三垂线定理及其逆定理-人教版[原创]课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三垂线定理及其逆定理,p,O,自一点向平面引垂线，,垂足,叫做这点在这个平面上的,射影,；,这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的,垂线段,。,Q,(1)射影,一条直线和一个平面,相交,，但,不和这个平面垂直,，这条直线叫做这个平面的,斜线,，斜线和平面的交点叫做,斜足,。,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的,斜线段,。,A,C,B,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做,斜线在这个平面上的射影,；,垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的,斜线段在这个平面上的射影,。,斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。,A,C,B,O,定理,从平面外,一,点,向这个平面所引的,垂线段和斜线段中，,（1）,射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,（2）,相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,（3）,垂线段比任何一条斜线段都短,A,a,O,P,已知,PA、PO,分别是平面,的垂线、斜线，,AO,是PO在平面上的射影。a,，,a,AO,。,求证：,a,PO,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条,斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,三垂线定理,A,a,O,P,证明：,a,PO,PA,a, ,AO,a， AO与PA相交,a,平面,PAO,PO,平面,PAO,PA,a,P,C,B,A,例1 已知,P,是平面,ABC,外一点，,PA,平面,ABC,，,AC,BC,，,求证：,PC,BC,证明：,PA,平面,ABC,PC,是平面,ABC,的斜线,AC,是,PC,在平面,ABC,上的射影,BC,平面,ABC,且,AC,BC,由三垂线定理得,PC,BC,例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1),PA,正方形,ABCD,所在平面，,O,为对角线,BD,的中点,求证：,PO,BD,，,PC,BD,(3),在正方体,AC,1,中，求证：,A,1,C,B,1,D,1,，,A,1,C,BC,1,(2) 已知：,PA,平面,PBC,，,PB=PC,，,M,是,BC,的中点，,求证：,BC,AM,A,D,C,B,A,1,D,1,B,1,C,1,(1),(2),B,P,M,C,A,(3),P,O,A,B,C,D,P,M,C,A,B,P,A,O,a,A,1,C,1,C,B,B,1,O,A,a,P,我们要学会从纷繁的已知条件中找出,或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,，怎么找？,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面,内的射影和平面内的,一条直线垂直,注意：,由一垂、二垂直接得出第三垂,并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,P,A,O,a,P,A,O,a,b,c,d,e,三垂线定理,是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么？,解题回顾,直线,a,在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,P,A,O,a,例如：当,b, 时，,b,OA,注意,：,如果将定理中,“,在平面内,”的条件,去掉，结论仍然成立,吗？,b,但,b,不垂直于,OP,解题回顾,P,A,O,a,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,P,A,O,a,线面垂直,线斜垂直,P,A,O,a,直,线,和,平,面,垂直,平面内的直,线,和平面一条斜线的,射,影垂直,平面内的直,线,和平面的一条,斜,线垂直,线射垂直,线斜垂直,P,A,O,a,P,A,O,a,平面内的一条直,线,和平面的一条斜线在平面内的,射,影,垂直,平面内的一条直,线,和平面的一条,斜,线,垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一,条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,P,A,O,a,已知：,PA，PO,分,别是平面,的垂线和斜,线，,AO,是,PO,在平面,的射影,a,a,PO,求证：,a,AO,三垂线定理的逆定理,三垂线定理的逆定理,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,线射垂直,线斜垂直,定,理,逆,定,理,线射垂直,线斜垂直,定 理,逆定理,例3 在四面体,ABCD,中，已知,AB,CD,，,AC,BD,求证：,AD,BC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O，,连接BO，CO，DO，则BO，,CO，DO分别为AB，AC，,AD在平面BCD上的射影。,O,A,D,C,B,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,1.已知,PA,、,PB,、,PC,两两垂直，,求证：,P,在平面,ABC,内的射影是,ABC,的垂心。,C,B,P,A,H,2.经过一个角的顶点引这个角,所在平面的斜线，如果斜线和,这个角两边的夹角相等，那么,斜线在平面上的射影是这个角,的平分线所在的直线。,练习：,