2.1数方程(曲线的参数方程)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲：参数方程,曲线的参数方程,？,救援点,投放点,一架救援飞机在离灾区地面,500m,高处,100m/s,的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？,如图，建立平面直角坐标系。,因此,不易直接建立,x,y,所满足的关系式。,x,表示物资的水平位移量，,y,表示物资距地面的高度，,由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，,x,y,500,o,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（,1,）沿,ox,作初速为,100m/s,的匀速直线运动；,（,2,）沿,oy,反方向作自由落体运动。,在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？,t,时刻，水平位移为,x=100t,，离地面高度,y,，即：,y=500-gt,2,/2,，,物资落地时，应有,y=0,，,得,x1010m,；,即,500-gt,2,/2=0,，解得，,t10.10s,，,因此飞行员在距离救援点水平距离约为,1010,米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。,参数方程的概念：,一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x,，,y,都是某个变数,t,的函数,那么方程组就叫做这条曲线的,参数方程,，联系变数,x, y,的变数,t,叫做,参变数,，简称,参数,。,并且对于,t,的每一个允许值，由方程组所确定的点,M(x, y),都在这条曲线上，,参数是联系变数,x, y,的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。,例,1:,已知曲线,C,的参数方程是 （,t,为参数）,(1),判断点,M,1,(0,，,1),，,M,2,(5,，,4),与曲线,C,的位置关系；,(2),已知点,M,3,（,6,，,a,）在曲线,C,上，求,a,的值。,解：,(1),把点,M,1,的坐标,(0,1),代入方程组，解得,t=0,，所以,M,1,在曲线上,把点,M,2,的坐标,(5,4),代入方程组，得到,这个方程无解，所以点,M,2,不在曲线,C,上,(2),因为点,M,3,(6,a),在曲线,C,上，所以,解得,t=2, a=9,所以，,a=9.,练习,1,、曲线,与,x,轴的交点坐标是,( ),B,A(1,，,4),；,B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0),2,、方程,所表示的曲线上一点的坐标是,( ),D,A(2,，,7),；,B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1,，,0),3,已知曲线,C,的参数方程是 点,M(5,4),该曲线上,.,(1),求常数,a;,（,2,）求曲线,C,的普通方程,(1),由题意可知,: 1+2t=5,，,at,2,=4,；,a=1,，,t=2,；,代入第二个方程得,: y=(x-1),2,/4,4,动点,M,作等速直线运动,它在,x,轴和,y,轴方向的速度分别为,5,和,12 ,运动开始时位于点,P(1,2),求点,M,的轨迹参数方程,.,解：设动点,M (x,y),运动时间为,t,，依题意，得,A,一个定点,B,一个椭圆,C,一条抛物线,D,一条直线,D,A,B,C,D,5,下列在曲线,上的点是,( ),B,（,4,）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程,.,参数方程求法,:,（,1,）建立直角坐标系,设曲线上任一点,P,坐标为,(,x,y,);,（,2,）选取适当的参数,;,（,3,）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点,P,坐标与参数的函数式,;,圆的参数方程,y,x,o,r,M(x, y),圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，,怎样刻画运动中点的位置呢？,那么,=t.,设,|OM|=r,，那么由三角函数定义，有,如果在时刻,t,，点,M,转过的角度是,，坐标是,M(x, y),，,即,这就是圆心在原点,O,，半径为,r,的圆的参数方程,参数,t,有物理意义,(,质点作匀速圆周运动的时刻,),考虑到,=t,，也可以取,为参数，于是有,圆心为原点半径为,r,的圆的参数方程,.,其中参数,的几何意义是,OM,0,绕点,O,逆时针旋转到,OM,的位置时，,OM,0,转过的角度,圆心为 ，,半径为,r,的圆的参数方程,一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，,另外，要注明参数及参数的取值范围。,解：,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,化为标准方程, (x+1),2,+(y-3),2,=1,参数方程为,(,为参数,),例,1,已知圆方程,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。