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单击此处编辑母版标题样式,线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广,线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是,某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题,看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际,问题,一、线性空间的定义,若对于任一数 与任一元素 ，总有唯,一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，,记作,定义,设 是一个非空集合， 为实数域如果,对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元,素 与之对应，称为 与 的和，记作,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那,么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）,2 向量空间中的向量不一定是有序数组,3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定,义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条,性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间,说明,1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为,线性运算,（）一个集合，如果定义的加法和乘数运,算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运,算的封闭性,例,实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法,和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ,线性空间的判定方法,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运,算满足线性运算规律,例,正弦函数的集合,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空,间,是一个线性空间.,例,在区间 上全体实连续函数，对函数的,加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性,空间,一般地,例,正实数的全体，记作 ，在其中定义加法,及乘数运算为,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,（）一个集合，如果定义的加法和乘数运,算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是,否满足八条线性运算规律,证明,所以对定义的加法与乘数运算封闭,下面一一验证八条线性运算规律：,所以 对所定义的运算构成线性空间,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例,个有序实数组成的数组的全体,1零元素是唯一的,证明,假设 是线性空间V中的两个零元,素，,由于,所以,则对任何 ，,有,二、线性空间的性质,2负元素是唯一的,证明,假设 有两个负元素 与 ，,那么,则有,向量 的负元素记为,证明,4,如果,，,则 或,.,证明,假设,那么,又,同理可证：若 则有,三、线性空间的子空间,定义2设 是一个线性空间， 是 的一个非空子,集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算,也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分,必要条件是： 对于 中的线性运算封闭,解,(1)不构成子空间.,因为对,例8,有,即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.,对任意,有,于是,满足,且,线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是,通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.,线性空间,是一个集合,对所定义的加法及数乘运算封闭,所定义的加法及数乘符合线性运算,四、小结,线性空间是二维、三维几何空间及 维向量,空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.,思考题,思考题解答,
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