x10-3向量函数的微分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,10,章向量的数量积和向量积向量函数微分法,知识逻辑关系图,向量函数,向量函数定义,向量函数几何意义,极限定义,导数和微分定义,空间曲线弧微分,极限计算方法,导数和微分运算法则,空间弧长计算公式,导数的几何意义和物理意义,向量函数连续定义,重点：向量函数导数及其几何意义,难点：空间曲线弧微分,设,a,=(,a,x,a,y,a,z,),b,=(,b,x,b,y,b,z,),且,为常数,(1),a,b,= (,a,x,b,x,a,y,b,y,a,z,b,z,),(2),a,= (,a,x,a,y,a,z,),(3),(4),复习：,10-3,向量函数的微分和积分,一、向量函数,1.,向量函数定义,连续的向量函数和空间曲线有着密切的联系,2.,向量函数的几何意义,向量函数,起点定在,O,点，当,t,变化时终点,描绘出图形是一条空间曲线,.,直线：,r,（,t,）,=(x,0,+at,，,y,0,+bt, z,0,+ct),摆线：,r,（,t,）,=(,a(t-sint,), a(1-cost) ,0),螺旋线的参数方程,取时间,t,为参数，,解,让我们欣赏几个向量函数表示的空间曲线,3.,向量函数极限定义,则,称向量,r,(t),的极限为,r,0,或称向量,r,(t,),按模收敛,r,0,定理,若 则称向量函数在,t=t,0,连续,是连续函数的充分必要条件为：,分量函数,都是数值连续函数,向量函数,例,已知螺旋线,计算,连续,二、,向量函数导数与微分,1.,定义,： 向量函数,在,t,0,处的导数,向量函数,2.,向量值函数的导数与微分运算法则,（,1,（,2,（,3,（,4,）,（,5,）,证（,5,）,3.,注意,（,1,）,r(t,),的几何意义,（,2,）向量函数导数物理意义：,设,r(t,),为沿空间曲线运动质点位置,t,作为质点开始运动起时间：,例,1,求螺旋线,在点（,0,，,2,/2),处的切线方程,向上飞行，求,（,1,）,滑翔机,速度和加速度,（,2,）滑翔机,t,时刻的速率,（,3,）如果有的话，求滑翔机 的速度正交于加速度的时刻,例,3,证明 定长度的向量函数的导向量与,r(t,),垂直,证明：,如当我们跟踪以原点为中心的球面,上运动的质点时，位置向量有一个,等于球面半径的固定长度，（如图）,运动路径的速度向量 与运动路径相切,例 一质点以常角速度,w,0,在半径为,R,的圆上运动，,求其速度与加速度？,解：,r,( )=,(,R,cos, , R sin ,，,0 ),= - (,R,cos, R sin ,，,0,）,W,0,2,=,（,-R sin, R,cos,，,0,）,W,0,y,r(,),0 x,z,起点定在,O,点，当,t,变化时终点描绘出图形,是一条空间曲线弧。,三、弧微分,向量函数,弧微分,设,在,(,a,b,),内有连续导数,其,图形为,AB,弧长,或,平面曲线弧,我们已经得到了弧微分公式,空间曲线,弧微分,例：求螺旋线：,r,（,t,）,=( cost,sint,，,t),0t2,弧的长度,注,1,：,例 证明,：,简证：,M,注,2,设某质点在空间中运动轨道为,r(t,),:t,其中,t,被看作为质点开始运动起的时间值则：,向上滑行，,求滑翔机的路径的曲线的单位切向量,例（,P410,）单位向量关于时间参数,t,的导数模等于向量转动速度（角速度）的大小,