材料力学第六章静不定

材料力学,*,一、静定静不定概念,1、,静定问题,仅用静力平衡方程就能求出全部未知,力，这类问题称为静定问题.,实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。,2、,静不定问题,仅用静力平衡方程不能求出全部未,知力。又称超静定问题。,实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。,第六章 简单超静定问题,6.2 概述及拉压静不定问题,材料力学,1,3、,静不定次数：,未知力数目与平衡方程数目之差。,也是需要补充的方程数目。,未知力：4个,平衡方程：2个,静不定次数 = 4,2 = 2,需要补充2个方程,此结构可称为2次静不定结构,材料力学,2,5、,多余约束力：,多余约束提供的约束力。,静不定次数 = 多余约束力数目,4、,多余约束：,结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这,些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定),材料力学,3,二、拉压静不定问题的解法,1、判断静不定次数；,2、列静力平衡方程；,3、列几何方程：,反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需,具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。,特别注意：力与变形相对应！,（即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应）,4、列物理方程：变形与力的关系；,5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得,变形协调方程,。,材料力学,4,拉压静不定问题的解法,（1）静力平衡方程力学原有基础,（2）,变形协调方程几何,灵活思考,（3）材料本构方程物理,构筑桥梁,（4）方程联立求,解代数综合把握,材料力学,5,解：,1、判断,：一次静不定。,图示结构，求各杆轴力。,F,E,2,A,2,l,2,E,3,A,3,l,3,=,E,2,A,2,l,2,E,1,A,1,l,1,A,B,C,D,F,F,N1,F,N3,F,N2,x,y,2、列平衡方程,3、列几何(变形协调)方程,D,l,3,D,l,1,4、列物理方程,5、列补充方程,将物理方程代入几何方程得补充方程,材料力学,6,解得,材料力学,7,OAB,为刚性梁，,写几何方程。,l,l,F,45,0,O,A,B,l,l,l,F,a,O,A,B,l,b,C,OAB,为刚性梁， 、两杆材料相同，,抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。,D,l,1,D,l,2,D,l,1,材料力学,8,a,a,F,45,0,O,A,B,OAB,为刚性梁，、两杆材料相同，,EA,2,=2,EA,1,。求杆与杆的应力之比。,D,l,1,D,l,2,解：变形协调关系,即,由物理关系建立补充方程，考虑对,O,取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。,小技巧,材料力学,9,D,l,3,D,l,2,F,A,B,C,D,30,0,30,0,l,图示支架承受力,F,作用，杆的抗拉刚度为,EA,，,杆的,抗拉刚度为1.5,EA,，,杆的抗拉刚度为2,EA,。求各杆的轴力。,解：平衡方程为,A,F,F,N1,F,N2,F,N3,变形协调方程,A,D,l,1,30,0,30,0,30,0,30,0,30,0,化简得,材料力学,10,物理关系为,代入变形协调方程得补充方程,联立平衡方程求得,求拉压静不定结构注意事项,内力假设与变形假设应一致。,内力假设受拉，变形只能假设伸长。,内力假设受压，变形只能假设缩短。,材料力学,11,2,D,l,2,=,D,l,1,+,D,l,3,2(,D,l,2,+,D,l,1,) =,D,l,3,+,D,l,1,2(,D,l,2,+,D,l,3,) =,D,l,1,+,D,l,3,几何方程,图示静不定结构，,可列如右变形图。