ch311定积分定义和可积条件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2009年12月15日,*,第,3,章 一元函数积分学及其应用,第,1,节 定积分的概念，存在条件与性质,第,2,节 微积分基本公式与基本定理,第,3,节 两种基本积分法,第,4,节 定积分的应用,第,5,节 反常积分,第,6,节 几类简单的微分方程,第,1,节,定积分的概念，存在条件与性质,1.1,定积分问题举例,1.2,定积分定义,1.3,定积分存在条件,1.4,定积分的性质,实例,1,求曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积,A,.,矩形面积,梯形面积,1.1,定积分问题举例,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形如图所示，,（,1,）分割,（,2,）近似代替,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,（,3,）求和,（,4,）取极限,设一物质非均匀,分布的长为,l,的细棒上各点的线密度为,r,(,x,),试求该细棒的质量,m,(,见图）,.,实例,2,物质,非均匀分布的细棒质量,思路,：把,细棒分割成若干小段,，,每小段上线密度看作不变，求出,各小段的质量再相加,，便得到细棒质量的近似值，最后通过对细棒的,无限细分,过程求得细棒质量的精确值,（,1,）分割,第,i,小段质量,某点的线密度,（,3,）求和,（,4,）取极限,细棒质量,（,2,）近似代替,实例,3,求变速直线运动的路程,思路,：把,整段时间分割成若干小段,，每小段上速度看作不变，求出,各小段的路程,再相加，便得到,路程的近似值,，最后通过对时间的,无限细分,过程求得路程的精确值,（,1,）分割,部分路程值,某时刻的速度,（,3,）求和,（,4,）取极限,路程的精确值,（,2,）近似代替,定义,1.1,（定积分）,1.2,定积分定义,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,积分和式,也称,Riemann,和,定义,1.1,并称,I,为,f,在,a,b,上的,及,任意,定积分,记作,几点说明：,（,3,）,定积分的定义,1.1,，是,Riemann,首先提出，所以被称为,Riemann,积分,.,a,b,上可积,的函数全体所成的集合记作,定积分的实质,：特殊和式的极限,实例,1-,曲边梯形的面积,实例,3,质点作变速直线运动的路程,实例,2,物质,非均匀分布的细棒质量,曲边梯形的面积,曲边梯形面积的负值,定积分的几何意义,（）,（）,x,o,a,b,各部分面积的代数和,（）,.,思考,1.3,定积分存在条件,提示,:,用反证法证明！,有理数点,无理数点,1,x,y,o,研究狄利克雷,(Dirichlet),函数,注意,有界函数未必一定可积。,25,定理,1.3,如果函数,则,定理,1.3,的函数连续性条件可稍微放宽一,点，,还有结论：,定理,1.4,如果函数,在区间,上有界,并且除去有限个间断点外处处连续,则,单调且有界，则,定理,1.5,如果函数,在区间,则,例,1,利用定义计算定积分,解,将,0,1,n,等分,分点为,取,注,27,注意,这里利用了连续函数的可积性,.,因为可积,所,以可取,特殊,的分割,(,等分,),和,特殊,的点,注,利用,得,两端分别相加,得,即,隐藏,原式,例,2,将下列和式极限表示成定积分,.,解,30,思考与练习,1.,用定积分表示下述极限,:,解,:,或,思考,:,如何用定积分表示下述极限,提示,:,极限为,0 !,