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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 线性系统的根轨迹法,4.1,根轨迹法的基本概念,4.2,根轨迹绘制的基本规则,4.3,广义根轨迹,4.4,系统性能的分析,自动控制原理课程的任务与体系结构,特点,： （,1,）图解方法，直观、形象；,（,2,）适用于研究当系统中某一参数变化时，,系统性能的变化趋势；,（,3,）近似方法，不十分精确。,根轨迹法是控制系统的三大分析校正方法之一。,4,.1.1,根轨迹概念,根轨迹,(,root locus,),简称,根迹，它是,开环系统,某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，,闭环系统特征方程式,的根在,s,平面上的变化轨迹。, 4.1,根轨迹法的基本概念,例,4-1,：系统结构图如图所示，分析,l,随开环增益,K,变化的趋势。,解：,K :,开环增益,K,*,:,根轨迹增益,4,.1.2,根轨迹与系统性能,系统性能：稳定性、稳态性能、动态性能。,4.1.3,闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,控制系统的一般结构如右图，相应的,开环,传递函数为,一般传递函数可写为,则,系统,闭环,传递函数,G(s,),C(s,),R(s,),H(s,),由上式可以得到如下关系,1,）,闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益；,2,）,闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点；,3,）,闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关。,根轨迹法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。,根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，,即,幅值条件：,相角条件：,G(s,),C(s,),R(s,),H(s,),4,. 1.,4,根轨迹方程,图示系统,，闭环,特征方程为,即,根轨迹方程,式中， 分别,代表所有开环零点、,极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。,相角条件是确定,s,平面上根轨迹的充要条件；当需要确定根轨上各点的,值时，使用幅值条件。, 4.2,根轨迹,绘制的基本规则,180,根轨迹的绘制规则（ ）,规则,1,根轨迹的起点和终点,根轨迹起于系统开环极点，终于系统开环零点。如果开环零点数,m,小于开环极点数,n,，则有,(,n,-,m,),条根轨迹趋向于无穷远。,规则,2,根轨迹的分支数、对称性和连续性,根轨迹的分支数与开环零点数,m,、开环极点数,n,中的大者相等，它们是连续的并且关于实轴对称。,根据根轨迹的对称性，只需要作出上半,s,平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半,s,平面的根轨迹。,p,1,j,p,2,z,规则,3,根轨迹的渐近线,(,与实轴的交点和夹角,),当开环极点数,n,大于开环零点数,m,时，有,n-m,条趋向无限零点的根轨迹的走向。,（,1,）渐近线与实轴的倾角,（,2,）渐近线与实轴的交点,式中， 分别为开环系统的零点和极点。,注,：只有在 时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。,j,0,K,= 0,K,= 0,K,K,0,j,0,j,K,g,K,g,K,g,0,j,0,j,-1,-2,j,1,规则,4,根轨迹在实轴上的分布,实轴上的某一区域，若其,右边,开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。,j,例,4-2,：已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根迹。,-1,，,-2,右侧实零、极点数,=3,-4,，,-6,右侧实零、极点数,=7,j, ,-6 -5,-,4 -3 -2 -1 0,解：,无零点，有两个极点,其根轨迹有两条分支趋向无穷远,渐近线倾角：,例,4-3,：,， 绘制根轨迹。,渐近线与实轴只交点：,w,j,s,0,-0.5,a,两条根轨迹分别从极点,0,、,0.5,出发,汇合于,a,点，然后分离，分别沿,90,，,90,的渐近线趋向无穷远。,例,4-4,设某负反馈系统的开环传递函数为,试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布。,解：,开环极点,p,1,= 0,、,p,2,=,1,、,p,3,=,5,。,系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限的开环极点，由于不存在有限的开环零点，当,K,g,时，沿着三条渐近线趋向无穷远处；三条渐近线在实轴上,的,交点,0,j,实轴上的根轨迹分布在,(0,，,1),和,(,5,，,),的实轴段上。,60,三条渐近线与正实轴上间的夹角：,-2,规则,5,根轨迹的分离点与分离角,两条或两条以上根轨迹分支在,s,平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的,分离点,（或会合点），它对应于特征方程中的二重根。,分离角,定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角。,分离点坐标,d,：,分离角：,式中， 分别为开环系统的零点和极点,;,为在,s,平面上相遇又立即分开的根轨迹的条数， 。,分离点,会合点,l=,2,时，分离角必为直角。,分离点的性质：,1,）分离点是系统闭环重根；,2,）,由于,根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；,3,）,实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；,4,）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。,j,0,例,4-5,求例,4-4,系统根轨迹的分离点。