,F,刚 体,a,a,1,2,3,（a）,l,1,l,2,l,3,（b）,l,1,l,2,l,3,（c）,l,1,l,2,l,3,材料力学,12,还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。,对应受力图,F,F,N1,F,N2,F,N3,（b）,F,F,N1,F,N2,F,N3,（c）,F,F,N1,F,N2,F,N3,（a）,（a）,l,1,l,2,l,3,（b）,l,1,l,2,l,3,（c）,l,1,l,2,l,3,材料力学,13,内力按刚度比分配。,思考：静定结构是否也是这样？,刚度较大,内力较大,静不定结构的特点（,1,）,F,A,B,C,D,F,A,B,C,刚度增加,内力不变,材料力学,14,静不定结构的特点（,2,） 装配应力,A,B,C,A,B,C,D,静定结构,无装配应力,静不定结构,？产生装配应力,材料力学,15,解：因制造误差，装配时,各杆必须变形,，,因此产生装配内力。,一次静不定问题。,几何方程：,D,l,1,D,l,2,/ cos,q,=,d,平衡方程：,F,N2,=,F,N3,F,N1,2,F,N2,cos,q,=0,已知三根杆,EA,相同，1杆有制造误差,d,，,求装配后各杆的应力。,d,q,1,2,3,l,A,B,C,D,q,D,l,1,D,l,2,F,N1,A,F,N3,F,N2,q,q,物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得,物理方程,：,注意1杆变形计算时用,l,材料力学,16,装配应力是不容忽视的，如：,d,/,l,=0.001，,E,=200GPa，,q,=30,s,1,=113MPa,，,s,2,=,s,3,=,65,.2,MPa,正确,注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短 , 应为压力。,F,N1,A,F,N3,F,N2,q,q,F,N1,A,F,N3,F,N2,q,q,不正确,材料力学,17,图示悬吊结构,AB,梁刚性，各杆,EA,相同，杆3短,，,求各杆装配应力。,l,刚 体,1,2,3,a,a,d,A,B,解：1、平衡方程,F,N1,F,N2,+,F,N3,=0,F,N1,=,F,N3,2、几何方程,D,l,1,D,l,2,D,l,3,即,3、物理方程,刚 体,a,A,B,F,N3,a,F,N1,F,N2,3杆用理论长度计算变形,材料力学,18,4、补充方程,补充方程与平衡方程联立解得:,变形协调关系,平衡方程,两杆均为拉力，计算,杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。,AB,为刚性梁，,写出所需方程。,a,2,a,45,0,A,d,B,C,D,l,1,D,l,2,材料力学,19,静不定结构的特点（,3,） 温度应力,A,B,C,升温,T,o,C,结构不因温度变化产生内力,A,B,C,D,升温,T,o,C,结构会因温度变化产生内力,材料力学,20,温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。,几何方程：,D,l,=,D,l,t,-,D,l,F,= 0,物理方程：,D,l,t,=,a,l,t,，,D,l,F,=,F,N,l,/,EA,a,为材料的线膨胀系数,对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆件的变形为：,式中：,a,材料的线膨胀系数。,图示构件因温度变化引起的内力,l,A,B,F,N,材料力学,21,解：受力图如图示（设二杆均受压）,图示结构，,EA,及线膨胀系数,a,相同的两杆和与刚体相连，当杆,温度升高,D,t,度时，两杆的内力和应力分别为多少？,l,2,l,l,l,A,A,F,N1,F,N2,F,Ax,F,Ay,列平衡方程,S,M,A,=0,杆在温度影响下伸长，在轴力作用,下缩短，,杆在轴力作用下缩短。刚,体绕,A,转动，,变形几何关系图如图示。,q,q,D,l,1,D,l,2,由图可列出变形几何关系方程,2,D,l,1,=,D,l,2,得,结合平衡方程，求得,材料力学,22,刚性梁,AB,悬挂于三根平行杆上。,l,=2m，,a,=1.5m，,b,=1m，,c,=0.25m，,d,=0.2m。1杆由黄铜制成，,E,1,=100GPa，,A,1,=2cm,2,，,a,1,=16.5,10,-6,/,0,C。