19含参变量的积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,前面：讨论过函数项级数,用来表示和研究一些,非初等函数（复杂函数）：当把求和看成连续量,求和时就是本章内容。,第十九章 含参变量的积分,学习方法：强调与,Ch12,对应。,1,1,含参变量的正常积分,2,在a, b 连续,定理19.1,在,上连续，则,若,等价于,：,而,即积分运算与极限运算可以交换次序 。,例,求：,3,（积分下求导数）,设,和,在,上连续，,则,在,有连续的导函数，且,即,定理19.2,4,例1.,求：,其中,解：对任意,存在b使得,，于是,都在,连续，由定理19.2得,当,时,5,令,则,(万能公式）,因此,6,积分得,又由 及,的连续性，得：,因此,7,1） 函数,的范围 满足Th19.2的条件,3） 积分求出,，确立常数,2） 求出,最后求得：,方法步骤：,8,例2.,计算定积分,这个积分并不带参变量，但如果直接求，很难积出来，,我们将通过积分求导数，再求出 I=I(1)，记,为此，引入参变量，考虑含参变量积分,解：,将参数加在这里是因为如果将参数加在其他地方都会变得更加的复杂而不能解决问题，所以把它加在x这里,9,则,它们都在,上连续，根据定理19.2，有,10,注意到 I(0)=0，故,从而,11,1） 引入参变量，考察含参变量积分,验证,在 0,10,1,3）求,2）求出,上满足Th19.2。,方法步骤：,12,定理19.3,设函数,f,(,x, y,) 在矩形区域,上连续，,则 （1）,在,连续；,在,连续，则,在,有连续偏导数。,（2）若,对各变元,13,定理19.4：设函数,f,(,x, y,),在,c,(,x,),，d,(,x,),都在,a, b,上连续，并且,有,上连续，,当,则,在,a, b,连续。,定理19.4,14,设函数,f,(,x, y,)，,都在,上连续，又,和,在,a, b,存在，且当,时，有,，则,在,a, b,可导，且,定理19.5,15,例3,. 设,，求,解: 这个积分积不出来，但由定理19.5有,16,例4.设,f,(,x,),在,x,=0,的某邻域内连续，则微分方程,附近可表成,其中,n,是任意正整数。,的解在,x,=0,证明: 利用定理19.5，则,17,一般地有,从而,显然,18,的可积性（积分问题）,在,a, b,可积 . 通常记,最后讨论,记号： 若,称为先对,y,后对,x,的累次积分,19,（积分交换次序）,在,a, b, 可积，且,即,设,f,(,x, y,) 在 ,a, b,c, d, 连续 ，则,定理19.6,20,证明：,先证明：,2.确定,中的常数,c=0,（取,u=a,）,中令,u=b,得证.,令,3.在,21,解：,，令,在 连续,，则 积分交换次序，,在例1中已求出,故,，用变量代换，,例5,.求,其中,22,2,含参变量的广义积分,1.一致收敛,广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，,另一种为瑕积分.,回忆函数项级数的情形， 在和函数分,析性质的研究中，,一致收,敛的概念起了关键作用.,通过一致收敛，把无穷和的性质化为有,限和的研究. 在含参变量,广义积分的讨论中，我们也引入一致收,敛的概念.,本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地,推广到瑕积分的情形.,一致收敛的概念起了关键作用.,他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.,23,设,f,(,x, y,) 定义在,a, b c,，且对任意,x,I,(,x,),=,收敛。若对任意的,都成立，则称含参变量的广义积分,在,a, b一致收敛 .,a, b,无穷积分,或,，存在,，当,时，有,定义19.1,对,x,a, b,24,例1. 证明：含参变量的广义积分,一致收敛.其中,a,0；,而, 所以对任给的,存在,当A,时有,从而当,时，对任意的,有,这就证明了,（1）在,不一致收敛.,证明: (1)因为,（2）在,在,一致收敛。