22-1函数的极限定义、性质课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,福州大学数学与计算机学院,*,第二节 函数的极限,三、单侧极限,四、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向有限值时函数的极限,二、函数极限的性质,五、两个重要极限,9/12/2024,1,福州大学数学与计算机学院,x的变化趋势有:,自变量的变化过程,9/12/2024,2,福州大学数学与计算机学院,一、自变量趋向有限值时函数的极限,问题:,9/12/2024,3,福州大学数学与计算机学院,1.,x,x,0,时,f,(,x,) 的极限,定义,若存在常数,A,对,任意给定的正数,0, 总,存在正数,0,只要,f,的定义域中的点,x,满足,0,|x,x,0,|,时，恒有,|f,(,x,),A|B,则由定理3,9/12/2024,15,福州大学数学与计算机学院,性质3 (局部保号性),9/12/2024,16,福州大学数学与计算机学院,性质3,9/12/2024,17,福州大学数学与计算机学院,性质4,若极限 (或 )存在，则极限是惟一的.,2. 极限的惟一性,9/12/2024,18,福州大学数学与计算机学院,证,不妨设,A,B,由定义, 对,故极限若存在则必唯一.,9/12/2024,19,福州大学数学与计算机学院,性质6,性质6,3.,有极限的函数的,局部,有界性,9/12/2024,20,福州大学数学与计算机学院,4.函数极限的归并性,(函数极限与数列极限的关系),定义,性质7,利用函数极限的归并性,我们可以利用数列极限的结论来推导函数极限的类似结论.,9/12/2024,21,福州大学数学与计算机学院,证: 必要性,9/12/2024,22,福州大学数学与计算机学院,充分性,9/12/2024,23,福州大学数学与计算机学院,于是,可得一数列x,n,x,0,x,n,x,0,而右边一列则说明数列f(x,n,)不以A为极限,此与假设矛盾.充分性得证.,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,定理给出了函数极限与数列极限的关系:,9/12/2024,24,福州大学数学与计算机学院,例如,9/12/2024,25,福州大学数学与计算机学院,判别极限不存在的一个方法,9/12/2024,26,福州大学数学与计算机学院,例1,证,9/12/2024,27,福州大学数学与计算机学院,二者不相等,9/12/2024,28,福州大学数学与计算机学院,准则,I称为,夹逼准则,.,性质5.收敛准则,5.极限收敛准则,9/12/2024,29,福州大学数学与计算机学院,证,利用数列极限的存在准则得:,由函数极限的归并性,就证明了函数极限:,9/12/2024,30,福州大学数学与计算机学院,例1,9/12/2024,31,福州大学数学与计算机学院,极限的运算法则,1. 极限运算法则,定理,9/12/2024,32,福州大学数学与计算机学院,证,利用数列极限的四则运算法制则得:,从而就证明了函数极限的四则运算法则.,9/12/2024,33,福州大学数学与计算机学院,推论1,即：常数因子可以提到极限记号外面.,极限运算的线性性质：,极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形.,9/12/2024,34,福州大学数学与计算机学院,推论2,有限个函数乘积的极限等于各函数极限的乘积.,推论3,9/12/2024,35,福州大学数学与计算机学院,2. 求极限方法举例,例1,解,9/12/2024,36,福州大学数学与计算机学院,小结:,9/12/2024,37,福州大学数学与计算机学院,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,9/12/2024,38,福州大学数学与计算机学院,解,例3,(消去零因子法),9/12/2024,39,福州大学数学与计算机学院,例4,解,9/12/2024,40,福州大学数学与计算机学院,(2) 解,例,9/12/2024,41,福州大学数学与计算机学院,(3) 解,(分母或分子有理化),例,9/12/2024,42,福州大学数学与计算机学院,解,9/12/2024,43,福州大学数学与计算机学院,