,2和3杆由碳钢制成，,E,2,=,E,3,=200GPa，,A,2,=1cm,2,，,A,3,=3cm,2,，,a,2,=,a,3,=12.5,10,-6,/,0,C，,F,=40kN。 设温度升高20,0,C，求各杆的应力。,l,刚 体,1,2,3,a,b,d,A,B,c,F,F,N2,a,b,d,A,B,c,F,F,N1,F,N3,解：平衡方程为,F,N1,+,F,N2,+,F,N3,F,=0,F,N1,a,+,Fc,F,N3,b,=0,变形协调方程为,D,l,1,D,l,2,D,l,3,材料力学,23,物理方程为,物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得：,F,N1,=7.92kN，,F,N2,=10. 2kN，,F,N3,由此求得应力为,s,1,=39.6MPa，,s,2,=102MPa，,s,3,=73MPa,F,N2,a,b,d,A,B,c,F,F,N1,F,N3,D,l,1,D,l,2,D,l,3,材料力学,24,解: 受力分析,建立平衡方程,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定,变形分析,列变形协调方程,联立求解方程(a)与(b),建立补充方程,代入上式,试求图示轴两端的约束力偶矩。,扭转,超静定问题,材料力学,25,A,B,设有,A,、,B,两个凸缘的圆轴，在力偶,M,的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除,M,。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是,G,1,I,p1,和,G,2,I,p2,，试求轴内和筒内的扭矩。,M,M,解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶,M,解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩,T,1,和,T,2,。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为,T,1,T,2,T,1,-,T,2,=0,材料力学,26,焊接前轴在,M,作用下的扭转角为,M,M,j,j,2,j,1,变形协调条件,T,1,T,2,=0,材料力学,27,一、相当系统的建立,1、相当系统的特点：,静定结构；,含有多余约束力；,主动力与原结构相同。,2、建立相当系统的步骤：,判断静不定次数；,解除多余约束，代之以多余约束力；,其余照原问题画。,6.4 弯曲简单超静定问题,材料力学,28,解：,建立相当系统,=,处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,确定静不定次数，用多余约束力代替多余约束所得到的静定结构原结构的相当系统。,B,画出图示静不定结构的弯矩图。,q,l,A,EI,M,A,q,l,A,EI,B,或,F,B,q,l,A,EI,B,几何方程变形协调方程,物理方程变形与力的关系,材料力学,29,补充方程,求解其它问题（应力、变形等）,F,B,q,l,A,EI,B,+,=,F,B,l,A,EI,B,q,l,A,EI,B,M,B,q,l,A,EI,弯矩图,材料力学,30,解：相当系统如图，任意,x,截面弯矩为,l,F,B,A,B,q,x,时弯矩取极值,固定端处弯矩为,当 时，梁的受力最合理。,从强度角度考虑为了使梁的受,力最合理，将支座向上移动,D,，,试求该,D,值，并作弯矩图。,l,A,B,q,D,EI,材料力学,31,支座,B,端上移,两种情形弯矩图的对比。,F,B,l,A,B,q,D,EI,M,l,A,B,q,EI,M,l,A,B,q,D,EI,材料力学,32,几何方程,变形协调方程,解：,建立相当系统,=,F,B,q,l,A,EI,B,物理方程变形与力的关系,结构如图，求,B,点约束力。,EA,C,q,l,A,EI,B,l,BC,=,+,F,B,l,A,EI,B,q,l,A,B,EI,材料力学,33,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（内力、应力、 变形等）,=,+,F,B,l,A,EI,B,EA,C,q,l,A,EI,B,l,BC,q,l,A,B,EI,材料力学,34,A,B,C,l,l,d,l,l,A,B,C,d,超静定梁的装配应力,图示三支座等截面梁，由于制造不精确，轴承有高低。