,练习：,例,2,如图,圆,O,的半径为,2,，,P,是圆上的动点，,Q(6,0),是,x,轴上的定点，,M,是,PQ,的中点，当点,P,绕,O,作匀速圆周运动时，求点,M,的轨迹的参数方程。,y,o,x,P,M,Q,解：设点,M,的坐标是,(x, y),则点,P,的坐标是,(2cos,2sin,).,由中点坐标公式可得,因此，点,M,的轨迹的参数方程是,例,3,已知,x,、,y,满足,求,的最大值和最小值,解：由已知圆的参数方程为,例,4 (1),点,P(m,n),在圆,x,2,+y,2,=1,上运动,求点,Q(m+n, 2mn),的轨迹方程,;,(2),方程,x,2,+y,2,-2(m+3)x+2(1-4m,2,)y+16m,4,+9=0.,若该方程表示一个圆,求,m,的取值范围和圆心的轨迹方程,.,已知,P(x, y),圆,C,：,x,2,+y,2,6x,4y+12=0,上的点。,(1),求 的最小值与最大值,(2),求,x,y,的最大值与最小值,例,5,最值问题,例,6,参数法求轨迹,已知点,A(2, 0),P,是,x,2,+y,2,=1,上任一点,的平分线交,PA,于,Q,点,求,Q,点的轨迹,.,AQ:QP=2:1,2,点,P(x, y),是曲线,为参数,),上任意一点，则,的最大值为,( ),A 1 B 2 C D,练习,1 P(x, y),是曲线,(,为参数,),上任意一点,则,的最大值为,( ),A,A,36 B,6 C,26 D,25,D,3,圆,的圆心的轨迹是,( ),A,圆,B,直线,C,椭圆,D,双曲线,A,(,为参数,),上任意一点,则,4,点,P(x, y),是曲线,的最大值为,.,.,5,已知点,P,是圆 上一个动点,定点,A(12, 0),，,点,M,在线段,PA,上，且,2|PM|=|MA|,，当点,P,在圆上运动,时，求点,M,的轨迹,解：设点,M,的坐标是,(x, y),则点,P,的坐标是,(4cos,4sin,).,2|PM|=|MA|, ,由题设,(x-12, y)=,因此，点,M,的轨迹的参数方程是,参数方程和普通方程的互化,把它化为我们熟悉的普通方程，有,cos=x-3, sin=y;,于是,(x-3),2,+y,2,=1,，,轨迹是什么就很清楚了,在例,1,中，由参数方程,直接判断点,M,的轨迹是什么并不方便，,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的,.,把参数方程化为普通方程：,例,1,、,把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？,解,:,(1),由,得,代入,得到,这是以（,1,，,1,）为端点的一条射线；,所以,把,得到,(1),(2),(3),x=t+1/t,y=t,2,+1/t,2,(1) (x-2),2,+y,2,=9,(2) y=1- 2x,2,（,- 1x1,）,(3) x,2,- y=2,（,x2,或,x- 2,）,练习、,将下列参数方程化为普通方程：,步骤：,（,1,）消参； （,2,）求定义域。,练习 将下列参数方程化为普通方程,(2),B,例,2,求参数方程,表示（ ）,（,A,）双曲线的一支,这支过点（,1, 1/2,）,;,（,B,）抛物线的一部分,这部分过（,1, 1/2,）,;,（,C,）双曲线的一支,这支过点（,1, 1/2);,（,D,）抛物线的一部分,这部分过（,1, 1/2).,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：,1.,代入法：,利用解方程的技巧求出参数,t,然后代入消去参数,2.,三角法：,利用三角恒等式消去参数,3.,整体消元法：,根据参数方程本身的结构特征,整体上消去,化参数方程为普通方程为,F(x,y)=0,：在消参过程中注意,变量,x,、,y,取值范围的一致性,，必须根据参数的取值范围，确定,f(t),和,g(t),值域得,x,、,y,的取值范围。,小 结,普通方程化为参数方程：,普通方程化为参数方程需要引入参数：,如：直线,l,的普通方程是,2x-y+2=0,，可以化为参数方程,:,一般地,如果知道变量,x, y,中的一个与参数,t,的关系,例如,x=f(t),，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数,t,的关系,y=g(t),，那么,:,就是曲线的参数方程。,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x, y,的取值范围保持一致,例,3,求椭圆,的参数方程：,(1),设,为参数；,(2),设,为参数,.,为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？,在,y=x,2,中，,xR, y0,，,因而与,y=x,2,不等价；,练习,:,曲线,y=x,2,的一种参数方程是（ ）,.,在,A,、,B,、,C,中，,x, y,的范围都发生了变化，,而在,D,中，,x, y,范围与,y=x,2,中,x, y,的范围相同，,代入,y=x,2,后满足该方程，,从而,D,是曲线,y=x,2,的一种参数方程,.,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的,.,解：,(1),，设,，,t,为参数；,(2),，设,，,为参数。,练习 把下列普通方程化为参数方程：,练习 把下列参数方程化为普通方程,(3),(t,是参数,),练习,P,是双曲线,(t,是参数,),上任一点，,F,1, F,2,是该焦点：求,F,1,F,2,的重心,G,的轨迹的普通方程。,