晶体的光学各向异性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1 晶体的光学各向异性,4.1.1 张量的基础知识,1. 张量的概念,（1）.把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关,联起来，等式的关联系数（即关联因子；下同）就是张量。,（2）.把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来，,其中的关联因子就是张量。,（3）.把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关,联起来，其中的关联因子就是张量。,（4）.把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，,其中的关联因子就是张量。,1,由此可见，张量就是使一个矢量（或者标量）与另一,个及多个其它矢量（或者张量）相关联的物理量。,张量又称为并矢，其详细内容将在张量代数与张量,分析课程中学习。,例如，矢量,p,与矢量,q,有关，则其一般关系应为：,2,式中， 是关联,p,和,q,的二阶张量。在直角坐标系,O-,x,1,x,2,x,3,中，上式可表示为矩阵形式 ：,式中，三个矩阵分别表示矢量,p,、二阶张量 和矢量,q,。二,阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序),相关。张量也可以用其分量形式表示如下：,3,其一般分量形式为：,按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则,可自动地按该下标求和，将上式简化为,p,i,=,T,ij,q,j,i,j,=1, 2, 3 (4 - 5),可以看出：如果 是张量，则,p,矢量的某坐标分量不仅与,q,矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。,4,如果矢量,p,与两个矢量,u,和,v,相关，其一般关系式为：,分量表示式为：,式中， 为三阶张量，它包含27个张量元素，其矩阵形式为：,p,i,=,T,ijk,u,j,v,k,i, j, k,=1, 2, 3,5,实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一个矢量,可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下,标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三,个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。,6,2. 张量的变换,如上所述，由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发,生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系,中，某张量表示式为,Tij,，在新坐标系,中，该张量的表示式为,T,ij, 则当原坐标系,O,-,x,1,x,2,x,3,与新,坐标系的坐标变换矩阵为,a,ij,时，与,的关系为 :,7,其分量表示形式为:,这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标,分量，可通过逆变换得到:,如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式,A,与,原坐标系中的表示式,A,间的矩阵变换关系为:,i, j, k, l,=1, 2, 3,8,其分量变换公式为:,i, j,=1, 2, 3,9,3. 对称张量,一个二阶张量,T,ij,，如果有,T,ij,=,T,ji,，称为对称张,量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称,张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有,三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主,轴变换时， 二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张,量:,10,经上述主轴变换后，,可表示为:,11,最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物,理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量,本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量,写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。,12,4.1.2 晶体的介电张量,由电磁场理论已知，介电常数是表征介质电学特性的,参量。在各向同性介质中，电位移矢量,D,与电场矢量,E,满足如,下关系：,在此，介电常数,=,0,r是标量，电位移矢量,D,与电场,矢量,E,的方向相同，即,D,矢量的每个分量只与,E,矢量的相应分量,线性相关。对于各向异性介质(例如晶体)，,D,和,E,间的关系为:,13,介电常数 是二阶张量。其分量形式为：,即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相,关。在一般情况下，D与E的方向不相同。,又由光的电磁理论，晶体的介电张量 是一个对称张,量，因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对,角张量，只有三个非零的对角分量，为：,i, j,=1, 2, 3,14,1,2,3,称为主介电系数。由麦克斯韦关系式：,还可以相应地定义三个主折射率,n,1,n,2,n,3,。在主轴坐标系,中，电位移矢量的分量形式可表为：,15,此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的,空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，,分为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶,系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。,由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量,的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表4-1所,示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数,1,2,3,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、,四方、六方晶系中，主介电系数,1,=,2,3,这几类晶体在,光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，,1,=,2,=,3,。,16,4.1.3 晶体的光学各向异性,七大晶系的光学性质简介,17,表 4 - 1 各晶系的介电张量矩阵,18,