,解：根据例,4-4,，系统实轴上的根轨迹段（,1,，,0,），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为,d,，则,3,d,2,+ 12,d,+ 5 = 0,d,1,=,0.472,d,2,=,3.53(,不在根轨迹上，舍去，也可代入幅值方程看,Kg0,否？,),分离点上根轨迹的分离角为,90,。,0,j,如果方程的阶次高时，可用,试探法,确定分离点。,d,1,=,0.472,例,4-,6,已知系统开环传函为,试绘制系统的根轨迹。,解：,0,j,d,=,2.47,d =,2.47,规则,6,根轨迹的,起始角,和,终止角,(,开环极点的出射角和开,环零点的入射角,),起始角,：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴,的夹角；,终止角,：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴,的夹角。,根轨迹的出射角,根轨迹的入射角,出射角对复极点，入射角对复零点。,起始角：,例：起始角,终止角：,0,j,-1,-2,j,1,试绘制出系统的根轨迹。,解：,例,4-7,设负反馈系统的开环传递函数为,起始角与终止角,1,2,3,1,3,2,= 180,+,1,+,2,+,3,1,2,3,=180,+ 56.5,+ 19,+ 59,108.5,37,90, = 79,0,j,-1,-2,j,1,=180,117,90,+ 153,+ 63.5,+ 119,+ 121,=,149.5,试绘制出系统的根轨迹。,解：三个开环极点,p,1,= 0,、,p,2,3,=,1,j,渐近线：,3,条,0,j,例,4-8,设负反馈系统的开环传递函数为,根轨迹与虚轴交点,：系统的闭环特征方程为,s,3,+ 2,s,2,+ 2,s,+,K,g,= 0,劳斯表,s,3,1 2,s,2,2,K,g,s,1,(4,K,g,)/2,s,0,K,g,令,s,1,系数为,0,，得,K,g,= 4,代入辅助方程,2,s,2,+,K,g,= 0,实轴上根轨迹,：,(,，,0,),，即整个负实轴。,出射角,：,绘制出系统根轨迹如图所示。,0,j,1,2,K,g,K,g,K,g,j,1.414,K,g,= 4,-45,规则,7,根轨迹与虚轴的交点,当根轨迹增益,K*,增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴进入右半平面，出现实部为正的特征根。,根轨迹和虚轴相交时，系统处于,临界稳定状态,。则闭环特征方程至少有一对,共轭虚根,。,根轨迹与虚轴交点的求法：,1,）劳斯判据法,应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值,K,，,由,K,值求出相应的,值。,2,）代数法,把 代入特征方程,联立求解方程，,得根轨迹与虚轴的交点,值和相应的临界,K,值。,方法,1,Routh,判据法,Routh,表：,S,3,1 2,S,2,3,k,S,1,0,S,0,k,0,K,=6,时，,S,1,行全为,0,辅助方程：,3S,2,6,0,解方程得：,例：系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点,例：系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。,解：,方法,2,代数法,解方程得：,将 代入系统闭环特征方程,法则,8,根之和。,当 时，无论,K,*,取何值，开环,n,个极点之和总是等于闭环特征方程,n,个根之和。,(4-25),在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益,K,*,增大时，若闭环某些根在,s,平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。,式中，,s,i,为闭环特征根。,规则,9,开环增益的求取,利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的,K*,值，也可在根轨迹上标出一些点的,K*,值。,例：已知单位反馈系统的开环传递函数， 试绘制根轨迹的大致形状。,解：,开环极点：,P,1,=0,，,P,2,=-3,，,P,3,=-1+j,，,P,4,=-1-j,无开环零点，,n-m,=4,实轴上,0,，,-3,为根轨迹,渐近线与实轴交点：,渐近线与实轴正方向的夹角：,根轨迹实轴的分离点,（舍去）,分离角,根轨迹在开环极点,p3,处的起始角,根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）,解得临界稳定的条件：,K=8.16,代入,s,2,行无素构成的辅助方程,-1.25,-2.3,p1,p2,p3,p4,135,0,26.6,0,2,闭环极点的确定,利用幅值条件，可求特定,K,*,值的闭环极点。,高阶系统,常用,试探法,先,求闭环实数极点数值,，然后用,综合除法,得到,其余的闭环极点,。,在特定的,K*,值下，如果有一对复数闭环极点，也可以直接在概略根轨迹图上用此方法求取。,例,4-9,求已知开环传递函数的闭环极点,解：,由开环传递函数可知系统的开环增益为：,根轨迹图如示，分离点,d,=-0.423,，,对应,K,*,=0.385,虚轴的交点,，对应,K,*,=,6,。,-2,0,-1,1,j,因此，闭环系统极点有一对共轭复根。由于闭环系统为,3,阶，同时还有一个实根，下面先用试探法求实根。,-2,0,-1,1,j,可得：,在,s,= -2,的左侧选,s,1,点，由幅值条件：,s,1,= -2.34,闭环系统特征方程式为：,应用,综合除法,可求得：,s,2,=-0.33+,j,0.58 ，,s,3,=-0.33-,j,0.58,利用,试探法,可近似求得满足上述方程的,闭环实极点：,更换课件,4-3, 4.3,广义根轨迹,4,. 3.,1,参数,根轨迹,在控制系统中，,K*,变化时的根轨迹叫做,常规根轨迹,。,其他参数的根轨迹统称为,广义根轨迹,。,除根轨迹增益 以外的其他参量,（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）,从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为,参数根轨迹,。,研究参数根轨迹的目的：,分析参数变化对系统性能的影响。,绘制参数根轨迹图基本原理：,引入,“,等效开环传递函数,”,，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的问题。