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,应用数值分析,课件制作：刘春凤、何亚丽,马醒花、杨爱民,绪 论,第 一 章,研究求数学问题近似解的方法和过程,实际问题,数学模型,数值计算方法的理论,程序设计,上机计算求出结果,研究内容,一、数值分析的研究对象,在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果,?,研究例子,:,求解线性方程组,如把方程组的系数舍入,成两位有效数字,它的解为,x,1,=-6.222.,x,2,=38.25,x,3,=-33.65,.,其准确解为：,x,1,=,x,2,=,x,3,=1,函数的数值逼近,数值微积分,非线性方程数值解,数值线性代数,常微和偏微数值解等,二、数值分析的主要内容,借助计算机提供切实可行的数学算法,.,所提出的算法必须具有：可靠的理论分析,;,理,通过数值实验证明算法行之有效,.,计算复杂性好,时间复杂性好,_,指节省时间；,空间复杂性好,_,指节省存储量。,想,的精确度,;,收敛且稳定,;,误差可以分析或估计,.,三、数值分析的主要特点,数学分析,(,或微积分,),高等代数,数学软件,四、学习数值分析的准备知识,误 差 的 来 源,第,1,节,(1),模型误差,_,数学模型与实际问题之间出现的误差,.,实验：交通流量问题,问题分析与建立模型,：,模型假设：,（,1,）全部流入网络的流量,全部流出网络的流量；,（,2,）全部流入一个节点的流量,全部流出此节点的流量。该问题满足,10,个变量的线性方程组,误差的分类,(2),观测误差,_,由观测产生的误差,已知实验数据如下：,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,45,51,54,61,66,70,74,78,85,89,93,求符合数据的,4,次拟合曲线,.,(3),截断误差,_,由简化问题（公式）所引起的解的,将函数 展成的幂级数,.,再如：函数,f,(,x,),用泰勒多项式近似代替,误差,(,也称,方法误差,).,3.14159265358979323846,(4),舍入误差,_,数字计算过程中产生的误差,则数值方法的截断误差是,避免“过失误差”。,数值计算中会出现各种误差，它们可分为两大类：,（,1,）过失误差 （,2,）非过失误差,人为造成,数值计算中无法避免,注意,绝对误差,第,2,节,相对误差,有效数字,一、误差的一般描述,另外， 经过四舍五入得到的数，其误差必定不超,如：用毫米刻度的米尺测量一长度,x,，,读出的数为,123mm,，它是,x,的近似值，它的误差限是,0.5mm,即,过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的,半个单位为其误差限。,相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异,.,绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好,.,误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近似值,如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数据是准确可靠的,!,思考,绝对误差限和相对误差限是否惟一？,如果,|,e,| = |,x,*,-,x,|, 0.5,10,-,k,称近似数,x,准确到,用四舍五入得到的数都是有效数字,;,定义,:,小数点后第,k,位,从这小数点后第,k,位数字直到最,左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字,.,有效数字越多,误差越小,计算结果越精确,.,二、有效数字,x,3,=1.7320,是其近似值,问它们分别有几位有效数字,?,例1.,1,x,1,=1.73,x,2,=1.7321,第一个数非零,误差限不超过该位的半个单位,定义,2:,设,x,的近似值,为,解 按定义，上述各数具有,5,位有效数字的近似数,分别是：,187.93,，,0.037856,，,8.0000,，,2.7183,。,注意：,8.000033,的,5,位有效数字近似数是,8.0000,而不是,8,，因为,8,只有,1,位有效数字,.,按四舍五入原则写出下列各数具有,5,位有效,数字的近似数：,187.9325,，,0.03785551,，,8.000033,，,2.7182818.,例1.2,解,:,3.14159265358979323846,例,1.3,注意,(1),有效数字的位数与小数点的位置无关,;,(2),有效数位越多,相对误差越小,.,例,1.,4,解：,确定绝对误差限,则可知有效数字的位数,故精确到小数点以后两位,即取三位有效数字可达要求,.,第,3,节,数值计算中的误差传播,例,1.5,基本运算中的误差估计,多元函数有类似的结果,数值计算中应注意的问题,第,4,节,1.,要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法,;,2,。