,c,为,6,、,7,、,8,、,9,，分别代入得，,a,为,1,、,3,、,5,、,7,，符合,c=na,的数为,c=6,，,a=1.,即“数学”两字代表的是,16.,例,4,、迎杯,春杯,=,好好好,在上面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么,“,迎,+,春,+,杯,+,好,”,之和等于多少？,【,分析,】,用文字表示等式不容易分析，可以把数字用字母来表示。上边等式转化为：,acbc=ddd,ddd=d111=d337,，所以,37,是,ac,或,bc,的约数，因为两个乘数存在交换律，所以可设,37,为,ac,的约数，则,ac,为,37,或,74.,若,ac=37,，则,bc=3d,，因为,c=7,，所以,d=9,，,b=2,，则四个字相加为,21.,若,ac=74,，则,bc=3d2,，因为,c=4,，即,3d,的个位数是,8,，所以,d=6,，,bc=9,，不符合要求。,知识点小结,解决巧填算符的基本方法：,1,）凑数法：根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，再对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。,2,）逆推法：从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。,最值问题：,1,）横式转化为竖式数字谜，乘法转化为除法,2,）找突破口：末尾和首位，进位和错位，个位数字，位数的差别等,3,）采用特殊分析方法：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等,4,）除了数字谜问题常用的分析方法外，还常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的最值的可能值，再验证能否取到这个最值,5,）数字谜问题往往综合了数字的整除特征，质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型。,竖式数字谜技巧：,1,）从首尾或者末尾找突破口（突破口指在做数字谜问题开始时的入口，一般在算式的首位或末尾，可以确定其数字或范围，然后通过推理确定其值，为后面的推理做好铺垫）,2,）根据算式性质逐步缩小范围，并进行适当的估算逐步排除不符合的数字,3,）题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性,4,）注意结合进位及退位来考虑,5,）数字谜中的文字，字母或其它符号，只取,19,中的某个数字,6,）数字谜解出之后，最好验算一遍。,数字谜加减法：,1,）个位数字分析法,2,）加减法中的进位与退位,3,）乘除法中的进位与退位,4,）奇偶性分析法,