,25,含参变量的广义积分,在,a, b,一致收敛的,充要条件是对任给的,，存在正数,，当,时，对任意的,a, b,，有,定理19.7(一致收敛的柯西准则),一致收敛判别法：,26,定理19.8,（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制,收敛判别法）,与常数Bc，使得当,与,a, b,时，有,而广义积分,是收敛的，则,在,a, b,一致收敛。,设存在函数,27,设（1）含参变量的正常积分,在,与,a, b,有界，即存在M0，,(2) 对每个固定的,a, b,，函数,g,(,x, y,)关于,y,是单调的，,时，g,(,x, y,),在,a, b,一致地趋向于0。则,在,a, b,一致收敛。,对任意的Ac及任意,a, b,有,且当,含参变量广义积分,定理19.9,（狄利克雷判别法）,28,设（1）,在,a, b,一致收敛；,a, b,，函数g,(,x, y,)关于,y,单调，,a, b,则含参变量广义积分,在,a, b,一致收敛。,（2）对每一个固定的,且,g(,x, y,),在,有界。,定理19.10,（阿贝尔判别法）,29,例2.,证明,在,一致收敛,对,与,成立，而广义积分,收敛，因此,在,一致收敛。,证明: 用魏尔斯特拉斯判别法 由于,例3.,证明,在,一致收敛.,30,在,若含参变量广义积分,在,a, b,上一致收敛，,设,则,I,(,x,),在,a, b,连续。,2,含参变量广义积分的分析性质,定理19.11,（积分号下取极限）,上连续，,31,设,在,在,a, b,上一致收敛，则,即,定理19.12,（积分交换次序）,上连续。若含参变量广义积分,32,设,和,都在,上连续，,在,a, b,上收敛，,在,a, b,上一致收敛，,在,a, b,可导，且,即,交换,x, y,结论依然成立,则,定理19.13,（积分号下求导）,若,33,例4,. 求狄利克雷积分,例6.,计算积分,解：令,，则,例5.,计算积分,解：利用例4.,解：注意到,34,定理19.14,(迪尼) 设,f,(,x, y,),在,连续，非负.若,在,收敛，且作为,y,的,函数在 连续，则,在,是一致收敛的.,35,定理19.15,设,在,连续且非负,都收敛，且分别在,和,连续，,，,，,中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等.,若,36,例7,. 计算概率积分,37,含参变量广义积分,它的定义域就是积分的收敛域：易知,（二）性质,在其定义域,内连续且,（一）定义 ：,1.它为无穷限广义积分,2.当,时又是瑕积分,有任意阶连续导数：,3 欧拉积分,1.函数：,函数,38,(三)递推公式,特别：,为正整数时,可见 函数是阶乘,n,!的延拓,39,称,（一）定义：含参变量的广义积分,（二）性质：,2. B函数,1.,它的定义域就是积分的收敛域,2.,当,a,1,b,1时积分是正常积分,3.,当,a,1或,b,1时积分是瑕积分,为,B,函数，定义域为,a,0 ,b,0,对称性,40,（,a,0 ,b,0,),（四）与 函数的关系（狄利克雷公式）,(三) 递推公式：,（,a,0 ,b,1,）,（,a,1 ,b,0 ）,41,内容小结,含参变量的正常积分的定义及其性质,含参变量广义积分的判别法、性质及其计算,欧拉积分的计算,42,习题,1.记,.则,2.求,，其中,解,：,.,43,再对,积分 ，得,，,，得,又,故,3.应用对参数求导法计算积分,（不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）,解：令,，则,44,故，,45,补充题,1.设,，求,解,：由于函数,，,都在,上连续，又,，,在,存在，且当,时，,46,，,于是,在,可导，且,故,.,，,47,作业,P269 1(1),(3);2(1),(4);6(1);9;11,P282 1(1),(4);9(2);12(5);13(1);14(1),P290 1(1),(1) ,(3);2(2) ,(4),48,