,常规根,轨迹方程：,参数根,轨迹方程：,等效开环传递函数,A,为除 外，系统任意的变化参数，而 和 为两个与,A,无关的首一多项式。,例：已知某位反馈系统的开环传递函数为,试绘制参数,a,由零连续变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。,解：,系统的闭环特征方程为,等效系统开环传递函数为,（,1,）起点： 。,（,2,）终点：三条根轨迹都趋向于无限零点。,（,3,）实轴上的根轨迹：含坐标原点在内的整个负实轴。,（,4,）分离点：分离点的计算公式为,其中,（,5,）根轨迹的渐近线,渐近线的倾角,渐近线的交点,（,6,）根轨迹与虚轴的交点,系统的闭环特征方程为,解得交点为,可绘制系统根轨迹如下图所示,劳斯表：,-1/6,-0.5,0.5,绘制参数根轨迹的一般步骤,（,1,）写出原系统的特征方程；,（,2,）以特征方程式中不含参量的各项除特征方,程，得等效系统的根轨迹方程，该方程中,原系统的参量即为等效系统的根轨迹增益；,（,3,）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。,4,. 3.,2,附加开环零点的作用,附加零点对闭环系统性能的作用体现在改变根轨迹的形状和走向；,适当的附加零点减少渐近线条数，能够改善系统的稳定性；,附加零点位置的选择应兼顾稳定性和动态性能。,4,. 3.,3,零度根轨迹,如果所研究的控制系统为,非最小相位系统,，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹。因为其相角遵循 条件，故一般称之为,零度根轨迹,。,零度根轨迹的,来源,有两个方面：其一是,非最小相位系统中包含,s,最高次幂的系数为负的因子,；其二是,控制系统中包含有正反馈内回路,。前者是由于被控对象，如飞机、导弹的本身特性所产生，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂系统设计中，必须包含正反馈回路所致。,零度根轨迹的绘制，原则上可参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。,绘制,0,度根轨迹的基本规则：,规则,1,根轨迹的起点和终点同常规根轨迹；,规则,2,根轨迹的分支数对称性和连续性,同常规根轨迹；,规则,3,渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为： ，有,n-m,个角度；,规则,4,实轴上的根轨迹：其,右,方实轴上的开环零、极点个数之和为偶数（包括,0,）的区域；,规则,5,分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；,规则,7,与虚轴的交点：同常规根轨迹；,规则,8,闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。,规则,6,起始角和终止角,(,出射角和入射角,),：,起始角为其它零、极点到所求起始角复数极点的诸向量相角只差，即,终止角等于其它零、极点到所求终止角复数零点的诸向量相角之差的负值，即, 4.4,系统性能的定性分析,（,1,）,稳定性。稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。,（,2,）,运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。,（,3,）,超调量。主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 ，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。,（,4,）,调节时间。主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值 ；如果实数极点距虚轴最近，且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。,4,. 4.,1,闭环零极点位置对时间响应性能的影响,（,5,）,实数零、极点影响。零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。,（,6,）,偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原点的偶极子，其影响可以忽略；接近原点的偶极子，其影响则必须考虑。,（,7,）,主导极点。在,s,平面上，最靠近虚轴而附近又无闭环零点的一些闭环极点，对系统性能影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大,6,倍以上的其它闭环零、极点，其影响均可忽略。,4,. 4.,2,增加开环零、极点对根轨迹的影响,根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性,能，而且，所加的零点越靠近虚轴，则影响越大。,开环传递函数增加零点,提高了系统的相对稳定性,渐近线与实轴倾角随着,m,数增大而增加,根轨迹向左方向弯曲,渐近线与实轴交点随着,Z,c,增大（,Z,c,点在实轴上向右移）而左移,1.,增加开坏零点对根轨迹的影响,增加开环零点的影响,增加一个零点的情况,右移零点,增加开环零点的影响,2.,增加开环极点对根轨迹的影响,根轨迹曲线将向右偏移，不,利于改善系统的动态性能，而且，所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就越大。,开环传递函数增加极点,降低了系统的相对稳定性,渐近线与实轴倾角随着,n,数增大而减小,根轨迹向右方向弯曲,渐近线与实轴交点随着,p,c,增大（,p,c,点在实轴上向右移）而右移，故更靠近原点 。,向右弯曲趋势随着所增加的极点移近原点而加剧,增加开环极点的影响,增加一个极点,右移极点,增加开环极点的影响,例： 已知某系统的开环传递函数,若给此系统增加一个开环极点（,p=,2),或增加一个开环零点,(z=,2),。试分别讨论对系统根轨迹的影响。,解,:,0,j,1,0.5,0,2,1,0.422,j,0,1,0.583,2,j,增加一个开环极点,（,p=,2),增加一个开环零点,(z=,2),
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