2-5-函数的连续性和运算法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五节 连续函数及其运算,一、函数连续的定义,二、四则运算的连续性,三、反函数与复合函数的连续性,四、初等函数的连续性,五、极限的幂指运算法则,六、小结,函数的增量,自变量,称差,为自变量在,的增量;,函数随着从,称差,为函数的,增量.,如图:,一、函数连续的定义,注意:,x,可能是正的,也可能是负的.,如：,1.,连续函数的定义,f,(,x,),注：,两个定义是等价的,例,证,由函数连续的定义知：,2. 单侧连续,定理,例,解,右连续但不左连续 ,3.连续函数与连续区间,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,证,例,证,例 证明,y,= sin,x,在定义域内连续.,由于,于是,证,因此,y,= sin,x,在定义域内连续.,于是,二、四则运算的连续性,定理1,注,三、反函数与复合函数的连续性,定理2 单调的连续函数必有单调连续的反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,注意,例如,极限符号可以与函数符号互换,四、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),定理5 一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,例,例,解,解,注意：求连续函数的极限的方法代入法,例,解,例,解,五、小结,连续函数的和差积商的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别,反函数的连续性.,求连续函数极限的方法（,代入法,）,作业：,习题2：14,18,练 习 题,2,1/2,0,0,二、,