2-8连续函数的运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数与极限,*,1,2.8,连续函数的运算与 初等函数的连续性,连续函数的四则运算的连续性,连续函数的反函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第,2,章 极限与连续,连续函数的复合函数的连续性,一、四则运算的连续性,定理,1,例如,二、反函数的连续性,定理,2,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续,.,不加证明的指出指数函数,单调且连续,;,所以它的反函数对数函数,单调且连续,;,5,定理,3,设函数,y,=,f,g,(,x,),是由函数,y,=,f,(,u,),与,函数,u,=,g,(,x,),复合而成,则复合函数,y,=,f,g,(,x,),在,x,=,x,0,连续,.,证,三、连续函数的复合函数的连续性,若函数,u,=,g,(,x,),在,x,=,x,0,连续,且,g,(,x,0,) =,u,0,而函数,y,=,f,(,u,),在,u,=,u,0,连续,有可能,g,(,x,) =,u,0,但此时,f,g,(,x,)=,f,(,u,0,)=,f,g,(,x,0,),并不影响上述极限过程,.,6,例,解,由,所以,满足,定理,3,的条件有,:,上述定理对计算某些极限很方便,.,可交换次序,意义,可交换次序,;,2.,变量代换,的理论依据,.,1.,在定理的条件下,7,例,解,这里,不连续,但,所以,8,例,解,同理可得,四、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,基本初等函数在定义域内是连续的,.,(,均在其定义域内连续,),定理,4,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,1.,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续,;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义,.,在,0,点的邻域内没有定义,.,注意,注意,2.,初等函数求极限的方法,代入法,.,例,例,解,解,13,练习,解,考研数学三,填空题, 3,分,定理,3,则有,14,练习,考研数学,(,三,四,),选择题,(4,分,),则,(A),x,= 0,必是,g,(,x,),的第一类间断点,.,(B),x,= 0,必是,g,(,x,),的第二类间断点,.,(C),x,= 0,必是,g,(,x,),的连续点,.,(D),g,(,x,),在点,x,= 0,处的连续性与,a,的取值有关,.,注,:,例如,解,16,五、小结,连续函数的四则运算的连续性,;,连续函数的复合函数的连续性,;,初等函数的连续性,:,求极限的又一种方法,.,连续函数的反函数的连续性,;,定义区间与定义域的区别,;,17,解答,思考题,1,如果函数,f,(,x,),、,g,(,x,),至少有一个在点,x,0,不,那么,f,(,x,) +,g,(,x,),在该点是否连续,?,连续,(1),若两个函数 中,只有一个在点,x,0,不连续,则,f,(,x,) +,g,(,x,),在点,x,0,必不连续,.,用反证法证之,:,不妨设在点,x,0,并假设,f,(,x,) +,g,(,x,),在点,x,0,连续,则由连续函数的运算性,质有,:,在点,x,0,连续,与已知矛盾,.,故,f,(,x,) +,g,(,x,),在点,x,0,不连续,.,f,(,x,),连续,g,(,x,),不连续,;,18,解答,思考题,1,如果函数,f,(,x,),、,g,(,x,),至少有一个在点,x,0,不连续,(2),若,f,(,x,),、,g,(,x,),在点,x,0,均不连续,则,在,f,(,x,) +,g,(,x,),在点,x,0,可能连续,那么,f,(,x,) +,g,(,x,),在该点是否连续,?,也可能不连续,.,如,:,在,x,=,0,处均不连续,在,x,=,0,处,连续,.,在,x,=,0,处均不连续,在,x,=,0,处亦不连续,.,19,思考题,2,(,是非题,),处有定义,则,非,故,但,20,思考题,2,(,是非题,),处有定义,则,所以,不存在,.,故,正确的说法是,:,在点,x,0,连续,则,作业,习题,2.8 (52,页,),1. 3(2)(3)(6)(9)(11)(13)(16).,