四节可降阶高阶微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四节,可降阶的高阶微分方程,一、,y,(,n,),=,f,(,x,),型的微分方程,1,一、,y,(,n,),=,f,(,x,),型的微分方程,方程,可改写为,再积分一次，得,依次积分,n,次，得方程(1)的含有,n,个任意常数的通解.,2,例1,解,对所给方程依次积分三次,得,记 即得,其中,C,1,C,2,C,3,为任意常数,.,3,这是关于变量,x,和,p,的一阶微分方程，若能求出其通解，设为 ，即有,微分方程,代入方程(2)，得,两端积分，得方程(2)的通解,其中,C,1,C,2,为任意常数,.,4,这是一阶线性非齐次方程，利用通解公式，可得,例2,解,5,于是有,再积分一次，得原方程的通解为,6,这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得,例3,解,7,这是一阶微分方程，积分一次，得,所求特解为,8,例,4,设火车以,30m/s(,相当于,108km/h),的速度在平直的轨道上行驶,(,假设不计空气阻力和摩擦力,).,当火车制动,(,刹车,),时获得加速度,2.6m/s,2,问开始制动经多长时间才能停住,?,在这段时间内火车行驶了多少路程,?,解 设火车开始制动时,t=0,经,t,s,行驶了,s,m,其运动方程,初始条件,对方程,(3),两边积分一次,得,9,再积分一次,得方程,(3),的通解为,将初值条件,(4),得,C,1,=30,C,2,=0,于是,由于火车停住时,v,=0,得到,火车制动后行驶的 路程为,10,