3.4基本不等式：ab≤a+b

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,No.1,预习学案,No.2,课堂讲义,No.3,课后练习,工具,第三章 不等式,栏目导引,1,探索并了解基本不等式的证明过程,2,能利用基本不等式证明简单不等式,3,熟练掌握基本不等式及变形应用,4,会用基本不等式解决简单的最大,(,小,),值问题,1,本课难点是利用基本不等式证明不等式,2,利用基本不等式求最值是本课热点,3,多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查,1,由不等式性质可知，对任意,a,，,b,R,，,(,a,b,),2,0,，因此,a,2,b,2,2,ab,.,什么时候等号能成立呢？当且仅当,时，取等号,2,把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为,a,.,如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同,(,其他因素不计,),，那么,a,并非物体的实际质量不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为,b,.,那么如何合理地表示物体的质量呢？,a,b,1,基本不等式,(1),重要不等式：对于任意实数,a,、,b,，都有,a,2,b,2,2,ab,，,当且仅当,时，等号成立,(2),基本不等式,形式：,成立的前提条件,： ；,等号成立的条件：当且仅当,时取等号,a,b,a,0,，,b,0,a,b,2,应用基本不等式求最值,如果,x,，,y,都是正数，那么,(1),若积,xy,是定值,P,，那么当,时，和,x,y,有,(2),若和,x,y,是定值,S,，那么当,时，积,xy,有,算术平均数,几何平均数,x,y,最小值,x,y,最大值,1,不等式,m,2,1,2,m,中等号成立的条件是,(,),A,m,1,B,m,1,C,m,1,D,m,0,解析：,m,2,1,2,m,时，,m,1.,故选,A.,答案：,A,答案：,B,3,设,a,，,b,R,，,a,3,b,，则,2,a,2,b,的最小值是,_,(2),a,0,，,b,0,，,c,0,，,a,2,b,2,2,ab,，,b,2,c,2,2,bc,，,c,2,a,2,2,ca,.,2(,a,2,b,2,c,2,),2(,ab,bc,ca,),，,即,a,2,b,2,c,2,ab,bc,ca,.,由于,a,，,b,，,c,为不全相等的正实数，故等号不成立,a,2,b,2,c,2,ab,bc,ca,.,利用基本不等式时，应按照,“,一正，二定，三相等,”,的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之,题后感悟,(1),利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的,“,拆项、添项、配凑、变形,”,等方法创设应用基本不等式的条件,(2),等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等,当且仅当,x,8,2(,y,1),时，,即,x,12,，,y,3,时上式取等号，,故当,x,12,，,y,3,时，,(,x,2,y,),min,18.,题后感悟,在利用基本不等式求最值时，除注意,“,一正、二定、三相等,”,的条件外，最重要的是构建,“,定值,”,，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧,3,设,x,0,，,y,0,，且,2,x,8,y,xy,，求,x,y,的最小值,某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在,2012,年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量,x,(,万件,),与年促销费,t,(,万元,),之间满足,3,x,与,t,1,成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是,1,万件，已知,2012,年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为,3,万元，每生产,1,万件化妆品需再投入,32,万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的,150%,与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完,(1),将,2012,年的利润,y,(,万元,),表示为促销费,t,(,万元,),的函数,(2),该企业,2012,年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？,(,注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用,),题后感悟,不等式应用的特点是：,(1),问题的背景是人们关心的社会热点问题，如,“,物价、销售、税收,”,等题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解,(2),在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：,先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；,建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；,在定义域内，求出函数的最大值或最小值；,正确写出答案,4,某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉,6,吨，每吨面粉的价格为,1 800,元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天,3,元，购买面粉每次需支付运费,900,元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？,解析：,设该厂每隔,x,天购买一次面粉，其购买量为,6,x,吨,由题意可知，面粉的保管费及其他费用为,3,6,x,6(,x,1),6(,x,2),6,1,9,x,(,x,1),设平均每天所支付的总费用为,y,1,元，,1,利用基本不等式求最值时，应注意的问题,(1),各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断,(2),求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值,(3),确保等号成立,以上三个条件缺一不可可概括为,“,一正、二定、三相等,”,特别提醒,连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致若不能同时取等号，则不能求出最值,2,应用基本不等式的常用技巧,获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键常用的方法有：,3,解不等式实际应用问题的思想方法,练考题、验能力、轻巧夺冠,