已知梁的抗弯,刚度,EI,及,d,和,l,，求两种情况下的最大弯矩。,B,B,d,A,C,l,l,d,F,B,l,l,A,C,F,B,解：各梁的相当系统如图,材料力学,35,l,45,0,F,悬臂梁的自由端与光滑斜面恰好接触。,若温度升高,D,T,，试求梁内最大弯矩。,设,E,、,A,、,I,、,a,已知，且梁的自重和,轴力对弯曲变形的影响可略去不计。,l,45,0,解：温度升高后，斜面对梁的约,束力如图所示，其变形为伸,长和弯曲同时发生。,变形协调方程为伸长和弯曲变形相等。即,解得：,材料力学,36,悬臂梁,AB,，,用短梁,DG,加固，试分析加固效果。,P209，6-17,解：1、静不定分析,2、加固效果分析,最大弯矩减少 62.5%,与 相比，减少39.1%,Fl,加固前,加固后,材料力学,37,悬臂梁同时受拉杆约束，,试求杆,BC,的轴力。,解：梁的轴向变形一般忽略不计,如考虑梁的轴向变形，如何求解?,解除约束代约束力并考虑变形几何关系。,B,B,D,l,CB,D,l,AB,w,B,材料力学,38,梁,AB,和,BC,在,B,处铰接，,A、C,两端固定，梁的抗弯刚度均为,EI,，,F,=40kN，,q,=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,F,B,F,B,w,B,1,w,B,2,解：解除,B,处约束代之以约束力，使超静,定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,物理关系代入变形协调方程得补充方程：,材料力学,39,由此可以确定,A,端和,C,端的约束力。,F,A,F,C,M,C,M,A,F,S,（kN）,71.25,8.75,48.75,4.4375m,M,（kNm）,125,115,17.5,1.91,材料力学,40,长为,l,，刚度为,EI,的梁两端固定，承受均布荷载作用，画出梁的弯矩图并求跨中的挠度。,P208，6-15,l,q,A,B,C,解：此结构为对称结构承受对称外力作用，,所以在对称轴处对称内力(弯矩)不等于零，,反对称内力(剪力)等于零。对称轴处对称位,移(挠度)不等于零，反对称位移(转角)等于,零。于是相当系统如图所示。,l,/2,q,A,C,M,C,w,C,补充方程为,跨中挠度为,M,图,求得,材料力学,41,解：相当系统如图所示，其变形,几何关系为,M,图,P209，6-19,高度为,h,的等截面梁两端固定,支座,B,下沉,D,，求,s,max,=?,求得,材料力学,42,l,A,B,q,F,A,M,A,解：解除,A,端约束，并代之以,约束力得到相当系统。,变形协调方程为,w,A,=0，,q,A,=,q,。,即,联立,解得,（ ）,（ ）,由平衡方程求得,（ ）,（ ）,M,长为,l,，抗弯刚度为,EI,的梁,AB,两端固定，,当左固定端转动一个微小角度,q,后，画梁,的弯矩图。,P209，6-21,l,A,B,q,q,材料力学,43,若解除,B,端约束，并代之以约束力得到图示相当系统。,变形协调方程为,w,B,=,l,q,，,q,B,=,q,。,l,A,B,q,q,F,B,M,B,q,即,联立,解得,（ ）,（ ）,材料力学,44,A,B,C,D,l,a,b,F,q,连续梁弯曲刚度,EI,=510,6,Nm,2,，,q,=20kN/m，,F,=30kN。,l,=4m，,a,=3m，,b,=2m。画梁的剪力和弯矩图。,P198，例6-8,A,B,C,D,l,a,b,F,q,M,B,M,B,解：解除,B,处阻止截面,相对转动,的约束，代之以一对约束力偶,M,B,。得到由两个简支梁组成的静定基。因为,两个简支梁各自作用的荷载互不影响，相对简单。,变形协调方程为,物理方程为,材料力学,45,物理方程代入变形协调方程得补充方程，由补充方程求得,M,B,=,-,F,S,图(kN),32.05,47.95,18.40,11.64,1.6m,M,图(kNm),25.68,31.80,23.28,A,B,C,D,F,q,M,B,M,B,A,B,C,D,l,a,b,F,q,材料力学,46,本章结束,材料力学,47,