避免两个相近的数相减,;,3.,要防止大数“吃掉”小数,;,2,。应选用数值稳定性的计算方法,;,2,。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。,避免误差危害的若干原则,解：,可得算法：,建立积分,的递推关系式，并研究它的误差传递。,例,1.6,一、使用数值稳定的计算公式,这个算法不具有稳定性，因为,的舍入误差传播到 时，该误差放大,5,倍，传到,时，该误差将是 倍，当,n,较大时，误差将,淹没真值，这种递推公式不宜采用。,所以有估计式,于是,粗略地取,可得另一算法：,这个算法是稳定的，因为由 引起的误差在,以后的计算过程中将逐渐减小。,解：,查表得,例,1.7,二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）,取右端的有限项近似代替左端。,说明,当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数,吃掉,从而引起计算结果很不可靠,.,求一元二次方程,x,2,-(10,9,+1),x,+10,9,=0,的实数根,.,解：,采用因式分解法,很容易得到两个根为,x,1,=10,9,x,2,=1.,若用求根公式，则,例,1.9,三、防止大数吃小数,求得结果,x,1,=10,9,x,2,=0,是错误的。可改为,两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要 “对,阶”,“,对阶”的结果使大数吃掉了小数,.,产生了误差,.,为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以根据一些具体情况,存在需要把某些算式改写成另一种等价的形式,.,两数都写成绝对值小于,1,而阶码相同的数,在,4,位,有效数字的限制下，计算：,解,从左,到右,逐,项,相加,如果先计算,再,加,绝对值越小的数越先被相加很可能会优化求和的精确度,.,大数吃小数例,例1.10,分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的,误差,此时可以用数学公式化简后再做,.,四、防止接近零的数做除数,失真的原因：除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。,例1.11,若直接计算，再逐项相加共需要做,4+3+2+1=10,次,乘法和,4,次加法,.,分析,若用著名的秦九韶算法：,只要做,4,次乘法和,4,次加法。,五、注意简化计算步骤，减少运算次数,例1.12,求下列多项式在 的值,次乘法和,n,次加法。,推而广之,秦九韶算法的一般形式,:,只要,n,次乘法和,n,次加法就可算出,.,解,将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数视为零。,用,Mathematica,不难验证！,误差的种类,模型误差：,观测误差,截断误差,舍入误差,绝对误差,相对误差,误差的表示法,内容回顾,定义,1:,有效数字,-,如果,|,e,| = |,x,*,-,x,|, 0.5 ,10,-k,称近似数,x,准确到小数点后第,k,位,从这小数点后第,k,位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字,.,定义,2:,设,x,的近似值,x,*,为,:,误差在算术中的传播,加减运算,乘法运算,除法运算,乘方与开方,算法的数值稳定性：,（,5,）绝对值太小的数不宜作为除数 。,（,1,）应选用数值稳定性的计算方法 ；,（,2,）简化计算步骤和公式，设法减少运算次数 ；,（,3,）合理安排运算顺序，防止大数淹没小数 ；,（,4,）避免两相近数相减 ；,1,、设 ，假定,g,是准确的，而对,t,的测量有,0.1,秒的误差，证明当,t,增加时,S,的绝对误差增加，而相对误差却减少。,解：,思考与练习,2,、,计算,，,取,，,利用下列等,式计算，哪一个得到的结果最好？,解：,利用等价变换使下列表达式计算比较精确,.,练习,3,提示,计算：,序号,算式,Math,数据,1,0.005050633883,2,0.005050633883,3,0.005050633883,4,0.005050633883,列表分析,练习,2,作 业,P14 1,、,3,、,4,
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